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본 연구에서는 ChatGPT-4o를 활용한 수학 문제해결 과정에서의 오류와 그 개선과정을 분석하여 이를 토대로 향후 ChatGPT와 같은 생성형 AI의 활용 가능성을 제시하고자 하였다. 이를 위해 중학교 1학년 ‘수학 1’ 교과서의 5개 대단원에 대해 ChatGPT-4o의 단원별 정답률과 단원의 특성에 따른 오류 유형을 파악하고 프롬프트 엔지니어링의 효과를 확인하였다. 2015 개정 교육과정 중학교 1학년 ‘수학 1’ 교과서 10종의 대단원 평가 문제에 대한 ChatGPT-4o의 정답률은 51.76%로 나타났다. 대단원 중 ‘문자와 식’ 단원의 정답률이 가장 높았으며, ‘통계’ 단원에서 가장 낮은 정답률을 보였다. 오류 유형으로는 ‘수와 연산’, ‘문자와 식’ 단원에서는 문제 인식 오류가 가장 많이 나타났으며 ‘좌표평면과 그래프’와 ‘통계’ 단원에서는 그래프 인식 오류가 가장 많았고 ‘도형’ 단원에서는 그림 인식 오류가 많이 나타났다. 정답률 향상을 위한 프롬프트 엔지니어링을 한 결과, 동일한 문제에 대해서는 정답률이 높아졌으나 유사 문제에 대해서는 정답률이 높아지지 않았다. 그리고 이전 모델들과 ChatGPT-4o의 정답률 변화를 비교 분석한 결과, 정답률이 증가함을 알 수 있었다. 현재 ChatGPT의 기능에는 한계가 있지만 발전 속도가 매우 빠르므로 가까운 미래에 ChatGPT가 학교 수업에 활용될 수 있을 것으로 기대되며 이에 대한 후속 연구가 필요하다.

This study analyzed errors and improvements in mathematical problem-solving using ChatGPT-4o to explore the potential applications of generative AI like ChatGPT in education. To achieve this, the research examined ChatGPT-4o’s accuracy across five major units of the 7th-grade ‘Mathematics 1’ textbook, identified error types based on unit characteristics, and evaluated the effectiveness of prompt engineering. ChatGPT-4o demonstrated an accuracy rate of 51.76% on major unit assessment problems from 10 versions of the 7th-grade ‘Mathematics 1’ textbook under the 2015 Revised Curriculum. Among the units, the ‘Expressions and Equations’ unit showed the highest accuracy rate, while the ‘Statistics’ unit had the lowest. In terms of error types, ‘problem recognition errors’ were most common in the ‘Numbers and Operations’ and ‘Expressions and Equations’ units. ‘Graph recognition errors’ were predominant in the ‘Coordinate Plane and Graphs’ and ‘Statistics’ units, while ‘diagram recognition errors’ were frequent in the ‘Geometry’ unit. Prompt engineering improved accuracy for identical problems but had little effect on similar problems. A comparative analysis with earlier models also revealed that ChatGPT-4o showed improved accuracy. Despite current limitations, the rapid development of ChatGPT suggests its potential for use in classroom settings in the near future, emphasizing the need for further research.

역함수는 주어진 함수에 대한 되돌리기 함수로서 가역적 추론을 습득할 수 있는 중요한 수학적 주제이다. 국내외 여러 선행 연구에서 고등 학생, 대학생 및 예비 수학교사를 대상으로 역함수에 대한 이해를 여러 측면에서 조사하였지만, 대규모 고등학생을 대상으로 국가간 역함수 이해를 비교 분석한 연구는 없었다. 따라서 본 연구는 한국(162명)과 중국 고등학생(47명) 209명을 대상으로 여섯 가지 함수(일차함수, 이차함수, 유리함 수, 무리함수, 지수함수, 로그함수)의 역함수를 구하고 그래프를 그리는 설문지 과제를 사용하여 역함수에 대한 이해 정도와 오류 유형을 비교 분석하 였다. 본 연구 결과에 따르면, 한국 학생들은 주어진 함수에 대한 역함수 구하기에서 무응답 비율이 절반을 넘은 반면 중국 학생들은 무응답이 없었다. 두 나라 학생들 모두 직선  대칭을 이용하여 역함수 그래프를 그리지 않았으며 역함수 식과 그래프 사이에 어떤 연결성을 보이지 않았다.

