Earticle

본 연구에서는 초등학생들이 다양한 비례 추론 과제를 해결할 때 사용하는 비례 추론 전략과 정답률을 분석하여 비례 추론 능력 지도를 위한 시사점을 제공하고자 하였다. 이를 위해 비례식을 학습한 6학년 173명을 대상으로 조사 연구를 실시하였다. 비례 추론 과제는 대수․기하, 양적․질적 추론, 미지값․비교 과제로 구분하고, 선행 연구에서 사용된 비례 추론 문항을 참조하여 다양한 과제 유형을 고려한 문항으로 검사지를 구성하였다. 과제 유형별로 정답률을 살펴보면, 기하 과제보다는 대수 과제, 질적 추론 과제보다는 양적 추론 과제, 비교 과제보다는 미지값 과제의 정답률이 상대적으로 높게 나타났다. 학생들이 사용한 비례 추론 전략을 살펴보면 비례식을 학습하였음에도 불구하고 형식적 전략보다는 인수 전략, 단위 비율 전략과 같은 비형식적 전략을 사용하는 비율이 상대적으로 높게 나타났다. 이와 같은 결과를 바탕으로 비례 추론 능력 지도를 위한 시사점으로 형식적 전략의 약화와 비형식적 전략의 명시적 지도, 질적 추론의 강화 및 질적․양적 추론의 결합, 다양한 과제 유형의 균형있는 취급 등을 제안하였다.

This study aims to investigate an approach to teach proportional reasoning in elementary mathematics class by analyzing the proportional strategies the students use to solve the proportional reasoning tasks and their percentages of correct answers. For this research 174 sixth graders are examined. The instrument test consists of various questions types in reference to the previous study; the proportional reasoning tasks are divided into algebraic-geometric, quantitative-qualitative and missing value-comparisons tasks. Comparing the percentages of correct answers according to the task types, the algebraic tasks are higher than the geometric tasks, quantitative tasks are higher than the qualitative tasks, and missing value tasks are higher than the comparisons tasks. As to the strategies that students employed, the percentage of using the informal strategy such as factor strategy and unit rate strategy is relatively higher than that of using the formal strategy, even after learning the cross product strategy. As an insightful approach for teaching proportional reasoning, based on the study results, it is suggested to teach the informal strategy explicitly instead of the informal strategy, reinforce the qualitative reasoning while combining the qualitative with the quantitative reasoning, and balance the various task types in the mathematics classroom.

본 논문에서는 비율 관련 용어(비율, 비, 비의 값, 백분율, 비례식)의 정의에 초점을 맞추어 우리나라와 일본의 초등학교 수학 교과서를 비교하였다. 그 결과 두 나라의 교과서 사이에 상당한 차이가 있음을 알 수 있었다. 일본 교과서는 우리나라 교과서와는 다르게, 외적 비율과 내적 비율을 구분해서 정의하고 있으며, 비()를 내적 비율의 하위 개념으로 설정하고 있다. 또, 비와 백분율은 내적 비율에 한정하여 그 표시 방법으로 제시하고 있다. 이러한 비교 결과로부터, 우리나라 수학 교과서 개발에서 참고할 수 있을 만한 다음의 4가지 시사점을 결론으로 제시하고자 한다. 첫째는 비율은 내적 비율을 의미하는 것으로 한정할 필요가 있다. 둘째, 내적 비율로서의 비율을 내포적으로 정의하여 비의 선행 개념으로 설정할 필요가 있다. 셋째, 백분율과 관련해서 1%를 내적 비율을 나타내는 0.01로 정의하는 것을 생각해 볼 수 있다. 넷째, 비를 내적 비율의 표시 방법으로 볼 때, 이 비를 하나의 수로 나타낸 것을 비의 값으로 정의할 필요가 있다.

