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우리나라 초등학교 수학에서 평균 개념의 학습 지도에 대한 논의는 통계교육의 틀 안에서 이루어져 왔고, 대푯값으로서 평균의 의미를 선명하게 드러내는 방향으로의 변화 필요성이 제안되어 왔다. 이 논문은 기존의 논의와는 다른 관점에서 초등학교 수학에서 평균 개념의 취급에 대하여 논한다. 각 교육과정기 초등학교 수학의 평균 개념 취급에는 고유한 특징들이 있고, 평균 정의에서 강조점이‘고르다→하나당 얼마→절차→절차, 대표’로 변화되어, 대푯값 으로서 평균의 의미가 최근 강조되고 있다. 평균의 다양한 의미적 측면은 고르게 한 값이라는 어원적 의미와 하나당 값이라는 산술적 의미로 이루어지는 일차적 의 미와 공평(공정)한 값, 추정값, 대푯값과 같은 이차적 의미로 나눌 수 있다. 평균의 학습 지도는 우선 일차적 의미의 충실한 이해에 중점을 두어, 나눗셈 및 외적 비율 의 개념적 이해와 긴밀히 연결하여 이루어질 필요가 있다. 초등학교 수학에서 공평 (공정)한 값, 추정값과 같은 평균의 이차적 의미는 일차적 의미 이해를 바탕으로 관 련 맥락에서 다룰 수 있다. 평균의 이차적 의미 중 대푯값이 자료의 통계적 처리가 중요해지는 추세에 따라 부각되고 있는데, 이것을 초등학교 수학에서 취급하는 것 과 관련하여 유의할 점이 있다.

Previous studies on teaching and learning the concept of average (平均 in Chinese characters) in Korea have suggested that average as a representative value be emphasized more in elementary school mathematics. From a different perspective, this study explores how to introduce various meanings of average in elementary school. In this study various meanings of average are divided into two categories, intrinsic meaning and additional meaning. The intrinsic meaning of average consists of etymological meaning, a leveling of data and arithmetic meaning, amount per unit quantity. Fair value, estimated value, and representative value are additional meanings of average. When we teach the concept of average in elementary school, the intrinsic meaning of average should be given priority over its additional meanings. Fair-share situation is a suitable context to introduce average as a leveling of data and amount per unit quantity. In elementary school mathematics, teaching and learning of average should be considered in close connection with conceptual understanding of partitive division and rate. Among additional meanings, average as a representative value is getting the spotlight as data analysis becomes more important in the world. However, there are issues to be considered in an attempt to introduce average as a representative value in elementary school mathematics.

우리는 숫자를 기록하는 방법에 있어서는 인도-아라비아 숫자를 사용하지만, 숫자 를 읽는 방법에 있어서는 한글 수사나 한자 수사를 사용하여 읽고 있다. 본 논문에 서는 우리나라에서 현재 쓰이고 있는 인도-아라비아 숫자를 읽는 방법으로서의 명 수법에 대해 그간의 연구결과를 살펴보고, 이를 수학적인 관점에서 정리하여 교수 학습 자료의 기초가 될 수 있도록 하였다. 또한 관련된 몇 가지 논점에 대해 고찰 한 뒤, 이를 바탕으로 초등수학 교과서와 지도서에 나타난 명수법에 대해 개선점을 중심으로 살펴보았다. 큰 수를 읽을 때는 이만체진법을 사용하는 한자 수사를 사용 하여, 만, 억, 조, 경, 등으로 네 자리씩 끊어 읽게 되며 이를 한글 맞춤법에서도 규 정으로 명시하고 있다. 반면 국제적 표준에 있어서는 세 자리씩 끊어 읽도록 권고 하고 있으며 우리나라에서는 금액에 관해 이를 강제하고 있는 규칙 또한 존재하고 있다. 이러한 이유로 기수법과 명수법의 불일치가 발생하고 있어 이와 관련한 논의 와 표준의 제정이 필요함을 제안하였다.

