Earticle

본 연구는 예비초등교사의 수학 신념을 '수학의 본질'과 '수학 학습'의 다차원적 구 조로 분석하고, 수학교육 강의 수강 전·후의 신념 변화 및 집단별 프로파일 특성 을 탐색하였다. 이를 위해 2023학년도 G교육대학교 예비교사 364명의 설문 응답을 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 강의 수강 후 예비교사의 전체적인 수학 신념 점수는 유의하게 상승하였으며, 특히 '수학의 본질 신념'이 '수학 학습 신념'보다 시 점에 따른 변화에 더욱 민감하게 반응하는 비대칭적 양상을 보였다. 둘째, 강의 유 형별로 분석한 결과, 이론 중심의 '초등수학교육론' 집단은 두 차원 모두에서 구성 주의로의 뚜렷한 '집단적 이행'이 확인된 반면, 실무 중심의 '교재연구 및 지도법' 집단은 학습 신념 차원에서 변화가 미미한 '실무적 정체' 양상이 동등성 검정 (TOST)을 통해 확증되었다. 셋째, 군집분석 결과 '구성주의 통합형(29.7%)', '전통적 절차 중심형(18.4%)', '구성주의 이행형(51.9%)'의 세 가지 프로파일이 도출되었으며, 과반수의 예비교사가 구성주의 신념으로 이행 중인 단계에 있음을 확인하였다. 결 론적으로 본 연구는 예비초등교사의 신념이 교육적 개입 성격에 따라 차별적으로 반응함을 규명하였으며, 향후 이론과 실무의 간극을 해소하고 실행적 차원의 변화 를 이끌어낼 수 있는 정교한 성찰 중심의 교사교육 커리큘럼 설계가 필요함을 시사한다.

This study examined pre-service elementary teachers’ mathematics beliefs as a multidimensional construct comprising beliefs about the nature of mathematics and mathematics learning, and explored belief changes before and after participation in mathematics education coursework as well as group-level belief profiles. Survey responses from 364 pre-service teachers enrolled in G National University of Education in the 2023 academic year were analyzed, yielding the following findings. First, overall mathematics belief scores increased significantly after the course. In particular, beliefs about the nature of mathematics were more sensitive to change over time than beliefs about mathematics learning, indicating an asymmetric pattern of responsiveness across dimensions. Second, course-type comparisons revealed contrasting trajectories. In the theory-oriented Elementary Mathematics Education course, a clear “collective transition” toward constructivist beliefs was observed across both dimensions. In contrast, in the practice-oriented Teaching Materials Research and Instructional Methods course, changes in the mathematics learning dimension were minimal; this pattern of “practical stagnation” was further supported through equivalence testing using the two one-sided tests (TOST) procedure. Third, cluster analysis identified three belief profiles: a Constructivist Integrated type (29.7%), a Traditional Procedure-Oriented type (18.4%), and a Constructivist Transitional type (51.9%). Notably, a majority of participants were positioned in a transitional stage toward constructivist beliefs. Overall, the findings demonstrate that pre-service teachers’ mathematics beliefs respond differentially depending on the nature of educational intervention. The study underscores the need for more carefully designed, reflection-centered teacher education curricula that can bridge the gap between theory and practice and promote change at the level of classroom enactment.

본 연구는 초등학생들이 분수 학습에서 겪는 어려움의 원인을 분수 개념의 근본적 아이디어에 대한 이해 부족이라는 관점에서 분석하고자 하였다. 이를 위해 분수 학 습에서 반복적으로 보고되어 온 어려움의 핵심적인 원인을 선행 연구를 바탕으로 분석하였으며, 예비 초등교사들의 분수에 대한 인식을 조사하였다. 연구 결과 초등학생들이 분수를 어려워하는 주요 원인은 분수를 부분–전체의 관점 에만 한정하여 이해하고, 전체와 기준 단위 1을 구분하지 못하며, 분모의 의미를 구조적으로 이해하지 못하는 데 있음을 확인하였다. 예비 초등교사들 역시 분수 학 습의 어려움을 계산 능력의 문제가 아닌 개념적 구조 이해의 문제로 인식하고 있 었으며, 특히 전체 설정, 기준 단위 1의 의미, 분모의 역할을 분수 이해의 핵심 요 소로 지적하였다. 이러한 분석을 바탕으로 본 연구는 분수 개념을 깊이 있게 이해 하기 위한 두 가지 근본적인 아이디어를 제시하였다. 첫째, 분수의 의미는 임의의 전체가 아니라 기준 단위 1을 바탕으로 결정된다는 점이다. 둘째, 분모는 분수의 크기와 의미를 규정하는 결정적 역할을 하며 분수 개념을 이해하는 데 있어 핵심 적인 요소이다. 본 연구는 분수 지도가 절차 중심 접근을 넘어 분수를 하나의 수로 인식하도록 돕 는 개념 중심 지도 방향으로 전환될 필요가 있음을 시사하며, 예비 초등교사 교육 과 교실 수업 설계에서 분수의 근본적인 아이디어를 명시적으로 다룰 필요성을 제언한다.