In this paper, focusing on definitions of terms related to ratio (, external ratio, internal ratio, percentage, proportion, bi-ui-gap(value of )), elementary school mathematics textbooks of Korea and Japan are compared. We can find significant differences between Korean and Japanese textbooks. In Korean textbook, 'bi-yul' includes both of the internal ratio and the external ratio. In Japanese textbooks, the external ratio(amount of unit size) and the internal ratio(wariai) are defined independently. And is set to a subconcept of the internal ratio. In addition, and percentage are presented as methods to express the internal ratio. From these results, the following four implications for developing our mathematics textbooks can be presented as conclusions. First, it is necessary to limit the ratio to mean the internal ratio. Second, it is necessary to define connotatively the ratio as the internal ratio and to set it as a prior concept of . Third, it is necessary to define 1% as the internal ratio 0.01. Fourth, it is necessary to define bi-ui-gap as a number for expressing , when viewing as the expression method of the internal ratio.

본 논문은 2009 개정 교육과정 초등학교 3학년 수학 교과서와 익힘책에 제시된 곱셈과 나눗셈 문장제를 유형별로 분석하고, 초등학교 4학년 학생을 대상으로 문장제 유형에 따른 문제해결능력을 살펴봄으로써 곱셈과 나눗셈 문장제의 효율적인 지도방안을 생각해보기 위한 것이다. 이를 위해 먼저 초등학교 3학년 수학 교과서와 익힘책에 제시된 자연수의 곱셈 문장제를 동수누가, 비율, 비교, 정렬, 조합의 5가지 의미 유형으로, 나눗셈은 등분제와 포함제의 2가지 유형으로 구분하여 살펴보았다. 이와 함께 곱셈과 나눗셈 문장제에서 미지수의 위치에 따라 처음량, 변화량, 결과량을 묻는 문장제의 구문 유형에 대해서도 살펴보았다. 그런 다음 4학년 학생을 대상으로 문장제 문제해결능력 검사 도구를 개발하였는데, 앞서 분석한 곱셈과 나눗셈의 문장제 유형을 의미와 구문으로 나누어 2차례의 검사를 실시하여 정답률과 학생들의 오답 반응 등을 분석하였다. 분석 결과 곱셈은 동수누가에서의 정답률이 높게 나온 반면 나눗셈의 경우 포함제와 등분제에서 차이를 보이지 않았는데, 이는 교과서의 문제 유형 분포와 상관관계를 보임을 알 수 있다. 이러한 논의를 바탕으로 곱셈과 나눗셈 문장제의 효과적인 지도와 학생들의 문장제 문제해결능력을 향상시키기 위해 다양한 유형의 문장제를 제시할 필요가 있음을 제안하고 있다.

This study analyzes arithmetic word problem of multiplication and division in the mathematics textbooks and workbooks of 3rd grade in elementary school according to 2009 revised curriculum. And we analyzes type of the problem solving ability which 4th graders prefer in the course of arithmetic word problem solving and the problem solving ability as per the type in order to seek efficient teaching methods on arithmetic word problem solving of students. First, in the mathematics textbook and workbook of 3rd grade, arithmetic word problem of multiplication and division suggested various things such as thought opening, activities, finish, and let's check. As per the semantic element, multiplication was classified into 5 types of cumulated addition of same number, rate, comparison, arrayal and combination while division was classified into 2 types of division into equal parts and division by equal part. According to result of analysis, the type of cumulated addition of same number was the most one for multiplication while 2 types of division into equal parts and division by equal part were evenly spread in division. Second, according to 1st test result of arithmetic word problem solving ability in the element of arithmetic operation meaning, 4th grade showed type of cumulated addition of same number as the highest correct answer ratio for multiplication. As for division, 4th grade showed 90% correct answer ratio in 4 questionnaires out of 5 questionnaires. And 2nd test showed arithmetic word problem solving ability in the element of arithmetic operation construction, as for multiplication and division, correct answer ratio was higher in the case that 4th grade students did not know the result than the case they did not know changed amount or initial amount. This was because the case of asking the result was suggested in the mathematics textbook and workbook and therefore, it was difficult for students to understand such questions as changed amount or initial amount which they did not see frequently. Therefore, it is required for students to experience more varied types of problems so that they can more easily recognize problems seen from a textbook and then, improve their understanding of problems and problem solving ability.