We currently use Indo-Arabic numerals for writing numbers, but Hangul or Chinese characters for reading numbers. In this paper, the research mainly focus on numeration currently used in Korea, as a method of reading Indo-Arabic numerals, and the results are summarized from a mathematical point of view so that it can become the basis of teaching and learning materials. Also, after examining some related issues, based on this, we looked at the improvement points for the numeration method shown in elementary mathematics textbooks and tutorials.

본 연구에서는 좋은 수학 과제 관련 선행 연구에서 개발된 초등 수학 과제 중 삼 각형 분할 탐구 과제를 수정하여 현장에서 적용해보고 학생들의 반응을 분석하였 다. 그 결과, 학생들은 예각삼각형과 둔각삼각형, 직각삼각형과 직각삼각형의 조합 을 더 많이 인식하는 경향이 드러났고, 분할 과정에서 각도와 각의 크기 불일치 오 류, 각도 계산의 오류, 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형의 개념 오류를 확인하 였다. 탐구 결과를 정리하고 확장하는 단계에서 학생들은 활발한 의사소통을 보였 으나 탐구하기 어려운 문제를 제시하는 경우가 있어 교사의 안내가 필요함을 알 수 있었다.

This study investigates students’responses to the triangle-division task. The task was modified according to the principles of designing good mathematical task. This study, conducted with the 6th graders after two pilot studies, shows that students recognize the pair of ‘acute triangle, obtuse triangle’ and ‘right triangle, right triangle’ more than other pairs. Several errors were found in the process of dividing triangles: errors in drawing angles, errors in calculating the sum of angles, errors in the concept of acute triangle, obtuse triangle and right triangle. At the stage of arranging and expanding the findings, active mathematical communications were shown. Students presented interesting inquiries though some of them are difficult for the 6th graders to explore. From this, it is suggested that teacher's guidances are necessary in students’ open-ended discussions.

측정의 첫 단계는 측정하려고 하는 것이 무엇인지 아는 것이다. 본 연구는 학교수 학에서 간접 측정을 통해 측정값을 얻는 속성인 둘레, 넓이, 겉넓이, 부피의 측정 속성을 학생들이 잘 인식하는지 파악하고자 한다. 이를 위해 네 가지 속성을 모두 학습 완료한 초등학교 6학년 학생들에게 각 속성의 정형 대상과 비정형 대상을 포 함한 측정 상황으로 구성된 문항을 제시하였다. 학생들의 답안을 근거로 대상별, 속성별 정답률을 분석하였다. 분석 결과, 정형 대상에서 속성을 바르게 인식한 비 율이 비정형 대상에 비해 높게 나타났다. 또한 둘레와 넓이를 겉넓이와 부피보다 더 잘 인식하였다. 정답을 찾는 전략으로 측정 대상의 차원적 특징 인식 및 측정 속성의 개념이미지와의 연결 등이 나타났으며, 오답의 사례는 속성별로 상이하게 나타났다. 이상의 결과를 바탕으로 둘레, 넓이, 겉넓이, 부피의 속성 지도에 대한 교수학적 시사점을 도출하였다.

The first step in measuring is to know what we are trying to measure. This study aims to determine whether students recognize the measurement attributes of perimeter, area, surface area, and volume, which are attributes that obtain measurements through indirect measurement in school mathematics. For this purpose, 6th grade elementary school students who completed learning all four attributes were presented with items consisting of measurement situations including formal or informal objects. Based on the students' answers, the correct answer rates by objects and attributes were analyzed. From the analysis, we found that the students recognized the attributes more correctly in the formal objects than in the informal objects. They also recognized the perimeter and area better than the surface area and volume. Strategies for finding the right answers included the recognition of the dimensional characteristics of measurement objects and the connection with their concept images of measurement attributes. Examples of incorrect answers appeared differently for each attribute. Based on these results, didactical implications for teaching the attributes of perimeter, area, surface area, and volume were derived.

