Earticle

본 연구의 목적은 수학 교수 효능감 측정 도구(MTEBI)의 심리측정적 특성을 탐색하고 한국 초등 교사들에게 사용할 수 있게 측정 도구를 수정하는 것이다. 문헌 연구를 바탕으로 MTEBI 중 개인 효능감 요인만을 분석하였다. 299명의 초등 교사들의 설문자료를 Rasch 모형을 이용하여 일차원성 가정, 응답범주 적절성, 문항 난이도 적절성, 분리지수와 신뢰도 측면에서 분석하였다. 분석 결과 5점 범주로 된 13개 문항은 심리측정적 측면에서 몇 가지 문제가 있는 것으로 나타났다. 따라서, 후속 분석에서 5점 범주 대신 4점 범주로 수정하였으며 5개의 문항을 삭제한 후 8문항을 사용해 심리측정적 특성을 재분석하였다. 그 결과, 수정된 측정 도구는 초등 교사들의 수학 교수에 대한 개인효능감을 타당성 있게 측정하는 것으로 나타났다. 본 연구의 제한점과 제언을 추가 논의하였다.

The purpose of the study was to examine the psychometric properties of the personal teaching efficacy of the Mathematics Teaching Efficacy Beliefs Instrument and revise the scale for the use of Korean elementary school teachers. Data were collected from 299 elementary teachers. A Rasch analysis was used to evaluate unidimensionality and appropriateness of category use and item difficulty levels. Moreover, person separation and reliability as well as item separation and reliability were examined using the revised scale. Results suggested that the original personal teaching efficacy scale (13 items with five categories) had several problems in its psychometric properties. Thus, we revised the scale into eight items with four categories. The follow-up analysis results showed the revised scale provided sufficient psychometric properties for measuring Korean elementary school teachers’ self-efficacy beliefs for teaching mathematics. Limitations and implications of the study were also discussed.

본 연구는 순열과 조합 영역에 관한 동료의 문제 만들기 과제를 평가하는 과정에서 나타난 예비교사의 주목하기를 분석하는 데 목적을 두었다. 이를 위해, 중등 예비교사 46명을 대상으로 순열과 조합에 관한 실생활 문제 만들기 과제를 수행하도록 하였고, 동료의 수학 과제를 임의로 배정하여 평가하도록 하였다. 수집된 자료를 분석한 결과, 예비교사들은 동료가 만든 수학 문제의 난도에 가장 주목하는 모습이 확인되었고, 특히 난도를 높이기 위해 조건 사용에 주목하는 경향이 있었다. 뿐만 아니라, 예비교사들은 질문과 풀이의 명확성, 문제의 독창성, 맥락의 수학 개념 간의 자연스러운 연결, 수학 개념 간의 융합에 주목하는 모습이 확인되었다.

The purpose of this study is to examine pre-service teachers’ noticing when evaluating peers’ mathematical problem posing tasks. To this end, 46 secondary pre-service teachers were asked to create real-world problems related to permutation and combination and randomly assigned to evaluate peers’ problems. As a result, the pre-service teachers were most likely to notice the difficulty of their peers’ mathematics problems. In particular, the pre-service teachers tended to notice particular conditions in order to increase the difficulty of a problem. In addition, the pre-service teachers noticed the clarity of a question and its solution, novelty of the problem, the natural connection between real-world contexts and mathematical concepts, and the convergence between mathematical concepts.