2009 개정 교육과정에 따른 초등학교 수학 교과서의 주요한 특징 중의 하나는 단원 도입에 스토리텔링을 적용한 것이다. 특히 1학년 수학 교과서의 ‘비교하기’ 단원은 단원 전체가 스토리텔링 방식으로 구성되었다. 본 논문은 비교하기 단원을 중심으로 교과서에 제시된 스토리의 내용과 학습 활동을 수학 교육적인 관점과 인성 교육적인 관점에서 분석하였다. 이를 바탕으로 스토리텔링 방식의 수학 교수학습에 나타날 수 있는 문제점을 논의하고, 재구성한 활동을 대안으로 제시하고, 교육학적인 시사점을 도출하였다.

Storytelling is one of the important features in the elementary school mathematics textbooks of the 2009 revised curriculum. In particular, the whole‘comparing objects’unit in the first grade mathematics textbook is based on storytelling method. In this study, we investigate the contents of the stories and the mathematical activities in the‘comparing objects' unit from both mathematical and character educational viewpoints. Based on our investigations, we analyze educational problems on teaching and learning mathematics as storytelling, suggest reconstructed alternative mathematical activities, and drew their educational implications.

본 연구는 2009 개정 3,4학년 수학 교과용 도서에서 인성 요소를 어떠한 방식으로 포함하고 있는지 분석하는 것을 목적으로 하였다. 이 연구에서는 교과서 및 교사용 지도서에 제시된 자료 중에서 인성 요소를 발견할 수 있는 부분을 먼저 찾고, 그것이 어떤 방식으로 수학적 내용과 연계되고 있는가를 분석하였다. 본 연구의 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 3,4학년 수학 교과서 대부분의 단원에서 인성 요소를 발견할 수 있었으나 특정 인성 요소에 편중되어 있었다. 둘째, 인성 요소를 연계하고 있는 방식으로 직접적인 인성적인 소재 활용이 가장 많았고, 수학적인 개념과 접목, 광의의 관점에서 접목, 그리고 문제해결 단계에서 접목하는 방법 순으로 빈도가 많았다. 셋째, 상대적으로 책임, 인내, 공정, 용기 등의 인성 요소가 취약하게 다루어졌다. 본 연구 결과 시사점으로는 편중되어 있는 인성의 요소를 가능한 고르게 반영하여 초등학교 수학 교과용 도서를 개발할 필요가 있다. 그리고 단순한 인성적인 소재 활용 외에도 수학적인 개념과 접목하거나 광의의 관점에서 접목하는 등의 수학적으로 보다 의미 있는 인성 요소 연계방안에 대한 후속적인 연구가 필요함을 제안하였다.

The purpose of this study was to analysis how the elements of character are reflected in the 3rd and 4th grade elementary mathematics textbooks based on the 2009 revised curriculum. This study focused on the elements of character in the 3rd and 4th grade mathematics textbooks. The researchers analyzed the elements of character in the students’mathematics textbooks and teacher’s guide books. In particular, they analyzed how those elements of character are reflected in those books. Findings of this study are as follows. First of all, the elements of character were founded in the most of units on the 3rd and 4th grade mathematics textbooks, but they were biased to the specific elements of character. Second, the resources using related with character vary in the textbooks. As methods of character education, connections of elements of character with mathematical concepts, broader view of the world, or problem solving are appeared. From the results of the research, we suggest the followings. We need to set the teacher’s roles in character education. Mathematics textbooks should include various elements of character for effective character education. In addition to development of quality materials for character education in mathematics education, teacher education programs should include character education in mathematics education.

초등학교에서는 여러 가지 이유로 교수학적 변환이 불가피하다. 수학에서는 덧셈과 곱셈은 이항연산, 뺄셈과 나눗셈은 단항연산으로 다루고 있는 반면, 초등에서는 사칙연산 모두를 이항연산으로 취급하는 교수학적 변환을 시도한다. 그런데 사칙연산의 개념을 ‘익힌다는 것’은 개념이 어떻게 도입되는가가 더 중요하게 부각된다는 점에서 개념을 이해하는 것과는 다르다. 이에 본 연구에서는 자연수와 분수의 사칙연산을 개념 익히기(개념이 어떻게 도입되고 있는지와 연산 선택의 문제)와 연산 사이의 연결이라는 두 가지 관점으로 분석하여, 자연수와 분수의 사칙연산 지도와 관련된 몇 가지 시사점을 도출하였다. 분수의 나눗셈에서는 상황을 바탕으로 연산을 선택하지 않고 곧장 분수의 곱셈과의 연결을 시도했다는 것과 분수의 나눗셈을 그 자체로 이해하기 위해서는 5학년 2학기와 6학년 1학기에 걸쳐 제시되어 있는 분수의 나눗셈을 통합해야 한다는 것 등이 그것들이다. 이는 후속 교과서 개발 시 유용한 참고자료가 될 것으로 판단된다.

