Earticle

본 연구에서는 쌓기나무로 쌓은 모양의 위, 앞, 옆에서 본 모양을 제시하여, 쌓기나 무로 쌓은 모양을 그리는 방법을 추론한 후, 쌓기나무로 쌓은 모양을 평면에 그려 내는 과제를 초등 예비교사들에게 투입하여 그들의 공간 추론 양상을 연구하였으 며, 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 50명의 초등 예비교사들 중에서 쌓기나무로 쌓 은 모양을 그리는 방법을 정확하게 추론하고, 추론한 쌓은 모양을 평면에 모두 그 려낸 예비교사는 18명으로 매우 적었으며, 20명의 초등 예비교사들은 쌓기나무로 쌓는 방법을 추론하는 능력과 쌓은 모양을 그리는 능력이 보통 이하로 분석되어 이들의 문제해결 능력은 높지 않았다. 둘째, 쌓기나무로 쌓은 모양을 그릴 때 필요 한 관찰 방향의 개수에 대한 인식에서도 잘못된 관점을 가진 초등 예비교사들은 28명으로 옳은 관점을 가진 22명의 초등 예비교사보다 더 많았다. 셋째, 과제 수행 중 초등 예비교사들이 사용한 De Moor(1990)의 공간 추론 활동들 중에서 시각화 방법의 개발 및 적용하기, 체계적 접근하기, 국소 연역적 추론, 분해와 종합하기 순 으로 활용도가 높게 나타나는 것으로 분석되었다. 따라서 본 연구 결과로부터 얻을 수 있는 시사점은 다음과 같다. 첫째, 초등 예비교사들의 교육에서 공간 추론 교육 을 강화할 필요가 있다. 둘째, 초등 예비교사들에게 쌓기나무로 쌓은 모양을 평면 에 직접 그려내는 교육이 필요하다.

In this study, we presented elementary pre-service teachers with the shapes seen from the top, front, and side of building block structures, let them draw, after inferring the process of the drawing, the shapes on the plane, and analyzed their spatial reasoning patterns. The results of the study are as follows: First, only 18 of the 50 participants performed well with accurate inferences and exact shape drawing, while 20 of them were poor at inferring how to draw the shapes and showed less than average ability in their drawing. Second, there were more pre-service teachers(28 out of 50) who had wrong perspectives than those(22 out of 50) with the correct perspectives in the perception of the number of observation directions needed to draw the shapes stacked with building blocks. Third, among the spatial reasoning activities by De Moor(1990), the participants were analyzed to show high utilization of development and application of spatial visualization methods, systematic approach, local deductive reasoning, and decomposition and synthesis in order. Consequently, the implications of this study are as follows: First, we need to strengthen spatial reasoning ability in our education of elementary pre-service teachers. Second, our elementary pre-service teachers need to be educated to draw the shapes of different building block structures on the plane themselves.

지금까지 우리나라의 초등학교 수학 교과서는 교육부가 발표한 교육과정에 따라 편찬되는 국정 교과서의 형태이며, 우리나라 초등학교 수학 수업에서의 교과서 의 존도는 매우 높은 실정이다. 따라서 양질의 수학 교과서 편찬은 수학 교육의 발전 을 위해 매우 중요한 의미를 가지며 교육과정을 개정하는 일 이상의 노력이 필요 하다. 우리나라의 초등학교 수학 교과서는 그동안 여러 차례 개발 작업을 통해 점 진적인 변화를 보여 왔으나, 7차 교육과정 이전의 교과서는 교육과정을 반영한 내 적 구성 체제의 변화에 집중한 나머지 외적 구성 체제 면에서의 발전에 소홀하였 다는 평가를 받기도 하였다. 이에 본 연구는 초등학교 수학 교과서에 검정 교과서 가 적용되는 2022년을 앞둔 현시점에서 우리나라 초등학교 역대 수학 교과서의 외 적 구성 체제를 판형, 활자, 지질, 색상, 쪽수, 삽화 및 편집 디자인의 변화를 중심 으로 면밀히 고찰하고, 이를 통해 향후 검정 교과서의 개발 방향에 유의미한 시사 점을 도출하고자 하였다.