본 연구에서는 ‘점’과 ‘선’을 ‘크기’ 관념에 주목하여 수학적 분석을 하고, Euclid 기하의 관점에서 한국의 2015 개정 교육과정에 따른 중학교 수학 1의 기본도형 내용영역과 미국 기하(Geometry)의 교과서 서술을 비교하여 분석하였다. 첫째, ‘점’과 ‘선분’을 ‘크기’ 관념에 주목하여 수학적으로 분석한 결과, 1) ‘무한소’의 인정과 배제, 2) ‘측도론’과 ‘집합론’에 따라 수학적 관점이 달라질 수 있음을 알 수 있었다. 둘째, ‘점’과 ‘선’에 관한 교과서의 서술을 Euclid 기하의 관점에서 분석한 결과, 1) 대부분의 한국의 2015 개정 교육과정에 따른 중학교 수학 1의 기본도형 내용영역에서는 ‘크기’가 있는 점과 선을 소개 혹은 직접 그리는 학습활동을 제시한 후, 점과 선의 ‘관계’를 서술하는 방식으로 전개하고 있었으나, 2) 대부분의 미국 기하 교과서에서는 크기가 있는 점과 선을 소개한 후, ‘무정의 용어’인 점과 선에 대하여 기하에서의 ‘점은 크기가 없고’, ‘선은 두께가 없음’을 각각 명시적으로 서술하고 있음을 확인할 수 있었다. 이와 같은 고찰을 통해 본 연구에서는 한국의 2015 개정 교육과정에 따른 중학교 수학 1의 기본도형 내용영역에서의 점과 선에 관한 서술이 잠재적으로 Euclid 기하의 관점에 해당하지 않는 수학적 직관을 생성할 가능성이 있으므로 교수학습 과정에서 이에 대한 언어적 표현의 주의가 필요함을 제안하고자 한다.

In this study, mathematical analysis is conducted by focusing to the 'size' of the 'point' and the 'line'. The textbook descriptions of the 'point' and the 'line' in the geometry content area of middle school mathematics 1 by the 2015 revised Korean mathematics curriculum and US geometry textbooks were compared and analyzed between. First, as a result of mathematical analysis of' 'the size of a point and a segment', it was found that the mathematical perspectives could be different according to 1) the size of a point is based on the recognition and exclusion of 'infinitesimal', and 2) the size of the segment is based on the 'measure theory' and 'set theory'. Second, as a result of analyzing textbook descriptions of the 'point' and the 'line', 1) in the geometry content area of middle school mathematics 1 by the 2015 revised Korean mathematics curriculum, after presenting a learning activity that draws a point with 'physical size' or line, it was developed in a way that describes the 'relationship' between points and lines, but 2) most of the US geometry textbooks introduce points and lines as 'undefined terms' and explicitly states that 'points have no size' and 'lines have no thickness'. Since the description of points and lines in the geometry content area of middle school mathematics 1 by the 2015 revised Korean mathematics curriculum may potentially generate mathematical intuitions that do not correspond to the perspective of Euclid geometry, this study suggest that attention is needed in the learning process about points and lines.

이 연구에서는 학습자가 수학 텍스트를 반복하여 읽을 때 나타나는 수학 학습 과정이 어떻게 변하는지를 조사하였다. 또한 수학 학습 방법으로써 반복 읽기의 효과를 점검하고 보다 효율적인 반복 읽기 교수·학습 전략에 대한 시사점을 모색하였다. 반복 읽기 수학 학습에는 국립대학교 수학교육과에 재학 중인 예비 수학교사 8명이 참가하였다. 예비 수학교사는 각각 4개의 그룹으로 구성되어 그룹에 따라 서로 다른 4개의 주기로 총 3회 반복 읽기를 시행하였다. 수학 학습 자료 읽기 과정에서 나타나는 예비 수학교사의 시선의 움직임을 추적하고 심박수를 측정하였다. 수집한 자료를 회차별 총 읽기 시간, 슬라이드별 총 읽기 시간, 각 회차와 슬라이드별 총 읽기 시간의 변화 추세, 슬라이드 읽기 순서, 회차별 심박수 변화 추세 등의 다섯 가지 측면에서 분석하였다. 첫 번째 읽기에서는 참가자의 대부분이 비슷한 양상을 보였으나, 두 번째와 세 번째 읽기에서는 개별 학습자에 따른 읽기 패턴의 변화가 보다 다양하게 드러났다. 또한, 첫 번째 읽기에서 반복 주기와 무관하게 가장 많은 시간이 소요되었고, 이후 반복적 읽기 시간에서는 개인별로 차이가 나타났다. 연구 결과에서 도출한 가장 중요한 결론은 반복 읽기를 통한 자기 주도적 수학 학습은 주기와 관계없이 효과적이라는 것이다. 추가적으로 반복 읽기 교수·학습 전략의 효율성을 증진시키기 위한 네 가지 전략을 제안하였다.