분수학습에서 분수에 관한 양적 감각을 바탕으로 다양한 관점에서 유연하게 수학 적으로 사고하는 것은 중요하다. 이에 본 연구에서는 초등예비교사 25명에게 분수 의 크기를 비교하는 8개의 과제를 제공하고, 이를 해결하는 과정에서 나타난 추론 의 특징을 부분(Parts), 기준점(Reference point), 변환(Transformation), 요소 (Components)의 관점에서 분석하였다. 그 결과, 초등예비교사는 분수의 크기 비교 를 위해 표준화된 전략을 적용하기도 하고, 주어진 분수의 특징에 따라 수 감각을 기반으로 비표준화된 전략을 새롭게 생성해내기도 하였다. 이러한 분석 결과에 대 한 논의를 통해 수 감각을 기반으로 수학적 사고를 발달시킬 수 있는 초등예비교 사교육에 관한 시사점을 도출하였다.

In the learning of fractions, it is important to think flexibly and mathematically from various perspectives with a quantitative sense of fractions. This study provided eight tasks to twenty-five pre-service elementary teachers to compare the size of fractions and analyzed the characteristics of reasoning strategies in the process of solving them in terms of parts, reference points, transformation, and components. As a result, to compare the fractions, elementary pre-service teachers applied standardized reasoning strategies and newly created non-standardized reasoning strategies based on number sense according to the characteristics of the given fractions. Based on the discussion, we derived implications for teacher education that can develop mathematical thinking based on number sense.

수학 내적 연결성은 위계성과 계열성을 가진 수학 본래의 속성에 기인하므로, 수학 을 거시적 관점에서 살펴볼 수 있게 도와준다. 본 연구에서는 수학적 연결성 중 수 학 내적 연결성의 관점에서 CMP 교육과정에 따른 교과서와 2015 개정 교육과정에 따른 초등 수학 교과서를 살펴보고 이를 비교 분석하고자 하였다. Businskas(2008) 의 수학 내적 연결성 표현 7가지를 분석 기준으로 삼아 CMP 6학년 교과서의 Covering and Surrounding 단원과 2015 개정 5~6학년군 교과서에서 이에 해당하는 다각형의 둘레와 넓이 및 원의 둘레와 넓이 단원을 선정하여 비교 분석하였다. 그 결과 두 교과서는 수학 내적 연결성 관점에서 연결성 표현의 빈도가 유사하게 나 타났으며 공통적으로 함의로의 연결(IP), 절차로의 연결(P), 동등한 표상(E), 일반화 를 적용한 연결(G)을 많이 활용한다는 사실을 알 수 있었다. 한편 구체적인 서술방 식에서는 차이를 보였는데 CMP 교과서에서 강조하고 있는 연결성 표현을 분석한 결과 향후 교과서 개발 시 연결성을 강화하기 위해서는 함의로의 연결(IP)을 통한 개념 간 연결성을 강조하고 변화 요소가 내재된 학습주제를 구성해야 하며 대안적 표상(A)과 절차로의 연결(P)을 통한 영역 간 연결성을 강화하여야 한다는 시사점을 추출할 수 있었다.

This study is a comparative analysis of 2015 revised elementary mathematics textbooks and textbooks according to the CMP curriculum from the perspective of mathematical internal connection. ‘The Covering and Surrounding’ unit of the CMP textbook was selected, and two units were selected in the 2015 revised textbook, ‘The Perimeter and Area of Polygons’ and ‘Circumference and Area of Circles’. According to the analysis results, CMP textbooks appeared many times in the following order: Implication, Procedure, Equivalent representation, Generalization, Alternate representation, Common features, Inclusion. The 2015 revised textbooks was as follows: Implication and Equivalent representation, Procedure, Generalization, Inclusion, Common features. As a result, it was confirmed that the two textbooks showed a similar pattern in terms of the number of appearances and commonly used connection method but showed differences in specific way. Based on this, when developing textbooks, connectivity between concepts should be emphasized through Implications and topics with changeable elements should be added. As well as Alternate representation and Procedure should be emphasized in order to strengthen connectivity between domains of mathematics.