Elementary school mathematics textbooks in South Korea have been in the form of government-designated textbooks compiled according to the curriculum announced by the Ministry of Education. Furthermore their dependence on textbooks in elementary school mathematics classes in Korea is very high. Therefore, the compilation of high-quality math textbooks is very important and requires more than efforts to revise the curriculum. Korea's elementary school math textbooks have shown gradual changes through several development projects. However, textbooks prior to the seventh curriculum were considered to have been negligent in developing the system in terms of external composition, focusing on changes in the internal composition system that reflect the curriculum. Authorized Korean elementary school math textbooks will be applied in 2022. Therefore, this study closely examined the history of Korean elementary school mathematics textbooks at this point in time, focusing on changes in the external composition system. This derived in significant implications for future development of the authorized textbooks. According to this study, the external composition system of elementary school mathematics textbooks in Korea reflected changes in the curriculum and economic development of the times, and continued to improve at a certain period of intervals. In addition, Korea's elementary school math textbooks have shown the biggest changes in the external composition system since the 7th curriculum period textbooks, and are expected to continue to make new changes in illustration and editing design among many elements of the external composition system.

본 연구는 초등학교 수학 교과서 합동과 대칭 단원의 수학 과제에 다이어그램이 어떻게 접목되어 있는지, 그리고 수학적 추측 생성을 지원하는데 적절한지 확인하 는 데 목적을 두었다. 연구 결과, 다이어그램 생성 과제는 주로 대칭을 다루는 차 시에서 확인되었으며, 이는 수학적 추측 생성보다는 선대칭도형과 점대칭도형을 그 리는 성취기준과 관련되었다. 또한, 다이어그램 실험은 모눈을 이용하여 도형 내의 변의 길이와 각의 크기를 비교하거나 자와 각도기를 이용하여 측정하는 방식으로 이루어졌다. 합동을 다루는 과제에서는 주로 다이어그램을 이용하여 서로 다른 두 도형의 변의 길이와 각의 크기를 비교하는 데 초점을 둔 반면, 선대칭도형과 점대 칭도형을 다루는 과제에서는 주로 다이어그램을 이용하여 도형에 대칭축이나 대칭 의 중심 및 기타 보조선을 나타내게 하고, 본래 도형의 변의 길이와 각의 크기에 더하여 이와 같은 보조선들과 함께 추가로 생성되는 변의 길이와 각의 크기를 함 께 비교하는 데 초점을 둔 것으로 확인되었다.

This study analyzes on diagrammatic reasoning related tasks in elementary mathematics textbook. We adopted Peircean semiotic perspective to analyze mathematical tasks in elementary mathematics textbook. We specifically analyzed mathematical tasks designed to support students’ inquiries into congruence and symmetry. As a result, we found that diagram construction tasks were mainly found in symmetry chapters, and these tasks were related to curriculum achievement standards rather than conjecturing. We found that diagram experimenting tasks were categorized into tasks of comparing edges and angles in grids and tasks of measuring lengths of edges and sizes of angles using ruler and protractor. We also identified several differences of diagrammatic reasoning related tasks between congruence chapters and symmetry chapters.

