Earticle

본 연구에서 예비교사들은 자신들의 학교수학에 대한 경험과 지식을 토대로 분수 의 곱셈과 나눗셈 지도 순서를 배치하는 활동을 하였다. 그 결과 교육과정의 제시 된 순서와 일치한 경우는 없었지만 이러한 활동은 예비교사의 인식을 드러낼 수 있는 기회가 되었고 예비교사들은 자신의 인식과 교육과정의 차이 그리고 서로 간 의 인식이 다름을 확인하면서 교사에게 필요한 지식을 배울 수 있었다. 즉, 예비교 사들은 분수와 소수의 곱셈과 나눗셈 지도 순서에 내재된 수학적 관계를 알 수 있 었고, 연산 지도에서 학생들의 사전 지식과 생각을 파악하는 것의 중요성과 어려움 을 알 수 있었으며, 교수학습 방법으로서 생산적 실패의 효과를 체감할 수 있었다.

In this study, prospective teachers were involved in arranging the teaching sequence of multiplication and division of fractions and decimal numbers based on their experience and knowledge of school mathematics. As a result, these activities provided an opportunity to demonstrate the prospective teachers' perception. Prospective teachers were able to learn the knowledge they needed by identifying the differences between their perceptions and curriculum. In other words, prospective teachers were able to understand the mathematical relationships inherent in the teaching sequence of multiplication and division of fractions and decimal numbers and the importance and difficulty of identifying students' prior knowledge and the effects of productive failures as teaching methods.

본 연구에서는 우리나라 초등학교 수학과 교육과정 중 수와 연산 영역의 수학 내 용 및 성취기준이 어떻게 변화되어 왔는지 분석하기 위하여 2015 개정 교육과정을 기본으로 한 분석틀을 제시하였다. 이를 기초로 각각의 성취기준들을 유형별로 분 류하여 그 특성 살펴보았다. 수와 연산의 성취기준은 그 특성에 따라 연속형 성취 기준, 소멸형 성취기준, 추가형 성취기준으로 나눌 수 있다. 연속형 성취기준이 1차 교육과정부터 2015 개정 교육과정까지 삭제되지 않고 지속적으로 존재해 온 성취 기준이다. 소멸형 성취기준은 교육과정이 9번 개정 하는 동안 어느 시기에 삭제되 어 현재 2015 개정교육과정에는 존재하지 않는 성취기준을 의미하는데, 제4차 교육 과정 이전과 이후의 소멸형 성취기준의 특성이 다르게 분석되었다. 추가형 성취기 준은 이전 시기에는 없다가 교육과정 개정 시 추가되거나, 이전 시기에 있다가 삭 제 후 재추가 되어 2015 개정 교육과정에 존재하는 성취기준을 의미한다. 이러한 성취기준의 변화에 따른 각 유형별 특성들은 우리나라 수학과 교육과정이 개정의 방향을 충실히 이행해온 결과라고 할 수 있다. 이와 같은 연구의 결과로부터 향후 교육과정 개발 시 성취기준의 구성에 있어서 몇 가지 시사점을 제안하였다.

In this study, we present an analysis framework based on the 2015 revised curriculum to analyze how mathematical contents and achievement standards for domains of numbers and computations have changed in the curriculum of elementary mathematics in Korea. Based on this, we classified the achievement standards by type and investigated their characteristics. The achievement standards for numbers and computations can be divided into the successive, the extinctive, and the additive achievement standards depending on their characteristics. The successive achievement standards are the ones that have consistently existed without being removed from the 1-st curriculum to the latest revision in 2015. The extinctive achievement standards are the ones that have been removed at some point during the revisions of nine times and do not remain in the current revision in 2015. The characteristics of the extinctive achievement standards were analyzed to be different before and after the 4-th curriculum. The additive achievement standards refer to the ones that have been newly added to the curriculum or that have been removed at a certain moment but added back in later and thus exist in the current revision in 2015. The characteristics of each type according to the changes of the achievement standards can be thought to be the results that the revision for the mathematics curriculum in Korea has been faithfully conducted. Based on the results of this study, we suggest some implications for organizing the achievement standards in the future curricular development.

