Earticle

이 연구의 목적은 초등수학수업에서 학생들에게 자율적 선택권을 제공하는 것의 의미와 가치를 알아보고, 선택 전략 활용 관점에서 초등수학수업을 평가할 수 있는 분석틀을 개발하고자 하였다. 또한 관련된 미국 사례를 추가로 조사하여 미래 수학 교실을 위한 시사점을 이끌어 내고자 하였다. 이론적 고찰을 통해 수학 교수학습 상황에서 학생들에게 선택권을 부여하는 것의 정의적・인지적 장점을 확인하였으 며, 학생들에게 제공할 수 있는 선택 요소 8개를 추출하였다. 이를 기준으로 에듀 넷 티클리어에 탑재된 초등우수수업 동영상 10편을 분석한 결과, 수준별 수업을 지 향했던 교육과정 시기의 국내 수학수업에서는 주로 문제해결 방법과 과제수준 선 택권을 학습자에게 제공하는 것으로 나타났으나, 그 외의 선택권 사용은 찾아보기 어려웠다. 이에 미국 사례를 참고하여 미래 수학교실을 위한 시사점을 제안하였다.

The purpose of this study was to explore the significance and value of providing elementary students with autonomous choices in math classes and to develop an analytical framework for evaluating elementary math classes from the perspective of using choice strategies. Additionally, relevant U.S. cases were examined to draw implications for future math classrooms. Additionally, foreign cases were investigated to derive implications for future math classrooms. Through theoretical review, the affective and cognitive benefits of granting students choice in math teaching and learning situations were identified, and eight elements of choice that could be provided to students were extracted. Based on these criteria, an analysis of exemplary elementary math class videos revealed that in domestic math classes, learners are primarily given choices regarding problem-solving methods and task levels, but other types of choices are rarely utilized. Consequently, implications for future mathematics classes were proposed by referring to American cases.

우리나라 초등수학교육에서 (분수)÷(자연수)의 계산 방법을 다루어 온 방식에는 다 음과 같은 특징이 있다. 등분 나눗셈 맥락에서 (분수)÷(자연수)의 계산 방법을 다 룬다. 분자를 자연수로 나누기, 분수에 (자연수)   을 곱하기, 분모에 자연수를 곱하기 라는 세 방법 중 일부를 다룬다. 한 방법만 다룬다면 분수에 (자연수)   을 곱하기를 다룬다. 계산 방법 사이의 연결은 다루지 않는다. (분수)÷(자연수)의 계산 방법의 교육을 더 풍부하게 하려면 다음에 관심을 둘 필요 가 있다. 첫째, 기존 계산 방법과 맥락을 넘어 지평 넓히기. 둘째, 의미 있는 연결 활동. 셋째, 내용 선정 기준의 확장과 교과서 체제의 변화.

In this study, elementary mathematics textbooks from the Syllabus period to the 2015 revised curriculum were examined in terms of their ways of dealing with calculation methods for (fractions)÷(whole numbers). Teaching calculation methods for (fractions)÷(whole numbers) has been conducted with some of the three methods― dividing the numerator by the whole number, multiplying the whole number with the denominator, and multiplying the reciprocal of the whole number with fraction― in the context of partitive division. The main issue was concerned with which of the three methods to teach. To make teaching calculation methods for (fractions)÷(whole numbers) richer, changes in the following directions are needed. First, beyond the narrow boundaries of one or two calculation methods in the context of partitive division, the horizon of calculation methods and contexts should be broadened. Second, students should be provided with activities for making connections and comparisons among calculation methods. Third, it is necessary to expand the criteria for selecting calculation methods to teach.