The inverse function is a reverse function of a given function and is an important mathematical topic where students can acquire reversible reasoning. In reviewing various previous studies, it was found that the understanding of inverse functions has been investigated from various perspectives among high school students, college students, and prospective mathematics teachers. However, there has been no study that compares and analyzes the understanding of inverse functions among high school students on an international scale. Therefore, this study compared and analyzed the level of understanding, proficiency, and types of errors related to inverse functions among 209 high school students from Korea (162 students) and China (47 students) using a questionnaire task that involved finding the inverse functions and graphing six types of functions (linear functions, quadratic functions, rational functions, radical functions, exponential functions, and logarithmic functions). From the results of this study, the rate of non-response among Korean students in finding the inverse function of a given function exceeded half, while there were no non-responses from Chinese students. “Students from both countries did not use line symmetry to graph the inverse functions and showed no connection between the inverse function expressions and their graphs.

학생들이 갖는 수학적 태도는 여러 가지 경험의 소산이며 교육의 결과이다. 본 연구는 학생들의 수학적 태도를 유형으로 분류한 시나리오 기반의 수학적 태도 및 실천 역량 검사 결과를 이용하여 학생들의 수학적 태도 유형별 교수⋅학습 경험의 차이를 분석하였다. 고등학교 1학년 학생 438명의 수학적 태도 유형을 독립변수로 하고, 수학 교수⋅학습 활동에 대한 설문 문항 각각을 종속변수로 하여 ANOVA와 Scheffe의 사후 분석을 실시하여 유형별로 유의한 결과가 있는 것을 찾아내었다. 흥미, 메타정의, 끈기 유형에 따라서는 수학 수업에서 지도받은 경험에 차이를 보이는 문항 이 여러 개 있었고, 흥미, 자기효능감, 메타정의, 끈기, 도전의 5가지 태도 모두에서는 유형 간에 수학 학습 경험의 차이가 있었다. 이에 따라 학생들의 수학적 태도 유형은 교사의 수학 지도보다 학생의 학습 경험에 따라 좌우되는 경향을 발견하였다. 따라서 수학적 태도 유형을 변화시키기 위해서는 교수학적 노력보다 학습 경험에 초점을 두어야 하며, 태도가 좋다 나쁘다보다는 구체적으로 변화시키고자 하는 유형에 따라 어떤 학습 노력이 필요한 지를 고려할 필요가 있다. 학생들이 수학적 태도를 형성하는 데 기여하는 여러 교수⋅학습 경험이 밝혀졌으므로 이를 토대로 학생마다 어떤 개별화 지도 정보가 필요한지와 관련한 후속 연구가 필요함을 제언하였다.

Students' mathematical attitudes are the result of many educational experiences. This study analyzed the differences in teaching and learning experiences for each type of mathematical attitude of students using scenario-based mathematical attitude and practical competency test. ANOVA and Scheffe's post-test were conducted with 438 first-year high school students' mathematical attitude types as independent variables, and each question about mathematics teaching and learning experiences as a dependent variable to find significant results for each type. There were several questions showing differences in the experience taught in math classes according to the type of interest, meta-affect, and persistence and there were differences in math learning experiences between types in all five attitudes: interest, self-efficacy, meta-affect, persistence and challenge. Accordingly it was found that students' mathematical attitude types tended to be influenced by the student's learning experience rather than the teacher's math instruction. In order to change student's mathematical attitude type it is necessary to focus on the learning experience rather than the pedagogical efforts and it is necessary to consider what kind of learning effort is required by their types. Since several teaching and learning experiences have been identified that contribute to shaping student's mathematical attitudes, it is suggested that follow-up studies are needed on what individualized instructional information is needed for each student.

본 연구의 목적은 예비교사들이 개발한 수학교과 중심의 STEAM 수업 자료와 수업 자료를 개발하는 과정에서 겪었던 어려움을 분석하여 예비교사들의 STEAM 수업 자료 개발 역량 함양에 대한 시사점을 도출하는 것이다. 이를 위해 2022년도 1학기에 ｢창의융합교육의 이해｣강좌를 운영하였고 예비교사들이 개발한 5종의 STEAM 수업 자료와 2개의 팀을 대상으로 실시한 면담 자료를 수집하였다. 이를 STEAM 교육 목표, STEAM 활동과정, STEAM 평가, STEAM 교육 적용 영역에서 분석한 결과, 과학기술의 흥미와 이해, 창의적 설계 과정, 평가 영역의 다양성 등의 분석 요소에 대한 기준에는 다소 미흡하였고, 개발하는 과정에서도 해당 요소를 충족시키기에 어려움을 겪은 것으로 나타났다. 따라서 STEAM 수업 자료를 개발할 때는 예비교사들에게 이러한 요소의 중요성을 정확하게 인식하도록 하여 단계적, 점진적으로 STEAM 수업 자료를 개발할 수 있는 기회와 학교 현장과 연계된 프로그램을 통하여 STEAM 교육을 실행해 볼 수 있는 실제적인 경험을 제공하는 것이 필요하다.