This study aimed to investigate how the learners’ mathematics learning processes change with repeatedly reading mathematical text. As a way to teach and learn mathematics, we also wanted to examine the effect of repeated reading and to explore the implications for a more efficient teaching and learning strategy. To help us with this study, we mainly used eye tracking and heart rate (HR) measurement. There were four cycles in a cycle of repeated reading, and the number of repeated readings for all cycles was fixed to three times. Eight prospective mathematics teachers in the Department of Mathematics Education of a National University in South Korea participated. Data were analyzed in five aspects: (1) the total reading time per round, the total reading time per slide; (2) the change trends of total reading time per round and slide; (3) the order of slides read; (4) the change trends of HR per round. We found that most participants read in a similar pattern in the first reading, but the second and third reading patterns appeared more diverse for each learner. Also, the first reading required the most time regardless of the repeat cycle, and the time it took to repeatedly read afterward varied depending on the individual. Based on the findings of this study, the most primary conclusion is that self-directed mathematics learning by using repeated reading is effective regardless of cycle. In addition, we suggested four strategies to improve the efficiency of this teaching and learning method.

온라인 수업에서 다양한 상호작용 도구의 적극적 활용은 비대면 수업의 한계를 극복하고 교사와 학생 간의 활발한 상호작용을 돕는다. 본 연구는 인수분해에 대한 오개념과 오류를 분석하고, 분석 결과를 이용한 적절한 피드백을 제공하는 온라인 개별화 수업이 성취도에 미치는 효과를 파악하는 데 목적이 있다. 이를 위해 사교육의 영향이 적은 경기도 농촌 지역의 중학교 3학년 학생들을 대상으로 4주 동안(총 16차시) 실험을 실시하였다. 수업은 ‘구글클래스룸’을 LMS로 활용하고, 동영상 강의는 유튜브에 업로드하였으며, 화상회의 소프트웨어인 ‘줌(Zoom)’과 ‘페이스톡’을 통해 학생들과 상호작용을 하였다. 온라인 수업상황에서 ‘구글클래스룸’을 통해 학생의 과제와 질문을 실시간으로 확인할 수 있으며, 실험군에는 학생들의 질의 여부와 상관없이 과제와 시험에 대해 즉각적인 피드백이 이루어졌고, 대조군에도 피드백이 이루어졌으나 자발적으로 피드백을 원하는 학생에게만 이루어졌다는 점에서 차이가 있다. 학생의 실력 향상과 성취도의 변화 추이를 확인을 위해 사전검사, 형성평가 5회, 사후검사의 순서로 총 7번의 성취도 평가를 실시하였다. 5회의 인수분해 형성평가 분석을 통해 인수분해를 학습하는 과정에서 발생하는 오류 및 오개념의 유형을 파악할 수 있었는데, 학생들이 ‘다항식으로 된 인수를 하나의 인수로 인식하지 못함’과 ‘숫자는 인수가 아니다.’라는 오개념을 가지고 있는 것을 확인하였다. 학생들의 오류유형을 정리 또는 정의의 왜곡 오류, 기능상의 오류, 풀이를 검증하지 않는 오류, 무응답의 4가지 유형으로 나누고, 이를 개별화 지도에 이용하였다. 공분산분석 결과 두 집단은 1회부터 4회까지의 형성평가까지는 차이를 나타내지 않았으나, 5회차 형성평가와 사후검사에서는 통계적으로 유의미한 차이를 나타내어 온라인 개별화 수업이 성취도 향상에 기여한다는 것을 확인하였다.