본 연구는 예비교사들에게 이분모 분수의 덧셈을 지도하는 과정안을 ChatGPT를 활용해 설계하도록 하고, 그 과정에서 나타난 각 요소 간의 관계를 활동 이론 (Engeström, 2014)에 기반해 분석하였다. 세부 연구 문제 1에서는 활동 이론의 각 요소가 어떻게 상호작용하는지 탐구하였고, 세부 연구 문제 2에서는 예비교사들이 ChatGPT의 한계를 극복하는 과정을 확장 학습의 관점에서 살펴보았다. 분석 결과, 예비교사들(주체)은 과정안 설계 규칙을 고려한 후, 역할(분업)을 나누고 ChatGPT (도구)를 사용해 ‘이분모 분수의 덧셈 계산 원리를 지도하는 과정안’(목적)을 설 계하였다. 이 과정에서 규칙에 의한 사고의 제한화, 도구에 대한 과도한 의존성, 도 구의 목적화와 같은 현상이 관찰되었다. 또한, 예비교사들은 ChatGPT의 한계를 인 식하고 공동체 자원을 활용해 문제를 해결하며, 새로운 자료를 수집하여 보다 완성 도 높은 과정안을 설계하기 위해 노력했다. 이를 바탕으로 교사 교육에 대한 시사 점을 제안하였다.

This study examined the process of designing a lesson plan for teaching the addition of fractions with different denominators by pre-service teachers using ChatGPT and analyzed the relationships between the elements involved based on activity theory (Engeström, 2014). Research Question 1 explored how the various elements of activity theory interact with each other, and Research Question 2 investigated how pre-service teachers overcame the limitations of ChatGPT from the perspective of expansive learning. The analysis revealed that the pre-service teachers (subjects), after considering the rules for lesson plan design, divided roles (division of labor) and utilized ChatGPT (tool) to create a lesson plan aimed at teaching adding fractions with different denominators (object). Throughout this process, phenomena such as cognitive constraints imposed by rules, overreliance on the tool, and the objectification of the tool were observed. Furthermore, the pre-service teachers recognized the limitations of ChatGPT, utilized community resources to solve problems, and gathered new materials in their efforts to design a more complete lesson plan. Based on these findings, implications for teacher education were proposed.

시간 계산의 필요성은 일상 속에서 자주 접하지만, 시간이라는 속성의 추상성으로 인해 학생들은 시간 계산의 문제해결에 어려움을 느낀다. 본 연구는 세로셈 알고리 즘의 대안적 방법으로 시간의 경과를 유추적으로 나타낼 수 있는 빈 수직선 활용 의 효과 검증을 목적으로 한다. 경기도 소재 G초등학교 3학년 2개 학급을 시간 계 산의 문제해결 도구로서 빈 수직선 활용 집단과 세로셈 활용 집단으로 구분하여 수업을 실시한 후 검사지를 통해 양적‧질적 분석을 실시하였다. 연구 결과, 두 집단 사이의 통계적으로 유의미한 차이는 발견되지 않았으나 질적인 분석을 통해 빈 수 직선 활용 집단에서 시간 계산을 위한 유의미한 사례가 관찰되었다. 빈 수직선을 활용한 학생들은 대체로 시간의 경과에 따라 문제를 해결하였고, 자신만의 비형식 적인 전략을 개발하였으며, 선행연구에서 보고된 세로셈 형식에서 발생하는 오류가 적게 나타났다. 이를 바탕으로 시간 계산을 위한 문제해결 도구로서 빈 수직선 활 용에 대한 교수학적 시사점을 도출하고 후속 연구를 제안하였다.

Although time calculation is a skill frequently encountered in daily life, students often struggle with it due to the abstract nature of the concept of time. This study aims to evaluate the effectiveness of using empty number lines as an alternative method to the vertical algorithm for time calculation. Two third-grade classes were divided into an empty number line group and a vertical algorithm group, and both groups received instruction followed by a time calculation test for quantitative and qualitative analysis. The results showed no statistically significant difference between the two groups. However, qualitative analysis revealed meaningful cases of time calculation among students in the empty number line group. These students generally solved problems by considering the laps of time, developed their own various informal strategies, and exhibited fewer errors commonly associated with the vertical algorithm. Based on these findings, this study suggests further research on the use of empty number lines in time calculation and discusses didactical implications.