초등학교 1학년 수학에서 ‘아무것도 없음’을 나타내는 수 0 은 ‘1보다 작은 수’의 의미로 도입된다. 또한 1, 2학년 수학에서 처음 제시되는 0 의 성질은 0 을 더하고, 빼고, 곱하는 예시적인 상황으로 설명된다. 그러나 이후 학습에서는 0 의 의미와 성질을 더 이상 명시적으로 다루지 않는다. 본 연구에서는 초등학교 학생들이 0 의 의미와 성질을 이해하는 데 도움을 주기 위하여 초등학교 수학 교과서에 제시된 0 의 도입 방식과 계산식을 해결하는 과정에서의 0 의 성질의 적용 방안에 대하여 논의하고자 한다. 이를 통해 초등학교 수학에서 0 의 의미와 성질에 관한 교육적 시사점을 도출하고자 한다.

The meaning of zero as a number signifying nothing is introduced as a number 1 less than 1 in the first grade mathematics textbook. In addition, the first appearance of the properties of zero are described by exemplary situations of adding zero, subtracting zero, and multiplying by zero in the first and second grade mathematics textbooks. The meaning and the properties of 0, however, are not explicitly dealt with any longer in the follow-up learning. In this study, we discuss the way of introducing zero and the applications of the properties of zero for solving number sentences so that they could help elementary school students understand the meaning and the properties of zero. Based on these results, we suggest some educational implications on teaching and learning mathematics of zero.

기존 이론적 연구에 의하면 메타정의적 능력은 학생의 정의적 요소로 하여금 수학 문제해결 과정에 긍정적으로 작용하게 만들어 성공적인 문제해결로 귀결됨을 알 수 있다. 이러한 인과성에 대한 실제적인 파악을 위하여 본 연구에서는 메타정의적 요소가 문제해결 활동에 작용하는 과정에서 구체적으로 보이는 특성을 알 수 있도 록 수학 영재아들의 문제해결 과정에 나타나는 메타정의를 문제해결의 성공 여부 에 따라 비교 분석하였다. 이를 위해 초등학교 4~6학년 수학 영재아를 소집단으로 구성하여 협업적 문제해결 상황에서 수집한 자료에 대하여 메타정의의 유형과 빈 도를 분석하였다. 그 결과 수학 영재아의 문제해결 과정에 나타난 메타정의 유형은 문제의 정답률과 긴밀한 관련성이 있음을 알 수 있었다. 우선, 문제해결의 성공 여 부와 관계없이 메타정의는 문제해결의 맥락과 관련된 인지적 요소가 먼저 나타나 는 메타정의 유형들이 상대적으로 빈번하게 나타났으며, 평가 및 태도 유형의 메타 적 기능으로 활발하게 작용하였다. 특히 수학 영재아의 성공적인 문제해결의 경우 메타정의는 평가 유형의 메타적 기능으로 매우 활발하게 작용하는 특성을 나타냈 다. 이와 같은 수학 영재아의 문제해결 과정에 작용하는 메타정의의 특성은 수학 영재아의 수학 문제해결 상황을 성공적으로 이끌기 위한 구체적인 지도방법 구안 에 기초를 제공할 것으로 생각한다.

According to previous studies, it shows that the metacognitive ability that makes the positive element of the problem solver positively affects the problem-solving process of mathematics. In order to accurately grasp causality, this study investigates the specific characteristics of the meta-affect factor in the process of problem-solving. To do this, we analyzed the types and frequency of data collected from collaborative problem-solving situations composed of 4th~6th grade mathematically gifted children in small group of two. As a result, it can be seen that the type of meta-affect in the problem-solving process of mathematically gifted children is related to the correctness rate of the problem. First, regardless of the success or failure of the problem-solving, the meta-affect appeared relatively frequently in the meta-affect types in which the cognitive factors related to the context of problem-solving appeared first, and acted as the meta-functional type of the evaluation and attitude. Especially, in the case of successful problem-solving of mathematically gifted children, meta-affect showed a very active function as meta-functional type of evaluation.

2015 개정 수학과 교육과정에서는 학생들에게 그래프를 지도할 때 신문, 인터넷에 있는 그래프를 소재로 활용할 것과 자료를 수집, 분류, 정리하여 그래프를 그리고 해석하는 일련의 통계적 문제 해결 과정을 겪어볼 것을 권장하고 있다. 전통적인 교과서를 통해 학생들이 배우는 그래프는 단일한 형태의 그래프들이었고, 특히 5~6 학년군의 그림그래프는 수치만 커졌을 뿐 기본 개념은 3~4학년군의 내용을 반복하 고 있다. 다행히 2009 개정 교육과정부터는 일부 그래프의 특성을 서로 비교하면서 상황에 적합한 그래프를 선택할 수 있도록 하고 있으며 현실 세계 사용되는 그래 프는 여러 가지 그래프들이 복합된 인포그래픽 형태로 제시되는 경우가 대부분이 다. 본 연구는 인포그래픽을 활용한 통계 프로젝트 수업 사례 분석을 통해 초등학 교 5학년 교실에서 활용 가능한 인포그래픽 활용 통계 프로젝트 수업을 구체화하 는 방안을 제안하였다.