사칙연산 중 곱셈·나눗셈은 덧셈·뺄셈에 비해 더 추상적인 사고를 요구한다. 따 라서 아직 추상적·형식적 사고가 충분히 발달하지 않은 많은 초등학생이 곱셈과 나눗셈 학습에 어려움을 느낀다. 직관적 표현에 익숙한 초등학생의 특성을 고려할 때, 곱셈과 나눗셈 지도 시 시각적 모델의 활용은 필수적이다. 따라서 수학 교과서 에서도 교수·학습에 적합한 시각적 모델을 효과적으로 제시할 필요가 있다. 이에 본 연구는 한국, 미국, 싱가포르 초등 수학 교과서의 곱셈과 나눗셈 단원에서 제시 되는 시각적 모델을 유형과 기능의 측면에서 비교 분석하여 각 교과서의 특성을 시각적 모델 측면에서 파악하는 것을 목적으로 한다. 분석 결과에 기초하여 교과서 집필 시 시각적 모델의 제시 방향에 대한 시사점을 제시하였다.

Among arithmetic operations, multiplication and division require more abstract thinking than addition and subtraction. However, many elementary school students who are not yet familiar with abstract and formal thinking find it difficult to learn multiplication and division. Considering the characteristics of elementary school students who are accustomed to intuitive concepts and representations, it is essential to use visual models when teaching multiplication and division. Also, it is necessary to provide effectively visual models suitable for teaching and learning even in elementary mathematics textbooks. Accordingly, in this study we analyzed and compared the visual models presented in the multiplication and division units of elementary mathematics textbooks in Korea, the United States, and Singapore in terms of their types as well as functions. Based on the results of analysis, we suggested some implications for using visual models when planning and developing the elementary mathematics textbooks.

한국의 초등수학 교과서는 자연수의 곱셈, 두 자리 수의 곱셈, 진분수의 곱셈, 대분 수의 곱셈을 지도하는 지점에서 넓이모델을 채택하고 있다. 넓이는 수와는 구별되 는 다른 수학 영역이기 때문에, 수의 연산과 관련하여 넓이모델을 사용하는 일은 넓이 개념의 학습계열과 보조를 맞추어야만 한다. 이 논문에서 우리는, 이러한 여 러 요소에 대한 통합적 관점에서, 한국의 교과서에서의 넓이모델의 여러 사용 양상 을 비판적으로 검토하였다. 첫째, 넓이모델은 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 연속 적으로 이어주는 효과적인 통합적 모델이다. 둘째, 한국의 교과서는 넓이모델을 곱 셈의 표준알고리즘을 증명하는 기반으로 사용한다. 그러나 지나치게 급격한 형식화 과정을 통하여 표준알고리즘에 도달하는 경향이 있다. 셋째, 한국의 교과서는 넓이 모델을 일관적으로 사용하지 못하고 있다. 진분수 곱셈의 설명에서 변형된 넓이 모 델이 사용되고 있다. 측정단위가 제거되었고, 작용소 개념이 추가되었다. 넷째, 일 반화된 넓이모델의 사용이 요청된다. 넓이모델은 ‘넓이’라는 속성으로부터 벗어 나서 여타의 측정량을 나타내는 것으로 일반화될 수 있다. 프로이덴탈(Freudenthal) 은 초등수학교육에서 이 일반화의 가치를 강조하였다.

Elementary mathematics textbooks in Korea adopt the area model for teaching multiplication of natural numbers, multiplication of two-digit numbers, multiplication of proper fractions, and multiplication of mixed numbers. Since area concept is another mathematical domain distinct from number concept, the use of area models in relation to numerical operations must keep pace with the learning sequence of area concept. In this paper, we critically reviewed various aspects of the use of the area model in Korean textbooks from an integrated perspective of these various factors. First, the area model is an effective integrated model that continuously connects multiplication of natural numbers and multiplication of fractions. Second, Korean textbooks use the area model as a basis for proving the standard algorithm of multiplication. However, there is a tendency to arrive at a standard algorithm through an excessively abrupt formalization process. Third, Korean textbooks do not consistently use the area model. A modified area model is used in the description of multiplication of proper fractions. The unit of measure has been removed and the concept of an operator has been added. Fourth, the use of a generalized area model is requested. The area model, beyond the ‘area magnitude’, can be generalized to represent other magnitudes. Freudenthal emphasized the value of this generalization in elementary mathematics education.