This study aims to analyze why elementary school students experience difficulties in learning fractions, focusing on their insufficient understanding of the fundamental ideas underlying fraction concepts. To this end, the study first examined key causes of persistent difficulties in fraction learning based on prior research and then investigated pre-service elementary teachers’ perceptions of fractions. The results indicate that the primary reasons elementary students struggle with fractions include understanding fractions only from a part–whole perspective, failing to distinguish between the whole and the reference unit of one, and lacking a structural understanding of the meaning of the denominator. Pre-service teachers also perceived difficulties in fraction learning not as problems of computational skill but as issues related to conceptual structure. In particular, they identified the setting of the whole, the meaning of the reference unit of one, and the role of the denominator as core elements in understanding fractions. Based on these findings, this study proposes two fundamental ideas essential for developing a deep understanding of fractions. First, the meaning of a fraction is determined not by an arbitrarily defined whole but by a fixed reference unit of one. Second, the denominator plays a decisive role in determining the magnitude and meaning of a fraction and is a core element in understanding fraction concepts. The findings suggest that fraction instruction should move beyond procedural approaches toward conceptually oriented instruction that supports students in understanding fractions as numbers. Furthermore, the study emphasizes the need to explicitly address the fundamental ideas of fractions in pre-service teacher education and classroom instructional design.

본 연구의 목적은 AIDM((AI Digital Materials) 기반 수학 수업을 비평하는 과정에서 드러나는 예비교사의 노티싱 특징을 분석하고 학년에 따른 차이를 비교・분석하는 데 있다. 교육대학교에 재학 중인 1학년 예비교사 26명과 3학년 예비교사 27명을 대상으로 AIDM 기반 수학 수업을 관찰하고 기술한 수업 비평문을 시간, 주체, 주 제, 견지, 교사에게 주목한 부분, 주목한 테크놀로지 요소에 걸쳐 분석하였다. 분석 결과, 학년 간 차이는 주제, 견지, 교사에게 주목한 부분에서 두드러진 것으로 나타 났다. 1학년은 일반 교육학적 활동, 평가 중심 견지, 교사의 외현적 행동 등 표면적 인 요소에 주목한 반면, 3학년은 수학 교육학적 교수, 해석적 견지, 교수 전략 등 수업의 구조와 교수적 의미에 집중하는 경향을 보였다. 한편 두 학년 모두 학생의 수학적 사고와 활동, 테크놀로지 요소에 대한 노티싱 비율은 낮게 나타나 AIDM 기 반 수학 수업에서 학생과 기술에 대한 노티싱 역량을 강화하는 교사교육의 필요성 을 시사점을 제안하였다.

This study examined the characteristics of preservice teachers’ noticing in critiquing AIDM (AI Digital Materials)–based mathematics lessons and compared differences by grade level. Participants were 26 first-year and 27 third-year preservice teachers enrolled in a university of education. Lesson critique texts written after observing AIDM-based mathematics lessons were analyzed across the categories of time, agent, topic, stance, focus on the teacher, and focus on technological elements. The results showed that grade-level differences were most evident in topic, stance, and focus on the teacher. First-year preservice teachers tended to attend to surface-level features, such as general pedagogical activities, evaluation-oriented stances, and teachers’ overt behaviors, whereas third-year preservice teachers focused more on mathematics education–specific instruction, interpretive stances, and instructional strategies reflecting the structure and pedagogical meaning of lessons. Both groups showed low levels of noticing related to students’ mathematical thinking and technological elements, suggesting the need for teacher education to strengthen noticing of both students and technology in AIDM-based instruction.