The 2015 revised mathematics curriculum encourages students to use graphs in newspapers and the Internet as materials when teaching graphs, and to experience a series of statistical problem-solving processes that collect, classify, organize, graph and interpret data. The graphs that the students learn through traditional textbooks were a single type of graphs. In particular, the graphs of the 5th and 6th grade groups were only increased in numbers, but the basic concepts were repeated in the 3rd and 4th grades. Fortunately, from the 2009 revision curriculum, it is possible to select the graph suitable for the situation while comparing the characteristics of some graphs. In most cases, the graphs used in the real world are presented in the form of a compounded infographics. The purpose of this study is to analyze and analyze the manifestations of information processing competence elements emphasized in the 2015 revised curriculum through the statistical project class using the informal graphic in the fifth grade of elementary school. And we suggested a concrete class plan.

수학적 모델링은 수학과 현실의 연계성, 수학 문제 해결 등의 측면에서 중요시되면 서 다수의 연구가 진행되어 왔다. 수학적 모델링 지도와 관련된 선행 연구는 중고 등학생을 대상으로 한 것이 대부분이고 초등학교의 경우에는 그 대상이 고학년에 국한되어 왔다는 점에서 초등학교 저학년을 대상으로 수학적 모델링 수업을 하는 것이 사실상 어렵다는 것에 대한 암묵적인 공감이 있어왔다고 볼 수 있다. 이와 같 은 경향과 달리 본 연구는 수학적 모델링 지도가 모든 학령층에 가능하다는 주장 에 근거하여 초등학교 저학년을 대상으로 한 수학적 모델링의 적용 가능성을 탐색 하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 모델링 지도를 위한 과제 특성 및 초등학교 저학년 학생들의 인지적 특성을 반영하여 수학적 모델링 과제를 개발하고, 이를 초 등학교 2학년 한 학급을 대상으로 적용하였다. 수업 관찰 및 교사 성찰을 통해 파 악한 학생 활동 특성 및 과제 적용 시 나타난 지도상의 어려움에 근거하여 초등학 교 저학년 대상의 수학적 모델링 수업을 위한 교수학적 시사점을 제시하였다.

Considering precedent studies in which research subjects are mainly confined to secondary school students or higher grade students of elementary schools, we can notice that there has been implicit agreement that instruction of mathematical modeling is quite difficult to lower grade students of elementary schools. Compared to this tendency, this study aims to examine the possibility of instruction of mathematical modeling for all of school ages, and more specifically, the applicability of mathematical modeling tasks to lower graders. To do this, we developed a mathematical modeling task proper to cognitive characteristics of lower graders and applied this task to the second graders. Based on the research results by lesson observation and the teacher’s reflection, some didactical suggestions were induced for teaching the lower grade elementary school students mathematical modeling.

본 연구는 우리나라 초등학교 타 교과 수업에서 다루고 있는 통계 그래프를 살펴 봄으로써 통계적 소양 함양을 강조하는 실용통계 교육의 관점에서 초등학교 수학 수업에서의 통계 그래프 지도의 개선점과 시사점을 도출하기 위해 수행되었다. 구 체적으로, 초등학교 타 교과 교과서 99권을 선정하고, 교과서에 등장하는 통계 그 래프 133개를 확인하여 이를 교과별, 종류별로 확인하고 내용 측면과 형태 측면으 로 나누어 수학 교과서에 등장하는 통계 그래프와는 이질적인 특성을 가진 사례를 분석하였다. 연구 결과 타 교과 중에서는 사회과에서 통계 그래프가 가장 빈번하게 사용되었고, 막대그래프와 꺾은선그래프, 표, 원그래프 순으로 등장 빈도가 높았다. 내용 측면에서는 수학과와 타 교과 간 계열성 문제, 비율그래프의 등장 시기, 물결 선의 활용이, 형태 측면에서는 시각적 표현의 다양성, 복합적 형태의 표현, 특정 교 과에만 등장하는 형태의 그래프가 논의할 만한 이슈로 확인되었다. 이를 통해 초등 학교 수학 수업에서 통계 그래프를 지도할 때 고려해야 할 시사점을 제언의 형태 로 도출하였다.