In this paper, we analyzed the misconceptions and errors incurred during factorization learning. We also examined whether online individualization classes had a positive effect on students' mathematical achievement. The experiment was conducted for 4 weeks (16 times in total) on middle school juniors in rural areas of Gyeonggi Province, where the influence of private extra education was small. In the class, the ‘Google Classroom’ was used as a LMS, the video lecture was uploaded to YouTube, and the teacher interacted with the students through “Zoom” and “Facetalk”. In the online class situation, students' assignments and test answers were checked in real time through 'Google Classroom', and immediate feedback was provided to the experimental class group's students. However, for the control group students, feedback was provided only to those who desired. A total of 7 achievement evaluations were conducted in the order of pre-test, formative evaluation (5 times), and post-test to confirm the change in students' ability improvement and achievement. Through the formative evaluation analysis, it was possible to grasp the types of errors and misconceptions that occured during the factorization process. Students' errors were divided into four types: theorem or definition distortion error, functional errors such as calculation, operation, and manipulation, errors that do not verify the solution, and no response. As a result of ANCOVA, the two groups did not show any difference from the 1st to 4th formative assessment. However, the 5th formative assessment and post-test showed statistically significant differences, confirming that online individualization classes contributed to improvemed achievement.

본 연구는 국제 교실수업 어휘 프로젝트의 일환으로 이미 조사된 한국의 교수학적 어휘를 바탕으로 현직교사와 예비교사의 교수학적 어휘에 대한 인식 차이를 비교하는 것을 목적으로 한다. 국제 교실수업 어휘 프로젝트는 호주를 중심으로 독일, 미국, 일본, 중국, 체코, 칠레, 프랑스, 핀란드, 한국의 총 10개국이 참여하는 국제공동연구이다. 각 국가에서는 자국의 수학교실에서 나타나는 교수학적 용어를 확인하고 정리하며 이를 기반으로 수학 교실 수업과 관련한 연구를 확장하거나 10개국 내에서의 국제 비교연구를 진행하고 있다. 본 논문에서는 한국의 교수학적 용어로 정리된 103개의 용어에 대하여 현직교사 136명의 응답과 예비교사 127명의 응답을 비교하여 해당 용어에 대한 친숙도와 수업에서 발생하는 정도에 대한 인식의 차이를 분석하였다. 분석 결과에서 우리나라 현직교사들과 예비교사들은 공통적으로 ‘교수·학습 활동’과 ‘평가’ 범주에 있는 용어에 대한 친숙도가 높은 것으로 나타났다. 그러나 예비교사들은 현직교사의 응답과 비교하였을 때, 국가 주도로 제안된 용어의 친숙도가 현저히 낮은 것으로 조사되었다. 또한, 수업에서 발생하는 정도에 대한 인식 조사 분석 결과, 교사의 수학 수업에 대한 교수학적 노력이 학습자의 관점에서는 명시적으로 드러나지 않는 어휘와 그에 대한 차이점이 드러났다. 이러한 분석 결과를 바탕으로 우리나라의 수학교실 관행에 대해 성찰하고 그와 관련하여 논의 및 제언하였다.

Lexicon is closely related to human thinking. In particular, a classroom lexicon results from objectifying the teaching-learning activity in classrooms, allowing humans to recognize and explore the activities and phenomena in classrooms explicitly. Therefore, using the lexicon and clarifying what the words mean is to enhance the understanding of teaching activities. The International Classroom Lexicon Project investigates and identifies each country's mathematics classroom lexicon, where ten countries participated. The purpose of this current study is to compare the differences in perceptions between teachers and pre-service teachers about the Korean classroom lexicon previously investigated as a part of the international collaborative project. By comparing the responses of 147 teachers and 127 pre-service teachers, the degree of familiarity with pedagogical terms and the frequency of occurrence or usage in classrooms were compared and analyzed to understand the recognition of pre-service teachers' pedagogical terms. Finally, we also discuss reflections on Korean mathematics teaching practices in Korea.