The purpose of this study is to analyze the STEAM instructional materials centered on mathematics developed by pre-service teachers and the difficulties they experienced in the process of developing the instructional materials and to derive implications for their ability to develop STEAM instructional materials. To this end, the course “Understanding Creative Convergence Education” was operated in the first semester of 2022, and five types of STEAM teaching materials developed by pre-service teachers and focus group interview data from two teams were collected. As a result of analyzing the collected data in the areas of STEAM education goals, STEAM activity processes, STEAM evaluation, and STEAM education application, it was found that the criteria for analysis elements such as interest and understanding of science and technology, creative design process, and diversity of evaluation areas were somewhat insufficient, and it was difficult to meet these elements in the development process. Therefore, when developing STEAM instructional materials, it is necessary to provide pre-service teachers with an opportunity to develop STEAM instructional materials in a step-by-step and gradually manner by having them accurately recognize the importance of these elements, and to provide them with practical experience in implementing STEAM education through programs linked to school field.

수학교과서는 교사가 수업을 하거나 평가를 위해 중요하게 생각하는 교수⋅학습 자료로서, 수학교과서의 서술 내용은 학생이 수학적 개념 을 논리적으로 이해하는 것에 영향을 미친다. 이에 본 연구에서는 음함수 또는 매개변수로 나타낸 함수의 미분에 관한 8종의 미적분 교과서의 서술을 분석하였다. 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 8종의 교과서는 음함수를 서술하는 과정에서 정의역과 공역을 적절히 제한하여 함수로 만들 수 있다고 하였다. 둘째, 1종의 교과서만이 매개변수로 나타낸 함수를 서술하는 과정에서 y가 x의 함수 관계라고 표현하였으며, 나머지 7종의 교과서는 두 변수 x와 y가 관계를 갖는다고 표현하였다. 셋째, 7종의 교과서는 매개변수로 나타낸 함수의 미분에 관한 과제로 x의 함수가 아닌 y를 제시하고 있다. 수학교과서의 서술 내용은 함수가 아닌 방정식도 미분할 수 있다는 오개념의 원인이 될 수 있으며, 함수와 미분 개념에 대한 논리적인 문제를 야기할 수 있다.

Mathematics textbooks are considered essential teaching and learning materials that teachers rely on for conducting lessons and assessments. The content of these textbooks can significantly influence students' logical understanding of mathematical concepts. This study analyzes the descriptions related to the differentiation of functions represented by implicit functions or parameters in high school calculus textbooks. The findings are as follows: First, all eight textbooks indicated that it is possible to appropriately restrict the domain and codomain when describing implicit functions to define them as functions. Second, only one textbook expressed the relationship of y as a function of x when describing functions represented by parameters, while the other seven textbooks described the relationship between the two variables x and y. Third, seven textbooks presented y not a function of x as the differentiation tasks concerning functions represented by parameters. The descriptions in mathematics textbooks can be a source of misconceptions and may lead to logical issues regarding concepts.

본 연구는 경남수학문화관의 체험 프로그램 내실화를 위해 요구되는 정의적 영역 검사 도구를 개발하고 타당도와 신뢰도를 검토하였다. 정의적 영역은 수학에 대한 인식, 성장 마인드셋, 흥미, 성취감 및 자기효능감으로 구성되었으며, 델파이 방법을 통해 주요 요소를 선정하였다. 개발 된 검사 도구는 초등학교와 중학교 학생들을 대상으로 예비 검사와 본 검사를 실시하여 신뢰도와 타당도를 검증하였다. 연구 결과, 대부분의 정의적 요소에서 학생들의 긍정적인 변화가 확인되었으며, 특히 성취감과 상황적 흥미에서 높은 점수가 나타났다. 이러한 결과는 경남수학문화관의 여름 캠프와 학교체험수학프로그램을 통한 학생들의 정의적 영역의 변화가 본 연구의 검사 도구를 적용하여 통해 드러날 수 있음을 보여준다. 그러나 수학 에 대한 인식 측정 문항에서는 일부 한계가 발견되어 추가적인 수정이 필요함을 확인하였다. 본 연구는 경남수학문화관 프로그램의 효과성을 분석하 고 개선하는 데 중요한 기초 자료로 활용될 수 있을 것으로 기대된다.