수학 학습 과정의 어려움은 부정적 요소가 아닌 깊은 이해를 돕는 기회가 되어야 한다. 동료 피드백은 교사 피드백을 보완하는 중요한 수단이다. 하지만 동료 피드 백이 항상 긍정적인 효과를 가져오는 것은 아니기에 면밀한 분석이 필요하다. 이에 본 연구에서는 수학적 모델링 활동을 중심으로 초등학교 5학년 학생 12명이 겪은 어려움과 생산적인 어려움을 촉진하는 동료 피드백을 분석하였다. 연구 결과, 학생 들은 수학적 모델링 활동에서 인지적, 사회적, 정의적 측면의 26가지 어려움을 겪 었으며, 어려움은 모델링의 각 단계에 걸쳐 순환적으로 나타났다. 다음으로, 학생들 은 동료의 어려움을 돕기 위해 과제의 인지적 요구 수준을 낮추는‘말해주기’방 법을 가장 많이 사용하였으며, 과제의 인지적 요구 수준을 낮추지 않는 ‘사고 유 도하기’와 ‘행동 유도하기’피드백은 생산적인 어려움을 촉진하는 효과적인 방 법이었다. 이러한 연구 결과를 바탕으로 수학적 모델링 활동과 동료 피드백에 대한 시사점을 논의하였다.

Difficulties in mathematics learning should be viewed not as negative factors to be eliminated, but as opportunities to foster deep understanding. While peer feedback serves as a crucial complement to teacher feedback in supporting students, it does not always yield positive effects, necessitating careful analysis. Consequently, this study analyzed the difficulties experienced by twelve 5th-grade elementary students and the peer feedback that promoted productive struggle during mathematical modeling activities. The results are as follows. First, students experienced 26 types of difficulties encompassing cognitive, social, and affective aspects. Notably, these difficulties appeared cyclically across the modeling stages rather than being limited to specific steps. Second, regarding peer feedback to address these difficulties, students most frequently utilized the "telling" method, which lowers the cognitive demand of the task. However, "guiding thinking" and "guiding action" feedback—which do not lower cognitive demand—were identified as effective methods for promoting productive struggle. Based on these findings, the study discusses implications for mathematical modeling instruction and peer feedback guidance.

본 연구는 사각형 이름 재정의 활동에서 초등 수학영재(23명)와 예비 초등교사(22명)가 산출한 91개의 응답을 분석하여, 집단 간 개념 인식 및 창의성 특성을 비교 하고 교육적 활용이 가능한 새로운 창의성 측정 지표를 제안하였다. 기존의 발산적 사고(TTCT) 중심의 평가(유창성, 융통성, 독창성, 정교성)와 사전에 확정된 해공간 의 한계를 극복하기 위해, 의미공간에서의 표준정의인 새로움(d)×적합성(s) 지표에 의사소통(c)을 결합한 DSC 지표(d×s×c)를 제안하였다. 분석 결과, 초등 수학영재 집단이 TTCT의 유창성, 융통성과 총점에서는 예비 초등교사보다 유의하게 높았으 나, 단순 곱 형태의 DSC 지표는 상쇄가 불가능한 식으로 작용하여 수학적 타당성 또는 소통 가능성이 결여된 극단적 발산 사례를 효과적으로 통제했기 때문이다. 또 한 인간 채점(구간, 기준)을 보완하기 위해 생성형 AI 채점(연속, 참고)을 함께 비교 한 결과 전반적인 평균 지표 해석의 정합성은 유지되었으나 의사소통(c) 평가는 채 점 주체와 준거 운영 방식에 따라 민감하게 반응함이 확인되었다. 본 연구는 오개 념을 창의성으로 과대평가하는 기존 평가의 맹점을 보완하고, 생성형 AI의 연속 값 산출을 활용하여 학생의 낯선 산출물을 교육적 교섭으로 이끄는 실시간 형성평가 설계의 실증적 근거를 제공한다. 학생의 낯선 산출물을 교육적 교섭으로 이끄는 실 시간 형성평가 설계의 실증적 근거를 제공한다. 나아가 본 연구는 학생들의 도형 재명명 활동이 단순한 언어유희가 아니라, n 각형의 분류 체계로 확장할 수 있는 수학적 직관을 내포하고 있음을 확인하였다.