수학적 주목하기란 교사가 수학 수업에서 일어나는 여러 현상 중 의미 있는 현상을 알아차리고 이를 적절히 해석하는 능력을 의미하며, 최근 수학교육 분야에서 교사 전문성의 한 요소로 인정받고 있다. 본 연구는 예비 중등수학교사들의 수학적 주목하기를 비교하여 차이를 확인하고, 이들 간의 차이 발생 요인을 분석하고자 한다. 이를 위해 본 연구자는 예비 중등교사의 수학적 주목하기를 확인할 수 있는 수업비평문을 마련하였으며, 예비 중등수학교사 18명을 대상으로 각자 모의 수업을 실연하고 이를 녹화한 동영상을 보면서 수업비평문을 작성하도록 하였다. 수업비평문에 나타난 예비교사의 수학적 주목하기를 주체, 주제, 견지의 세 차원에서 분석한 결과, 주제 차원과 견지 차원에서 예비교사들 간에 수학적 주목하기의 차이가 발생한 것으로 나타났다. 연구 결과를 바탕으로 예비교사들 간에 수학적 주목하기의 차이가 발생한 요인을 살펴본 결과, 이는 교사가 보유한 수학 내용 지식, 교수학적 내용 지식, 교육과정 지식, 신념, 경험, 목표, 실천적 지식으로 나타났다.

Recently, in the field of mathematics education, mathematical noticing has been considered as an important element of teacher expertise. The meaning of mathematical noticing is the ability of teachers to notice and interpret significant events among various events that occur in mathematics class. This study attempts to analyze the differences of pre-service secondary teachers’ mathematical noticing and confirm the factors that cause the differences between them. To accomplish this, the items on class critiques were established to identify pre-service secondary school teachers’ mathematical noticing, and each of 18 pre-service secondary mathematics teachers were required to write a class critique by watching a video in which their micro-teaching was recorded. It was that the teachers’ mathematical noticing can be identified by analyzing their critiques in three dimensions such as actor, topic, and stance. As a result, there were differences in mathematical noticing between pre-service secondary mathematical teachers in terms of topic and stance dimensions. The result suggests that teachers’ mathematicl noticing can be differentiated by subject matter knowledge, pedagogical content knowledge, curricular knowledge, beliefs, experiences, goals, and practical knowledge.

본 연구에서는 이차곡선 지도 방안으로써 수작업 교구인 Wax-paper를 이용한 활동과 공학도구인 GeoGebra를 이용한 활동에 대한 예비 수학교사들의 인식을 조사하였다. 수도권 소재의 한 사범대학 수학교육과 학부생 20명을 대상으로 이차곡선에 대한 교구와 공학도구 활용 수업을 진행한 후, 두 가지 수업 방법에 대한 인식 설문조사를 시행하였다. 본 연구 결과에 따르면, 예비 수학교사들은 이차곡선 학습 및 지도에서 전반적으로 공학도구의 활용을 선호했으며, 공학도구의 활용이 시각화를 통해 직관적 사고에 도움이 되며, 다양한 수학적 성질 탐구를 가능하게 함으로써 개념 이해와 흥미 유발에 도움을 준다고 생각하였다. 그러나 학생 또는 교사의 미숙한 공학도구 사용에 대한 우려를 지속적으로 나타냈으며, 예비 수학교사들이 인식한 교구와 공학도구 활용의 장단점은 상호보완적 이었다. 이와 같은 연구 결과를 토대로 수학수업에서 각 교구와 공학도구가 가진 특성에 맞게 상호 보완적으로 활용하길 제안하며, 학생 또는 교사의 공학도구 사용 능력에 영향을 받지 않는 수업 자료의 개발 및 보급이 필요하다는 시사점을 제시한다.

In this study, I investigated prospective mathematics teachers’ perceptions of activities using Wax-paper, a hands-on material (manipulatives), and GeoGebra, a technological tool, in teaching quadratic curves. Twenty prospective mathematics teachers in the Mathematics Education Department of a local university participated in a survey on their perception of the use of hands-on materials and technological tools in teaching quadratic curves. According to the results of this study, prospective mathematics teachers generally preferred the use of technological tools for learning and teaching quadratic curves. Additionally, mathematics teachers thought that the tool helped students develop intuitive thinking through visualizing quadratic curves, enabling the exploration of various mathematical properties, assisting the comprehension of various concepts, and increasing students’ interest levels. However, they were concerned about the immature use of technological tools by students or teachers, and recognized that the advantages and disadvantages of using hands-on material and technological tools were complementary. Based on these findings, it is suggested that hands-on material and technological tools should be used complementally in mathematics classes, and the development and dissemination of class materials that are not affected by students’ or teachers’ ability to use technological tools is important.