본 연구의 목적은 자연수의 곱셈 상황에 대한 초등학생의 이해, 즉 곱셈과 곱셈이 이루어지는 상황을 서로 연결 지을 수 있는지 분석하는 것이다. 이를 위해 ‘문장 제 해결하기’와 ‘문장제 만들기’, 두 종류의 검사지를 제작하여 초등학교 4, 6 학년 각 2개 학급 학생 약 115명에게 적용하여 학년별, 상황별로 곱셈 상황에 대한 이해의 차이가 있는지 분석하였다. 분석 결과, 문장제 해결하기에서는 6학년이 4학 년에 비해 정답률이 높은 반면 문장제 만들기에서는 학년에 따른 큰 차이가 없었 다. 또한, 곱셈의 묶음 상황에서는 문장제 해결하기와 문장제 만들기의 결과가 상 반되었으며, 이는 학생들이 비수학적 요소, 표현, 어휘 등에 기초하여 연산을 선택 하기 때문으로 나타났다. 분석 결과에 기초하여 곱셈이 이루어지는 상황에 대한 교 수학적 시사점을 제안하였다.

The purpose of this study is to analyze the elementary school students' understanding about the situations of multiplication in natural numbers. To do this, we applied two types of tests, ‘solving word problems’ and ‘posing word problems’ to 115 students from the fourth graders and sixth graders of W elementary school. Based on the results of the tests, we analyzed whether there are statistically significant differences in understanding according to the situations of multiplication and the grades. The conclusions obtained from this study are as follows: on ‘solving word problems’, sixth graders had a higher answer rate than fourth graders, while there was no statistically significant difference in grade on‘posing word problems’. And the students posed word problems of multiplication situations which were mostly presented in textbooks. In addition, in the case of grouping situation, the results of solving and posing word problems were conflicting, because students might choose the operation based on non-mathematical elements such as sentence expression and vocabulary, etc. without proper understanding of the problem situation. Based on the results, we proposed some suggestions for teaching and learning the situations of multiplication in elementary school mathematics.

이 논문에서는 초등 수학 교과서의 비율 설명 표현을, 비율 정의에 사용된 언어적 표현, 기준량을 1로 볼 때에 해당하는 표현, (기준량)/(비교하는 양) 이라는 분수 표현, (비교 하는 양)÷(기준량)이라는 나눗셈 표현에 초점을 맞추어 분석하였다. 초등 교과서에 서 비율을 내포적으로 정의하는 데 사용된 언어적 표현에는 부적절한 면이 있지만, 비율 정의는 내적비율과 외적비율을 어떻게 취급할 것인가라는 문제 안에서 고려 될 이슈이다. 7차 교과서에서 사용방식이 바뀌고 07 개정 교과서 이후 삭제된 기준 량을 1로 볼 때라는 표현을 부활시켜 비율 설명에 사용할 필요가 있다. 3차 교과서 이후 사용되어 온 (기준량)/(비교하는 양) 이라는 비율의 분수 표현은 사용하지 않거나 제한적 으로 사용해야 한다. (비교하는 양)÷(기준량)이라는 비율의 나눗셈 표현은 비율의 분수 표현이 지닌 문제점을 지니고 있지 않다. 비율의 나눗셈 표현을 다시 사용한 09 개정 교과서와 15 개정 교과서는 나눗셈 비교를 부각하기 위해 비례적인 복수 상황을 사용하였는데 이와 관련하여 재고할 점이 있다.