In elementary school, didactical transposition is inevitable due to several reasons. In mathematics, addition and multiplication are taught as binary operations, subtraction and division are taught as unary operations. But in elementary school, we try to teach all the four operations as binary operations by didactical transposition. In‘Mastering’the concepts of the four operations, the way of concept introduction is dealt importantantly. So it is different from understanding the four operations. In this study, we analyzed the four operations of natural numbers and fractions from two perspectives: concept understanding (how to introduce concepts and how to choose an operation) and connection between the operations. As a result, following implications were obtained. In division of fractions, students attempted a connection with multiplication of fractions right away without choosing an operation, based on the situation. Also, to understand division of fractions itself, integrate division of fractions presented from the second semester of the fifth grade to the first semester of the sixth grade are needed. In addition, this result can be useful in the future textbook development.

본 논문은 칠교판의 일곱 조각을 모두 사용하여 만들 수 있는 볼록다각형의 개수를 탐구 주제로 한다. 본 탐구 주제는 현재 두 가지 방법을 통해 증명이 되었다. 한 가지 방법은 피크의 정리(Pick's theorem)를 이용한 방법이고, 다른 한 가지는 和々草의 방법(2007)이다. 하지만 두 방법은 초등교육과정 수준을 벗어난 내용을 포함하고 있기 때문에 초등에서 다루기에는 무리가 있다. 이 논문에서는 초등수준에서 적용이 가능한 증명 방법인 단위넓이를 이용한 방법과 최소넓이를 이용한 방법을 대안으로 제시한다. 그리고 새롭게 제시한 증명 방법이 초등수학영재에게 실제 적용 가능한지를 알아보기 위해 총 4차시에 걸친 수업 프로그램을 구성하였고, 이를 A초등학교 5학년 학교단위 영재학급 학생 5명을 대상으로 적용하였다. 그 결과 5학년 초등수학영재 수준에서 칠교판으로 만들 수 있는 볼록다각형의 개수를 정당화하는 것은 가능함을 보였다.

The inquiry subject of this paper is the number of convex polygons one can form by attaching the seven pieces of a tangram. This was identified by two mathematical proofs. One is by using Pick's Theorem and the other is 和々草's method, but they are difficult for elementary students because they are part of the middle school curriculum. This paper suggests new methods, by using unit area and the minimum area which can be applied at the elementary level. Development of programs for the mathematically gifted elementary students can be composed of 4 class times to see if they can prove it by using new methods. Five mathematically gifted 5th grade students, who belonged to the gifted class in an elementary school participated in this program. The research results showed that the students can justify the number of convex polygons by attaching edgewise seven pieces of tangrams.

본 연구의 목적은 수학영재프로그램이 초등학교 영재학생들의 학습유형에 미치는 영향을 조사함으로써 수학영재프로그램 구성을 위해 프로그램의 특성 및 다양성에 대한 함의점을 얻는 것이다. 구체적으로 영재교육을 처음 접하는 초등학교 3학년 학생 53명을 대상으로 총 9차시의 수학영재프로그램 적용 전․후에 있어 Kolb의 학습유형 검사지를 적용하고, 그 결과를 비교․분석함으로써 연구 대상의 학습유형 변화를 파악하였다. 변화 특징으로 주목할 것은 조절형과 동화형은 거의 변화가 없는 것에 반해 확산형은 증가했고 수렴형은 감소했다는 점이다. 또한, 전체 연구 대상의 구체적 경험(CE)의 평균이 유의미하게 높아졌음을 보였다. 이와 같은 분석 결과에 기초한 논의로부터 수학영재프로그램의 특성에 대한 교수학적 시사점을 제안하였다.