This study analyzed 91 responses generated by elementary math gifted students(n=23) and pre-service elementary teachers(n=22) during a square name redefinition activity. It compared conceptual understanding and creativity characteristics between groups and proposed a new creativity measurement index suitable for educational applications. To overcome the limitations of existing divergent thinking assessments(TTCT) centered on fluency, flexibility, originality, and elaboration, and the constraints of predefined solution spaces, the DSC indicator(d×s×c) was proposed. This combines the standard definition of novelty(d) × suitability(s) in the semantic space with communication(c). Analysis revealed that while the gifted elementary math group significantly outperformed pre-service elementary teachers in TTCT fluency, flexibility, and total scores, the simple multiplication-based DSC metric acted as an irreplaceable formula. This effectively controlled for extreme divergent cases lacking mathematical validity or communicability. Furthermore, when generative AI scoring(continuous, reference) was compared alongside human scoring(interval, criterion) to supplement it, the overall consistency in interpreting average indicators was maintained. However, the communication(c) evaluation was found to be sensitive to the scoring entity and the reference operation method. This study provides empirical evidence for designing real-time formative assessments that leverage generative AIs' continuous value generation to guide students' unfamiliar outputs toward educational negotiation, thereby addressing the blind spot of existing assessments that overvalue misconceptions as creativity. It provides empirical evidence for designing real-time formative assessments that guide students' unfamiliar outputs into educational negotiations. Furthermore, this study confirmed that students' geometric renaming activities are not mere wordplay but embody mathematical intuition that can be extended into a classification system for n-gons.

본 연구는 뉴욕주 차세대 수학학습 규준의 초등 성취기준을 분석하여, 수학과 교육 과정의 수학적 연결성에 대해서 탐색하였다. 총 341개의 성취기준을 학년간의 연결 과 영역간의 연결로 분석한 결과, 41.8%에서 수학적 연결성이 확인되었다. 연결성 유형으로는 학년 내 타영역 연결이 16.4%, 학년 내 동일 영역 연결이 12.1%, 학년 간 동일 영역 연결이 7.5% 순으로 나타났으며, 내적 연결(약 36%)이 외적 연결(약 4%)보다 높은 비율을 보였다. 학년별로는 K–1학년에서 동일 영역 내 기초 개념 연 결이, 2–5학년에서는 타영역 통합과 학년 간 위계적 연결이 강조되었으며, 특히 5 학년에서 학년 간 동일 영역 연결이 가장 두드러졌다. 영역별로는 ‘수와 연산’이 동일 영역 내 위계적 연결의 축으로, ‘측정과 자료’가 타영역 간 횡적 통합의 중 심 통로로 기능하였으나, ‘도형’ 영역에서는 연결성이 상대적으로 미약하게 나타 났다. 이러한 분석 결과는 뉴욕주 교육과정이 학년과 영역의 특성에 따라 연결성의 유형과 밀도를 차별화하여 설계하고 있음을 보여준다. 본 연구는 수학적 연결성이 교육과정 설계의 핵심 원리로 기능할 수 있음을 실증적으로 확인하였으며, 성취기 준에서의 명시적 연결 구조 반영, 영역 간 통합을 고려한 평가 체계 설계, 그리고 내적 연결과 외적 연결의 균형 있는 구현 등 우리나라 수학과 교육과정 개정에 대 한 시사점을 제안하였다.

This study examined how mathematical connections is structured within the mathematics curriculum by analyzing the learning standards of the New York State Next Generation Mathematics Learning Standards (K–5). A total of 341 standards were analyzed, and 41.8% exhibited explicit connections. Among the types of mathemaitcal connections, intra-grade cross-domain connection accounted for 16.4%, intra-grade same-domain coherence for 12.1%, and cross-grade same-domain coherence for 7.5%, with internal connection (36%) significantly exceeding external connection (4.3%). By grade level, foundational concept connections within the same domain were emphasized in grades K–1, while cross-domain integration and cross-grade hierarchical connections were prominent in grades 2–5, with cross-grade within-domain connections being most notable in grade 5. By content domain, Number and Operations functioned as the axis of hierarchical connections within the same domain, while Measurement and Data served as a central pathway for cross-domain integration. In contrast, Geometry displayed relatively weak connections. These findings demonstrate that the New York State curriculum differentiates the types and density of connections according to grade level and domain characteristics. This study empirically confirms that mathematical connections can function as a core principle of curriculum design and suggests implications for revising Korea's mathematics curriculum, including the explicit incorporation of connection structures in achievement standards, the design of assessment frameworks that reflect cross-domain integration, and the balanced implementation of internal and external connections.