의사소통 역량은 수학적 지식, 아이디어, 활동의 결과, 문제해결 과정, 신념 및 태 도를 언어, 글, 그림, 기호 등을 통해 표현하고, 타인의 아이디어를 이해하는 능력 을 포함한다. 이는 문제해결 과정에서 다양한 접근 방식을 공유하고 서로의 전략을 비교하는 기회를 제공하여 학생들이 창의적으로 문제를 해결할 수 있는 능력을 길 러줄 수 있다. 의사소통 역량의 효과적인 구현 방법을 모색하기 위하여 현재 사용 되고 있는 초등 수학 검정 교과서 10종을 분석하였다. 분석 결과, 모든 학기 및 모 든 영역에서 의사소통 역량이 구현되어 있었으나 교과서마다 역량을 구현하는 방 식의 차이가 나타났다. 하위 요소를 분석한 결과, 자신의 생각을 표현하거나 수학 적 표현을 개발 및 변환하는 활동이 많이 나타났다. 이러한 결과를 바탕으로 수업 설계와 평가, 교과서 집필에 대한 시사점을 모색하였다.

Communication competency encompasses the ability to represent mathematical knowledge, ideas, results of mathematical activities, problem-solving processes, beliefs, and attitudes through spoken or written language, drawings, and symbols, as well as the capacity to understand others' ideas. This competence provides opportunities for students to share various approaches in problem-solving tasks and compare each other's strategies, thereby fostering their ability to solve problems creatively. To examine how this communication competence is implemented in textbooks, an analysis of the currently used elementary mathematics textbooks was conducted. The analysis revealed that communication competence was present in all semesters and areas; however, differences in the ways this competence was implemented across different textbooks were noted. A sub-element analysis indicated a prevalence of activities that involve representing one's thoughts and developing or transforming mathematical representations. Based on these findings, implications for lesson design, assessment, and textbook writing were sought.

피타고라스 정리는 학교수학에서 핵심적 내용 중의 하나이다. 이 논문에서는 역사 발생적 원리에 입각하여 초등수학영재교육에 적합한 피타고라스 정리의 지도 방안 을 구안하였다. 고대 중국, 인도, 바빌로니아 등 역사발생의 초기에 피타고라스 정 리와 함께 나란하게 등장하는 개념이 있다. 그것은 ‘피타고라스의 세 수’로서, 피타고라스 정리와 유사하지만 수학적으로 명확히 서로 구별되는 내용이다. 이 논 문에서는 피타고라스의 세 수가 피타고라스의 정리보다 교수학적인 측면에서 보다 근본적이라고 가정하였다. 이 논문에서 구안한 지도안은 산술적 수준, 기하학적 수준, 대수적 수준의 순서를 따라 설계되었다. 이는 이 정리의 유구한 역사적 발전과정과 일치한다. 피타고라스 의 정리는 기원후 17세기에 이르러 비로소 대수식 a  b  c으로 표현되었다. 첫째 실측활동을 통하여 몇몇의 피타고라스의 세 수를 경험적으로 추측한다. 둘째 이렇게 추측한 몇몇의 세 수를 수학적으로 확증하는 과정에서 기하학적 피타고라 스의 정리를 발견한다. 셋째, 피타고라스의 대수적으로 표현하고 증명한다. 이 지도안에서 각 단계는 전 단계를 기반으로, 그로부터 연속적으로 자라나오도록 설계되었다. 경험적으로 발견된 몇몇의 피타고라스의 세 수는 격자판 위에서의 넓 이 계산 활동을 통하여 수학적으로 확증된다. 나아가 이 넓이 활동은 일반적인 피 타고라스의 정리를 발견시킬 뿐만 아니라, 그 정리에 대한 기하학적인 증명법을 제 공한다. 이 증명법은 유명한 대수적 표현(a  b  c )을 생성해 냄으로써 피타고라 스의 정리를 새롭게 변신시킨다. 이러한 대수적 단계는 외부적으로 부과된 것이 아 니라, 이전의 기하학적 단계에 내재된 요소가 명시적으로 발현된 것이다. 요약하면 이는 Freudenthal이 말한 ‘수학화’이고 ‘안내된 재발명’의 사례이다.