This study was carried out in order to draw some implications for teaching statistical graph in mathematics education with respect to practical statistics education for promoting students’ statistical literacy. We analyze 133 graphs appearing in 99 elementary textbooks of other subjects (subjects except from mathematics) by subjects and types, and identify some cases of graphs addressed by other subjects. As a results, statistical graph was most addressed in social studies, and bar graphs, line graphs, tables, and circle graphs are most used in other subjects. Moreover, there are some issues related to contents―(1) the problem of curricular sequencing between mathematics and other subjects, (2) the level of addressing ratio graph, and (3) the use of wavy lines. In terms of forms, (1) the visual variation of graphical representations, (2) representation combining multiple graphs, and (2) graphs specialized for particular subjects are drawn as other issues. We suggest some implications to be considered when teaching the statistical graph in elementary mathematics classes.

초등학교 수학에서 최근 대수적 사고의 중요성과 함께 수와 연산의 성질을 암묵적 으로 다루기보다 그 자체로 의미 있게 탐구해야 한다는 필요성이 부각되어 왔다. 이러한 필요성을 바탕으로, 본 연구는 초등학교 3학년 학생들을 대상으로 곱셈 단 원을 재구성하여 연산의 성질을 지도한 후, 이에 대한 학생들의 이해가 어떻게 신 장되었는지 분석하는 데 초점을 두었다. 이를 위하여 3개의 학급 학생들이 본 연구 에 참여하였으며, 곱셈의 연산 성질에 대한 사전․사후 검사를 실시하여 그 결과를 분석하였다. 연구 결과, 학생들은 대체로 곱셈의 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙을 (두 자리 수)×(한 자리 수)의 맥락에서 적용하는 문항, (두 자리 수)×(두 자리 수) 의 맥락에서도 연산 성질이 적용되는지 추론하는 문항에서 정답률이 향상되었으며, 일부 학생들은 연산 성질에 대해 일반화해서 설명하는 능력이 신장되었다. 이러한 결과를 토대로 초등학교 수학에서 연산 성질을 지도하는 방안과 관련한 시사점을 논의하였다.

Along with the significance of algebraic thinking in elementary school, it has been recently emphasized that the properties of number and operations need to be explored in a meaningful way rather than in an implicit way. Given this, the purpose of this study was to analyze how third graders could understand the properties of operations in multiplication after they were taught such properties through a reconstructed unit of multiplication. For this purpose, the students from three classes participated in this study and they completed pre-test and post-test of the properties of operations in multiplication. The results of this study showed that in the post-test most students were able to employ the associative property, commutative property, and distributive property of multiplication in (two digits) x (one digit) and were successful in applying such properties in (two digits) x (two digits). Some students also refined their explanation by generalizing computational properties. This paper closes with some implications on how to teach computational properties in elementary mathematics.

본 연구는 초등학교 4,5,6 학년 학생들의 그래프 이해 능력을 조사하여 분석한다. 이미 학습한 그래프에 대한 이해뿐만 아니라 수학과 교육과정에서 형식적인 학습 이 이루어지지 않은 그래프에 대한 이해도 함께 조사한다. 이를 위해 선행연구를 토대로 그래프의 이해를 ‘그래프를 보고 자료 읽기’, ‘자료 사이의 관계 찾 기’, ‘자료 해석하기’, ‘상황 이해하기’로 구분하여 학생들의 그래프 이해를 검사하고, 학년별과 그래프별로 분석하였다. 분석결과, 학생들은 형식적인 학습을 하지 않은 그래프에 대해서 비교적 우수한 이해 능력을 보였다. 그래프별 정답률을 보았을 때 다른 그래프에 비추어 꺾은선그래프에 대한 이해가 약한 것으로 나타났 다. 학생들이 대부분의 그래프에서 공통적으로 보인 오류는 제시된 자료에 근거하 지 않고 자신의 주관적인 생각이나 경험에 의존하여 문제를 해결하는 것이었다.

This study investigates how well grade 4, 5, and 6 students understand graphs before formal education is done on graphs. For this, we analyzed students' understanding of graphs by classifying them into ‘reading data’, ‘finding relationships between data’, ‘interpreting data’, and ‘understanding situations’ based on previous studies. The results show that the students have good understanding of graphs that did not have formal education. This suggests that it is necessary to consider the timing of the introduction of the graph. In addition, when we look at the percentage of correctness of each graph, it is found that the understanding of the line graph is weaker than the other graphs. The common error in most graphs was that students relied on their own subjective thoughts and experiences rather than based on the data presented.