This study developed and validated affective domain assessment tools to enhance the programs at the GyeongNam Mathematics Culture Center. The affective domains included perception of mathematics, growth mindset, interest, sense of accomplishment, and self-efficacy, with key factors selected through the Delphi method. The developed tools were administered to elementary and middle school students through preliminary and main tests to verify reliability and validity. The results indicated positive changes in most affective domains, with particularly high scores in sense of accomplishment and situational interest. These results demonstrate that changes in students' affective domains through the Gyeongnam Mathematics Culture Center's summer camp and school experiential math programs can be revealed using the assessment tool developed in this study. However, some limitations were identified in the items measuring perception of mathematics, indicating the need for further revision. This study is expected to serve as a crucial resource for analyzing and improving the effectiveness of the programs at the GyeongNam Mathematics Culture Center.

본 연구는 수학교육에서 생성형 인공지능(o1-preview)의 활용 가능성을 탐색하기 위하여, 수학적 성능 및 추론 과정을 분석하였다. 특히, 생성형 인공지능의 추론 과정을 심층적으로 분석한 독창적인 연구로, 문제 해결에서 나타나는 구체적인 단계와 특성을 도출하였다. 2022~2024학 년도 대학수학능력시험 수학 문제를 대상으로 o1-preview의 답변 정확성과 추론 단계의 특징을 검토한 결과, 2점 및 3점 문항에서 높은 정확도를 보였고, 일부 4점 고난도 문항도 성공적으로 해결하였다. 추론 과정에서는 ‘분석’과 ‘계획/실행’ 단계를 통해 대부분 정답을 도출했으며, ‘탐색’과 ‘검증’ 단계가 포함될 경우 특히 높은 정확도를 보였다. 이는 o1-preview는 수학교육에서 활용 가능한 유용한 공학 도구임을 시사하며, 실질적인 적용 가능성을 보여준다. 그러나 문제 풀이 과정에서 ‘탐색’과 ‘검증’ 단계가 충분히 수행되지 않을 경우 수학적 오답을 생성한다는 한계를 확인하였으 며, 이를 해결하기 위해 교사의 지도와 생성형 인공지능 활용 프롬프트 설계가 중요함을 강조하였다. 본 연구는 실제 교육 현장에서의 생성형 인공지 능 활용 가능성을 구체적으로 평가하며, 추후 다양한 교육 환경에서의 효과적인 사용 방안을 모색하고자 하였다.

This study analyzes the mathematical performance and reasoning processes of the generative AI model o1-preview to explore its potential application in mathematics education. In particular, this research uniquely delves into the reasoning processes of generative AI, identifying specific stages and characteristics that emerge during problem-solving. Using math problems from the Korean College Scholastic Ability Test (2022-2024), the study examined the model's response accuracy and the characteristics of its reasoning steps. The findings reveal that o1-preview demonstrated high accuracy in 2-point and 3-point questions and successfully solved some challenging 4-point questions. During the reasoning process, the model predominantly derived correct answers through the ‘analysis’ and ‘planning/execution’ stages, with particularly high accuracy observed when the ‘exploration’ and ‘verification’ stages were included. This study suggests that o1-preview could serve as a valuable computational tool in mathematics education, highlighting its potential for practical application. However, the study also identified limitations in the model's performance, particularly when ‘exploration’ and ‘verification’ stages were insufficiently executed. To address these issues, the importance of teacher guidance and well-designed prompts for utilizing generative AI in problem-solving is emphasized. This research evaluates the practical applicability of generative AI in real educational settings and aims to explore effective usage strategies for diverse educational environments in the future.

최근 여러 연구자들은 수학적 문제해결 역량 교육에서 생성형 인공지능을 활용하는 방안에 주목하고 있다. 그러나 생성형 인공지능이 학생 들의 수학적 오류를 어떻게 진단하고, 이에 대응하기 위해 어떤 피드백을 제공하는지는 아직 상세히 탐구되지 않았다. 본 연구에서는 문제해결 역량 교육을 위한 ChatGPT 활용 방안을 탐색하기 위해 ChatGPT의 오류 진단 및 피드백 성능을 평가하였다. 이를 위해 분수의 나눗셈 문장제 해결 과정 에서 나타나는 대표 오류 유형을 도출하고, 문제해결 역량이 부족한 학생 시나리오와 구조화된 프롬프트를 개발하였다. 연구 결과, 문제 이해 및 전략 탐색 역량과 관련된 오류에 대한 ChatGPT의 진단 및 피드백 성능은 준수하였다. 한편, 계획 실행 및 반성 역량과 관련된 오류에 대한 ChatGPT의 진단 및 피드백 성능은 오류의 유형 및 개수에 따라 변동성을 보였다. 연구 결과를 바탕으로 문제해결 역량 교육에서 ChatGPT를 활용하는 방안과 후속 연구 주제에 대해 논의하였다.