The Pythagorean theorem is one of the key contents in school mathematics. In this paper, a teaching plan for the Pythagorean theorem suitable for gifted elementary school mathematics education was designed based on historico-genetic principle. There is a concept that appears side by side with the Pythagorean theorem in the early stages of history, such as in ancient China, India, and Babylonia. It is the ‘Pythagorean triple’, which are similar to the Pythagorean theorem, but are clearly mathematically distinct from each other. In this paper, it is assumed that the Pythagorean triple are more fundamental in pedagogical terms than the Pythagorean theorem. The map designed in this paper was designed in the following order: arithmetic level, geometric level, and algebraic level. This is consistent with the long historical development of this theorem. The Pythagorean theorem was first expressed in an algebraic form in the 17th century CE. First, we empirically estimate several Pythagorean triples through actual measurement activities. Second, in the process of mathematically confirming these three guessed numbers, the geometric Pythagorean theorem is discovered. Third, express and prove algebraic Pythagorean theorem. Within this map, each stage is designed to build on and grow continuously from the previous stage. Several Pythagorean triples discovered empirically are confirmed mathematically through area calculation activities on a grid. Furthermore, this area activity not only discovers the general Pythagorean theorem, but also provides a geometric proof method for the theorem. This proof is based on the famous algebraic expression(a  b  c ), thereby transforming the Pythagorean theorem. These algebraic steps are not externally imposed, but are explicit expressions of elements inherent in the previous geometric steps. In summary, this is what Freudenthal called ‘mathematization’ and a case of ‘guided re-invention’.

본 연구의 목적은 동적 기하 소프트웨어를 활용한 수학 탐구 과정에서 심미적인 실천이 어떠한 역할을 수행하는지 분석하는 것이다. 이를 위해 두 명의 초등학교 5-6학년 학생들이 동적 기하 소프트웨어 환경에서 여러 가지 사각형을 조작하는 과제를 협력적으로 수행하는 과정을 심미적 실천의 문제 생성, 동기부여, 평가의 역할에 주목하여 분석하였다. 분석 결과 학생들은 주어진 과제의 요구를 초과하는 도전적인 문제를 스스로 생성하고, 그 문제를 계속 추구해나갈지 또는 중단할지 결 정하고, 그 결과를 평가하는 등의 심미적 실천에 참여하고 있었다. 이러한 심미적 실천에 참여하면서 학생들은 여러 가지 사각형의 유형 사이의 관계에 관한 탐구에 자발적으로 참여했으며, 프로토타입에서 벗어난 사각형을 보다 유연하게 다룰 수 있게 되었다. 본 연구의 결과는 수학자들이 수행하는 고등 수학의 수준에서가 아닌 학교 수학 수준에서의 수학 탐구에서 관찰 가능한 심미적인 실천에 대한 분석 사 례를 제공하며, 이와 같은 심미적인 측면을 강조하는 활동 설계를 위한 기반을 제 공한다는 점에서 의의를 갖는다.

In this paper, we analyze how students’ aesthetic practices promoted mathematical inquiries in the context of the dynamic geometry software environment. The study found that students engaged in aesthetic practices to generate their own challenging problems, decide whether to continue or discontinue exploration, and evaluate their outcomes. They often sought to achieve goals that exceeded the initial task goals and spontaneously explored the relationships between different types of quadrilaterals. These findings emphasize the potential for integrating aesthetic aspects into school mathematics, fostering student-driven inquiries into mathematical concepts.

본 연구에서는 관계적 사고에 기반한 내용 요소인 분수와 비에 관한 대수 추론 문 항을 개발·적용하여 초등학교 6학년 학생들의 문제해결 전략과 오류 유형을 분석 하였다. 대수 추론의 요소인 ‘시각화로 구조파악’, ‘양적 추론’, ‘비례적 사 고’, ‘구조적 연산’을 기준으로 하여 정답의 문제해결 전략과 미지수로서의 변 수 설정에 관해 분석하였다. 또한 오답의 오류 유형을 분류하여 대수 추론 과정에 서 학생들이 자주 보이는 오류를 살펴보았다. 양의 관계에 관한 사고를 드러내는 문항을 통해 6학년 학생들이 전형식적 대수 추론을 적절히 수행하는 것으로 확인 하였으며, 학생들이 보이는 문제해결 전략과 오류를 기반으로 대수 추론의 특징을 정리하였다. 또한 학생들의 산술 추론이 형식적 대수 추론으로 자연스럽게 이행되 도록 돕는 교수학적 시사점을 제시하였다.

