Earticle

본 연구에서는 5~6학년군에서 지도되고 있는 높이의 정의 지도에 대한 문제점을 분석하고 개선 방안을 탐색해 보았다. 주요 문제점으로는 높이라는 한 가지 용어가 서로 다른 평면도형이나 입체도형에서 다른 설명으로 제시됨으로써 학생들의 이해 가 쉽지 않다는 점과 입체도형의 높이의 정의 중에는 학생들의 선수 학습만으로는 이해하기 어려운 부분도 있다는 점, 그리고 수학적 정의의 준거라는 관점에서도 충 족시키지 못하는 부분이 있다는 점을 들 수 있다. 이를 개선하기 위한 방안으로 평 면도형에서는 한 점에서 마주보는 변에 수직으로 내린 선분의 길이라는 일관된 정 의 고려, 입체도형의 높이에 대한 외연적 정의 고려, 교육과정의 용어로 높이 외에 각각의 도형의 높이까지 용어로 지정하는 방안에 대한 고려가 필요함을 논하였다.

This study examined how fifth and sixth-grade primary mathematics textbooks described the definition of height and suggested implications for improving them. The study found that the definitions of height were presented differently across two-dimensional and three-dimensional figures, making it difficult for students to understand their meaning. Additionally, some definitions of height for solid figures were not based on students' pre-learned knowledge, which further hindered their comprehension. Moreover, the definitions of height presented in current mathematics textbooks did not meet the criterion of a mathematical definition. To enhance mathematics textbooks, we should consider the following: a) using coherent definitions of height in two-dimensional figures (such as the length of the perpendicular line segment from a point to the base), b) using extensional definitions of height in three-dimensional figures, and c) add the height of individual figures (e.g., the height of parallelogram, the height of prism, etc.) to the terms in mathematics curriculum.

본 연구에서는 사과 4/3 개, 밀가루 5/2 컵, 우유 3/2 L와 같은 대상-분수-단위의 결합표 기에 대한 학생들의 해석구조와 이해 양상을 알아보고 양 개념 이해를 위한 학습 지도 방안을 제안하였다. 4학년 학생 120명을 대상으로 대상-분수-단위의 결합표기 가 나타내는 양의 이해 양상을 조사한 결과, 단위량에 분수가 작용하는 해석구조, 대상에 분수가 작용하는 해석구조, 분모, 분자 각각에 단위를 결합하는 해석구조 의 세 가지 해석구조가 나타났다. 이 중 올바른 해석구조는 매우 낮은 비율로 나타 났다. 각 해석구조의 의미구성 과정 분석을 통해 학생들이 가지고 있는 심상이 어 떤 방식으로 결합하는지 살펴보고, 학생들에게 어떠한 심상이 보완될 필요가 있는 지를 탐색하였다. 이를 바탕으로, 양 개념 이해를 위해 단위량의 심상 형성, 상황을 바탕으로 한 다양한 양의 조작, 수와 단위가 결합된 표기의 이해를 위한 학습지도 를 제안하였다.

In this study, we examined the features of students' interpretation structures to the combined notations with objects, fractions, and units such as milk 3/2 L and students' understanding of the concept of quantity. As a result, three interpretation structures were found out. In interpretation structure ①, fractions act on unit quantities. In interpretation structure ②, the fraction acts on the objects. In interpretation structure ③, units are combined with the denominators and the numerators respectively, and that combinations were considered as the amount of numerators to the amount of denominators. Interpretation structure ①, which is the proper interpretation structure, appeared at a very low rate of less than 10%. Interpretation structure ② was mainly shown when there was a strong perception that fractions represent the equal division of the concrete objects. Interpretation structure ③ was mainly shown when there was a strong perception that denominators and numerators should be viewed separately. To improve students’understanding the quantities expressed by the combined notations with objects, fractions, and units, we proposed the teaching-learning principles such as ‘building up mental objects of unit quantity’, ‘operations of various quantities based on the situation’, and ‘understanding the expression of numbers-units’.

이 논문에서는 심성함양의 관점에서 이루어진 우리나라의 수학교육 연구에서 제기 된 주장을 교사, 학생, 수학교육과정, 수학학습지도로 나누어 살펴보면서 초등 수학 교육에 대한 함의를 고찰하고 앞으로의 과제를 제안한다. 교사에 관하여, 심성함양 의 관점은 수학 교과 지식의 구현체가 될 것을 요청한다. 이 요청은 교육 동기와 관련하여 교사 전문성 및 교육대학의 교사 양성 과정에 시사하는 바가 있다. 학생 에 관하여, 수학 공부에 열정적으로 몰입하며 교사가 하는 것을 따라할 것 등을 요 청하는데, 심성함양의 관점에서 학생에게 해야 하는 보다 중요한 요청은 학생의 현 재의 심성을 있는 그대로 거리낌 없이 나타내라는 것이다. 수학교육과정에 관하여, 심성함양의 관점이 수학 교과의 내용 선정 준거 마련에 기여할 가능성에 대한 기 대가 있지만, 심성함양의 관점은 그런 기능을 하기 어렵다. 대신, 현행 수학과 교육 과정 문서의 핵심 아이디어 진술에 변화를 가져올 수 있으며, 도달점 행동에 지나 치게 관심이 쏠리는 것을 막는 방식으로 교육과정의 실행에 기여할 수 있다. 수학 학습지도에 관하여, 심성함양의 관점은 학교수학의 교수학적 분석과 역사발생적 원 리, 수학화 교육론과 같은 학습지도원리를 토대로 삼는다. 이 위에, 앞으로 수학 교 과 지식의 본질과 학생의 현재의 생각에 주의를 기울이는 교사에 의하여 세부적이 고 구체적인 수학 교과 지식을 소재로 진전과 탈바꿈을 이루어가는 교육 연구가 활발하게 이루어져야 한다. 이런 연구는 심성함양을 위한 수학교육이 우리나라 초 등 수학교육의 실제에 자리 잡고 확산되는 데 실로 중요하다.