It is well-known that every learner has his/her own learning style and the learning style has a great effect on his/her learning characteristics, processes and achievements. This study aims to induce some implications for designing the gifted mathematics programs which go with gifted students’ learning styles. To do this, we applied the gifted mathematics program of nine lessons to 52 third grade gifted students and examined the characteristics of the programs according Kolb’s learning style. To investigate the effect of the program, the pretest and posttest for applying the programs were taken and the results of two tests were analysed by t-test. As a result, the students of diverging style increased and the ones of converging style decreased, while there is little change in the accommodating style and the assimilating style. It was also shown that the average of the concrete experience(CE) of the subjects has increased significantly. This study also contains some pedagogical implications based on discussing about the results of analysis.

예비교사가 수학 수업을 어떻게 이해하고 비평하는지는 수업전문성 개발의 기초가 되므로 중요하다. 본 연구는 예비교사들이 교육실습 과정 중 현직교사의 시범 수업을 참관한 후 작성한 수업 비평을 토대로, 비평 수준 및 특징을 분석한 것이다. 특히 비평에 포함된 수학 내용뿐만 아니라 주체, 견지, 근거, 대안을 토대로 비평 수준을 종합적으로 분석하였다는 점이 유의미하다. 연구 결과, 예비교사들의 비평 수준은 1수준(소감형), 2수준(점검형), 3수준(분석형) 중 대부분 2수준에 머물러 있음을 알 수 있었다. 비평 수준틀에 대한 중다회귀분석결과 비평 수준에 가장 큰 영향력을 미치는 요인은 견지(見地)였다. 한편 예비교사들의 비평을 통하여 교육실습 과정에서의 수업 참관이 수학 수업과 관련된 신념과 교사로서의 이미지 형성에 중요한 영향을 끼친다는 것을 알 수 있었다. 이와 같은 결과를 토대로 수학 수업에 대한 비평 및 교육실습과 관련하여 교사의 전문성 신장을 도모할 수 있는 시사점을 도출하였다.

How a pre-service teacher understands and comments on mathematics instruction can serve as the foundation of her teaching expertise. Given that prospective teachers observe demonstrative mathematics teaching implemented by an in-service teacher and make a comment on it during their practicum period, this paper specified the levels of their ability in commenting on mathematics instruction and explored the characteristics of such levels. It is significant that this paper provides a systematic and comprehensive analysis of such levels in terms of topic, agent, stance, evidence, and alternative perspective. The results of this study showed that the commenting levels may be classified by Level 1 (fragmentary), Level 2 (inspective), and Level 3 (analytical), and that the most frequent level of this study was at Level 2. Multiple regression analysis demonstrated that stance is the most influential in determining the levels of comments among their analytic components. An analysis of the participants’anecdotes showed that the experience of observing demonstrative teaching during the practicum may have impact on the belief of mathematics instruction and self-image as a teacher. Building on these results, this paper provides implications of teacher preparation programs to enhance prospective teachers' ability to analyze elementary mathematics lessons.

본 연구에서는 문헌 연구 및 초등학교 교사를 대상으로 한 설문의 통계적 검증 절차를 기반으로 하여 초등학교 교사의 수학교수불안(數學敎授不安) 측정 도구를 개발하였다. 특히, 본 연구에서는 신뢰도 검증을 위해 주성분분석(Principal Components Analysis)을 이용하여 설문 문항 간 유기성을 검증하였으며, 타당도 검증을 위해서 수학 교수 효능감 도구의 적용 결과와 비교 분석을 실시하였다. 문헌연구를 기반으로 개발된 문항들의 신뢰도와 타당도에 대한 통계적 검증 절차를 통해, 본 연구에서는 21문항으로 구성된 초등학교 교사의 수학교수불안 측정 도구를 개발하였다.

The purpose of this study was to develop and validate a teaching mathematics anxiety scale for elementary teachers in South Korea. The sample consisted of 150 elementary teachers in 22 elementary schools in Seoul. A total of 21 items were developed and examined for the internal consistence. The results showed that the proposed scale was appropriate to represent the teaching mathematics anxiety of elementary teachers.