This study developed and applied algebraic reasoning items related to fractions and ratios, based on relational thinking, to analyze sixth-grade students' problem-solving strategies and error types. Using criteria such as visualization for structural understanding, quantitative reasoning, proportional thinking, and structural operations—key elements of algebraic reasoning—the study examined strategies for solving correct answers and the use of variables as unknowns. Additionally, it classified error types in incorrect answers to identify common challenges students face in the algebraic reasoning process. The results confirmed that sixth-grade students can appropriately engage in pre-formal algebraic reasoning through tasks that emphasize quantitative relationships. The study summarized the characteristics of algebraic reasoning based on students' strategies and errors and provided pedagogical implications to facilitate the transition from arithmetic-based to formal algebraic reasoning.

본 연구는 초등학교 예비교사들의 다문화 수학 수업 실태를 살펴보기 위해 문화적 으로 반응하는 교수(Culturally Responsive Mathematics Teaching) 이론을 바탕으로 다문화 교실에서 이루어지는 수업을 관찰하고 분석하였다. 이를 위해 20명의 예비 교사를 대상으로 수학 수업을 관찰하고 문화적으로 반응하는 교수의 6가지 범주에 따라 범주별 사용 빈도, 모범 사례와 반례를 도출하였다. 분석 결과, 예비교사들은 전반적으로 다문화 수업 실천 역량이 부족하였으며, 자신의 지식을 전달하는 데 초 점을 둔 단방향적 수업을 구현하였다. 이러한 결과를 바탕으로 예비교사들이 향후 다문화 수학 수업 역량을 개선하기 위한 시사점을 제안하였다.

This study observed and analyzed mathematics lessons of preservice teachers conducted in multicultural classrooms based on the theory of culturally responsive mathematics teaching. Address to this purpose, mathematics lessons of 20 preservice teachers were observed and the frequency of use, best practices, and counterexamples were derived according to the six categories of culturally responsive teaching. The results showed that the preservice teachers generally lacked multicultural teaching practice abilities and implemented a one-way teaching style focused on conveying their own knowledge. Based on these results, we suggested implications for preservice teachers to improve their multicultural mathematics teaching abilities in the future.

이 연구는 초등학생들을 대상으로 곱셈 개념 이해 정도에 따른 시각적 모델 해석 양상을 살펴보고자 하였다. 이를 위해 선행 연구와 교과서 분석을 바탕으로 곱셈 개념 이해 검사와 시각적 모델 해석 검사 문항을 구성하고, 초등학교 3~5학년 학생 204명을 대상으로 검사를 실시하였다. 자료 분석 결과, 곱셈 이해 수준이 낮을수록 시각적 모델을 곱셈식으로 나타내는 데 어려움을 겪었으며, 단위와 관련 없는 전략 을 사용하는 경향을 보였다. 그러나 곱셈 이해 수준이 같더라도 시각적 모델 유형 이나 모델 분할 방식 등에 따라 곱셈식을 파악하는 정도가 다른 것으로 나타났다. 이외에도 교과서의 시각적 모델 해석 방식에 대해 알지 못하는 경우 해석에 어려 움을 겪는 것으로 나타났다. 끝으로 이와 같은 분석 결과를 토대로 시각적 모델을 활용한 곱셈 지도 및 교과서 구성에 대한 시사점을 논의하였다.

This study aimed to examine how elementary school students interpret visual models differently based on their level of understanding of multiplication concepts. Using prior research and textbook analysis, the study developed a multiplication concept understanding test and a visual model interpretation test. These tests were administered to 204 students in grades 3 to 5, and the results were analyzed. The findings revealed that students with lower levels of multiplication understanding struggled to represent visual models as multiplication equations and tended to use strategies unrelated to units. However, even among students with similar levels of understanding, their ability to interpret visual models varied depending on the type of model. Notably, students unfamiliar with the visual model interpretation methods presented in textbooks faced difficulties in interpretation. Finally, the study discussed implications for teaching multiplication using visual models and designing textbooks based on these findings.