Recently, several researchers have been exploring how to utilize generative artificial intelligence in mathematical problem solving competency education. However, how generative AI diagnoses students' errors and what feedback they provide to respond to them has not yet been explored in detail. In this study, the error diagnosis and feedback performance of ChatGPT was evaluated to explore its application in problem solving competency education. To achieve this, representative error types in solving word problems involving division of fractions were identified, and scenarios of students with insufficient problem-solving competency, along with structured prompts, were developed. The results indicated that ChatGPT’s performance in diagnosing and providing feedback on errors associated with problem understanding and strategy exploration was satisfactory. However, ChatGPT’s performance in diagnosing and providing feedback on errors associated with implementing and reflection exhibited variability depending on the type and number of errors. Potential applications of ChatGPT in problem solving competency education and topics for future research were discussed.

본 논문에서는 예비교사의 관점을 중심으로 초등학교 5학년에 제시된 최대공약수와 최소공배수의 개념을 바탕으로 중학교 학생들이 소인 수분해를 이용하여 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 학생 스스로 구성할 수 있도록 안내하는 교수⋅학습 방법을 제안하고자 한다. 또, 학생 스스로 지식을 구성하도록 안내하는 이와 같은 방법과 새롭게 배우게 될 내용과의 연계성을 탐색함으로써 본 연구를 통하여 제안된 방법이 교육의 과정(Bruner, 1960)에서 제시된 지식의 구조라는 큰 틀에서 나선형 교육과정의 요소들을 연결하는 적절한 방법인지에 대하여 살펴본다.

In this paper, we propose a teaching and learning approach designed to guide middle school students in independently constructing a method to re-invent the greatest common divisor (GCD) and least common multiple (LCM) using prime factorization, based on the concepts of GCD and LCM introduced in the 5th grade of elementary school, from the perspective of a pre-service teacher. Additionally, by exploring the connection between this method, which encourages students to construct knowledge on their own, and the new contents they will learn, we examine whether the method proposed in this study plays an appropriate role in an element of a spiral curriculum within the broader framework of the structure of knowledge presented in the process of education(Bruner, 1960).

수학수업에서 공학도구의 활용 범위가 점차 확대되고 있으나 공학도구를 활용한 수학수업에 대한 교사들의 노티싱 및 인식에 대한 연구는 드물다. 이에 본 연구는 현직 초등교사들을 대상으로 수학수업에서 공학도구를 유의미하게 활용하는 방안에 대한 교사교육 프로그램을 실시한 후 이를 통해 교사의 노티싱이 어떻게 변화하는지를 분석하였다. 이를 위해 본 연구에서는 프로그램의 실시 전과 후에 공학도구를 활용한 동일한 수학수 업 1편을 시청하고 그에 대한 분석지를 작성하게 한 후 그 결과를 교사 노티싱의 관점으로 비교하였다. 연구 결과, 교사들은 교사교육 프로그램을 통해 수학수업에서 공학도구를 활용하는 목적 및 의도에 더욱 초점을 두고 수업 현상을 주목였으나, 자신이 관찰한 수업에서 공학도구를 활용하는 방법이나 그 외 교수⋅학습 전략에 대해 새로운 대안을 제시하는 경향성은 다소 감소하였다. 그리고 이러한 변화를 이끈 교사교육 프로그램의 원인으 로는 공학도구 역할에 대한 논의와 학생의 활동과 의사소통으로의 관점 전환임을 확인하였다. 본 연구의 결과를 바탕으로 공학도구를 활용한 수학수 업에 대한 교사교육과 관련하여 시사점을 논의하였다.

Although the use of educational technologies in mathematics teaching is gradually increasing, research on teachers' perceptions of mathematics teaching using these technologies is limited. This study developed a professional development program to train in-service primary school teachers to effectively integrate educational technologies into their mathematics teaching. It analysed how teachers' professional noticing changed as a result of participating in this program. As part of the program, participants wrote an analysis paper after observing mathematics lessons before and after the program, and they compared their papers at the end of the program. The study found that the professional development program enabled teachers to focus more on the purpose and intention of using educational technology in mathematics teaching. However, there was a slight decrease in the tendency of teachers to propose new alternatives for the use of educational technologies or other teaching strategies. The main elements of teachers' change are teacher's considering the purpose of technology in mathematics teaching and focusing on students' mathematical thinking. Based on the findings of this study, implications for teachers' education in integrating educational technologies in mathematics teaching were discussed.