본 연구는 2022 개정 교육과정에 따른 초등 3∼4학년군 수학 교과서에서 문제해결 전략을 어떻게 제시하고 지도하는지를 분석하는 데 목적이 있다. 이에 따라 검정 수학 교과서·지도서 9종의 문제해결 차시 153개를 선정해 문제해결 전략 제시 유 형(T1∼T4)과 문제해결 전략 지도 유형(G1∼G4)을 코딩하고 10개의 문제해결 전략 과 기타 전략의 활용 양상을 양적·질적으로 분석하였다. 분석 결과, 수학 교과서 에서는 전략을 말풍선이나 대화형으로 제시하는 방식이 가장 많았으며, 지도서에서 는 전략명을 명시적으로 제시하는 방식이 중심을 이루었다. 또한 교과서별로 Polya 의 문제해결 단계를 구성하는 방식이 상이하였으며, 전략별로는 식 세우기가 가장 많이 사용된 반면 거꾸로 풀기나 목록 만들기는 드물게 제시되었다. 교과서별 문제 해결 차시의 구성 방식과 전략 활용이 달라 학생들의 문제해결 경험에 차이가 예 상된다. 이러한 결과는 3∼4학년 시기에 문제해결 전략을 균형 있게 경험할 수 있 도록 수학 교과서와 지도서 개발 시 다각도로 숙의가 필요함을 시사한다.

This study examines how mathematics textbooks and teacher’s guides for grades 3–4 under the 2022 Revised Korean Curriculum present and teach problem-solving strategies, with a focus on the curriculum’s emphasis on problem-solving competency. From nine approved textbook series, 153 problem-solving lessons were selected and coded according to four types of strategy presentation (T1–T4) and four types of instructional guidance (G1–G4). Ten problem-solving strategies identified in prior research, as well as additional strategies emerging from the analysis, were examined through quantitative and qualitative methods. The findings indicate considerable variation among publishers: some textbooks explicitly presented strategies, whereas others provided tasks without revealing the intended strategic approach. In the teacher’s guides, naming the target strategy was the most common pattern. Textbooks also differed in how they organized Polya’s problem-solving stages, resulting in variation in the flow of problem presentation and strategy use. Strategy frequency analysis showed a heavy reliance on writing equations, while strategies such as working backward and making lists were rarely included. Even when lessons addressed the same problem-solving focus, the organization of tasks and the choice of strategies differed across publishers, leading to variation in students’ problem-solving experiences. These results suggest the need for more coherent and balanced integration of problem-solving strategies in textbooks and teacher’s guides, particularly to ensure systematic exposure to diverse strategies in grades 3–4.

본 연구의 목적은 초등 예비교사가 자기 수업을 대상으로 셀프스터디에 참여하는 과정에서 전문적 노티싱이 어떻게 확장되는지를 분석하는 데 있다. 이를 위해 초등 예비교사 4명을 대상으로 교생실습 기간 중 실행한 수학 수업을 연구 대상으로 삼 아 셀프스터디를 설계·운영하였으며, 수업 영상, 수업 지도안, 셀프스터디 보고서 및 논의 자료를 수집하였다. 수업 관찰을 통해, 예비교사가 주목한 장면을 노티싱 측면과 노티싱 주제에 따라 분석하였다. 연구 결과, 예비교사들의 노티싱은 예측된 수업 실행을 점검하는 수준을 넘어, 수업 실행 과정에서 의미 있는 장면을 해석하 고 이후의 교수적 판단으로 연결하였다. 또한 노티싱 주제는 수학적 내용보다는 교 수학적 요소에 집중되는 경향을 보였다. 이러한 결과는 셀프스터디가 예비교사의 수업 인식을 전문적 노티싱으로 확장하는 데 기여할 수 있음을 시사한다.

The purpose of this study is to examine how elementary pre-service teachers’ professional noticing expands through participation in self-study of their own mathematics teaching practices. Four pre-service elementary teachers were engaged in a self-study during their teaching practicum, focusing on mathematics lessons they personally designed and implemented. Data sources included lesson videos, lesson plans, self-study reports, and discussion records. The collected data were analyzed using a noticing framework. The findings indicate that pre-service teachers’ noticing extended beyond checking whether lessons were implemented as planned. Instead, noticing functioned as a process of interpreting meaningful classroom events and connecting these interpretations to subsequent instructional decisions. In addition, the topic of noticing was found to concentrate more on pedagogical aspects than on mathematical content itself. These results suggest that self-study can support pre-service teachers in reconstructing their perceptions of teaching and foster the development of professional noticing in mathematics instruction.