This study analyzed linguistic or mathematical expressions to explain the concept of rate (value of ratio) in Korean elementary mathematics textbooks, focusing on the way that a linguistic expression“when we see the base quantity as 1”is used, the use of fraction form of rate (base quantity)/(compared quantity) and division form of rate (compared quantity)÷(base quantity). Issues were brought out from the analysis and discussed. Linguistic expression“when we see the base quantity as 1”has disappeared since the 2007 revised national curriculum. This expression should be reused because it may help to understand what rate means. Fraction form of rate (base quantity)/(compared quantity) has been used ever since the 3rd national curriculum. However, (base quantity)/(compared quantity) is a problematic expression. It may mislead us into emphasizing fractions too much over decimals in teaching and learning rate. Division form of rate (compared quantity)÷(base quantity) was not used for a long time, from the 4th curriculum to 2007 revised curriculum. It is proper to use division form of rate because it fits well with the meaning of rate and is not problematic unlike fractional form of rate. It is necessary to reconsider whether using proportional situations to highlight division comparison when introducing ratio and rate is appropriate.

본 연구의 목적은 한국과 미국의 초등학교 수학교과서의 도형 영역 발문을 분석하 여 제시한 발문 유형의 특징을 비교 분석하여 시사점을 알아보기 위한 것이다. 본 연구는 한국의 2015 개정 교육과정에 의한 초등학교 1~6학년 수학교과서와 미국 CCSSM에 의해 개발된 Go-Math K~5학년 수학교과서를 연구 대상으로 선정하였다. 이 중 도형 영역의 발문들을 분석틀에 의해 분류하여 발문 유형과 특징을 분석하 였다. 본 연구에서 사용한 분석틀은 Blosser(1973)의 사고 유형에 의한 분류 체계를 기반으로 여러 선행 연구들의 분석틀을 참고하여 수정하였다. 발문의 유형은 재생 적 발문, 제안적 발문, 분류적 발문, 적용적 발문, 종합적 발문, 예상적 발문, 판단 적 발문, 확산적 사고 발문, 평가적 사고 발문으로 설정하였다. 연구 결과, 한국 수 학교과서 발문은 학생들에게 학습 활동의 방향을 안내하고 개념 학습과 관련된 구 체적 조작 활동을 제시하는 발문의 비중이 높았다. 미국 Go-Math 교과서는 학생들 이 개념을 적용할 다양한 문제 상황이나 경험을 반복적으로 제시하는 발문의 비중 이 높았다. 또한 한국과 미국교과서 모두 주로 인지·기억적 사고와 수렴적 사고를 이끌어 내기 위한 폐쇄적 발문이 개방적 발문보다 더 많았지만, 한국 수학교과서는 미국 수학교과서에 비해 확산적 사고와 평가적 사고를 다루는 발문이 더 많이 제 시하고 있었다. 제언으로, 한국 수학교과서 도형 영역에서 판단적 발문의 비중을 늘릴 필요가 있으며, 다른 영역에 대한 후속 연구도 필요함을 주장하였다.

The purpose of this study is to compare and analyze the features of the types of geometry questions in Korean and American elementary mathematics textbooks to find out the implications. The researchers selected elementary mathematics textbooks grades 1-6 developed under the 2015 revised curriculum in Korea and Go-Math K-5 developed under the CCSSM in the U.S. The types and characteristics of the questions were analyzed by classifying them by the analysis framework. The analysis framework used in this study was modified by referring to the analysis framework of several prior studies based on Blosser (1973)'s classification criteria. We set the types of questions as regenerative, suggestive, categorical, applicable, comprehensive, predictive, judgmental, diffuse thought, evaluation thought. As a result of the study, the Korean mathematics textbooks had a high proportion of those that guided students to the direction of learning activities and presented concrete manipulation activities related to conceptual learning. The U.S. Go-Math textbooks had a high proportion of expressions that repeatedly presented various problem situations and experiences for students to apply concepts. In addition, both Korean and U.S. textbooks had more closed doors to induce cognitive and memory and convergent thinking than open thinking, but Korean mathematics textbooks had more open questions to deal with divergent and evaluative thinking than American textbooks. As a suggestion, it is necessary to increase the proportion of judgemental questions in geometry in Korean mathematics textbooks, and to follow-up research on other areas.