The purpose of this study is to review previous studies on mathematics education conducted from the perspective of cultivation of mind and propose future tasks. Arguments made in the previous studies were categorized into four areas: teachers, students, mathematics curriculum, and teaching and learning of mathematics. The previous studies ask teachers to be the living embodiment of mathematical knowledge that they teach. This request has important implications for teacher education in relation to educational motivation. The previous studies ask students to immerse themselves in studying mathematics with enthusiasm and patience, following the example of their teachers. In my view, this request is problematic in that it requires from the start the attitude that can be formed through education. It is more important to ask students to show their present mind without hesitation in mathematics class. Though the previous studies express hope that the perspective of cultivation of mind would block attempts to reduce mathematics in curriculum revision, the perspective does not seem to function that way. There are other ways that the perspective makes its contribution to mathematics curriculum. Regarding teaching and learning of mathematics, the previous studies give significance to didactical analysis on the subjects of school mathematics and suggest some principles of teaching and learning. Upon this foundation, further detailed studies that show educational practices that cultivate students’ mind with particular mathematical knowledge are needed. These studies can be conducted well by teachers who have profound understanding of mathematical knowledge that they teach and pay close attention to students’ mind. Such studies are the key to realizing mathematics education for cultivating mind.

문제해결 역량을 신장하는 것은 수학교육의 중요한 목표 중 하나이고, 수학 교과서 에서는 이를 위한 다양한 교수학적 요소를 포함하고 있다. 본 연구에서는 2015 개 정 교육과정에 따른 초등학교 3~4학년군 검정 수학 교과서 중 6종 교과서의 문제 해결 차시에서 수학 과제의 비구조화 정도는 어떠한지, 수학적 활동에서 의도된 문 제해결 전략, 협력적 문제해결, 문제 만들기의 구현은 어떠한지를 분석하였다. 분석 결과로부터 초등 수학 교과서의 문제해결 차시 구성 및 문제해결 교수・학습에 관 한 시사점을 도출하였다.

One of the important goals of mathematics education is to enhance students' problem solving competencies. So various pedagogical elements related to problem solving are included in mathematics textbooks for this purpose. In this study, the problem solving lessons in six authorized mathematics textbooks for grades 3-4 according to the 2015 revised curriculum were analyzed from the following perspectives. : What are the degree of ill-structured of mathematical tasks, and how are the implementation of problem solving strategies, cooperative problem solving, and problem posing intended in the mathematical activities? From the analysis results, implications for the composition of problem solving lessons in mathematics textbooks and teaching and learning problem solving in elementary mathematics were derived.

수·연산 적응성은 수와 연산의 성질 및 연산 간의 관련성을 이해하는 정도를 나 타내는 것으로 문제 해결자가 유연하고 적절한 문제풀이 전략을 구사할 수 있도록 돕는다. 본 연구에서는 주어진 숫자와 연산을 이용해서 다양한 수식을 생성하는 수 식 생성 과제를 통해 초등학교 5학년(n = 76)과 6학년(n = 76)의 수·연산 적응성을 측정하였다. 또한 수·연산 적응성이 고학년의 수학 학업성취도를 예측하는 주요 변인인지를 검증하였다. 주요 결과로 첫째, 초등학교 고학년은 수식을 생성할 때 덧셈의 사용 빈도가 높았으나 상대적으로 나눗셈의 사용 빈도는 낮았다. 둘째, 수·연산 적응성은 생성해야 하는 수식의 목표 숫자의 크기가 작을 때가 클 때보 다 높았다. 셋째, 수·연산 적응성은 일반 인지기능, 연산 유창성, 연산 법칙 이해 를 통제한 이후에도 수학 성취도를 유의하게 예측하였다. 이상의 결과를 토대로 초 등학교 고학년의 수학 실력 향상을 위한 교수학습 지도방안에 대해 논의하였다.

The adaptivity of numbers and operations represents the understanding of numbers, operations, and operational relations, and it helps problem solvers to apply flexible and appropriate problem-solving strategies. The study assessed 5th (n = 76) and 6th graders’(n = 76) adaptivity of numbers and operations by using the arithmetic sentence production task, which requires students to produce various arithmetic sentences by using any combination of given numbers and arithmetic operations. Furthermore, the study evaluated whether the adaptivity of numbers and operations is a key predictor of upper elementary school students’ mathematics achievement. The results showed that at first, the frequency of the use of arithmetic operations in upper elementary students was high in addition but was relatively low in division when producing arithmetic sentences. Second, the adaptivity of numbers and operations was higher when the size of a target number was small than when it was large. Third, the adaptivity of numbers and operations significantly predicted upper elementary students’ mathematics achievement even after controlling for general cognitive ability, arithmetic fluency, and arithmetic principles knowledge. Based on these findings, we discuss instructional approaches to enhance upper elementary students’ mathematics competence.