Earticle

Cnidium officinale Makino is is widely used as oriental medicine for treatment of replenishing the blood, and tonicity, headaches, women’s diseases etc. in east Asia including Korea. This study was carried out to investigate a more effective cytokinin and carbon sources on multiplication from rhizome bud explants for two types (To and Il) of Cnidium officinale. In To type, cytokinins such as thidiazuron (TDZ), 6-benzylaminopurine (BA), zeatin (ZA) and kinetin (KN) were effect to increase weight of in vitro plants than control however length of in vitro plants was not significant among cytokinin treatment. Especially length was the highest in 20 μM TDZ treatment. In Il type, in vitro plant grown slower in 10 μM BA, 20 μM BA and 2.5 μM ZA than control. Generally, TDZ treatment showed good condition of in vitro plants including weight and length in both types. Treatment of 2% sucrose, 4% sucrose and 1.5% glucose showed the higher weight of in vitro plants than other carbon sources. Shoots was well developed and grown well except of 2% sucrose in both types.

본 연구는 수학적 게임이 초등학생들에게 어떠한 수학 학습의 기회를 제공할 수 있는지를 분석하였다. 이를 위해, 초등학생을 대상으로 트라이팩타와 강 건너기 게임을 적용하였고, 이 과정을 분석하여 수학 적 게임이 제공하는 수학학습 기회의 특징을 확인하였다. 첫째, 수학적 게임은 새로운 개념 형성에 도움 이 되는 의미 있는 수학적 경험을 제공한다. 둘째, 수학적 게임은 서로 다른 아이디어를 가진 학생들 사 이의 상호작용을 자극함으로서, 학생들은 자신의 아이디어를 상대와 비교하고 검증하면서 수학 학습 기 회를 얻게 된다.

This study analyzes what mathematical games can provide elementary school students with opportunities to learn mathematics. TriFacta and river crossing games were applied to elementary school students, and the process was analyzed to identify the characteristics of mathematical learning opportunities provided by mathematical games. First, mathematical games provide meaningful mathematical experiences that construct new concepts. Second, mathematical games stimulate interaction between students with different ideas, so students get a chance to learn mathematics by comparing and verifying their ideas with their counterparts.

Herein, we present a secure multiplication method that uses secret sharing to solve the security problems presented by Watanabe et al. We implemented the characteristics of the exponent operation in which the product of two numbers with the same base (in this case, the primitive element) involves only the addition of their exponents. In contrast to typical secret sharing schemes, our proposed model requires two shares to be sent to each server simultaneously to achieve multiplication without increasing the number of servers required, thereby resulting in a lower cost of establishing a physical server. In addition, Shannon’s entropy function was used to describe the security of the proposed method. Finally, we evaluated our proposed method in terms of computational and communication costs.

In applications such as cloud analytics, multi-party computation enables a set of participants to compute an arbitrary function of their inputs jointly, without revealing these inputs to one another. In this study, we introduce secure multi-party multiplication using(k,n) threshold secret sharing without increasing the required number of computing servers. This is achieved using encrypted shares and a recombination vector, whereby two encrypted shares of the same secret are sent to each server. Moreover, our method supports multi-input (as opposed to only two-input) multiplication. This is important for operations such as exponential functions that are commonly used in domains including deep learning.

In this paper, we propose a new coded computation scheme that can alleviate straggler effects in distributed computing. We consider data security and master’s privacy for matrix multiplication tasks. The proposed scheme, called fully private and secure coded matrix multiplication (FPSCMM), ensures data security and master’s privacy on two data matrices for multiplication tasks from colluding workers. We also show that the storage overhead at workers can be reduced by FPSCMM, since it is enough for workers to store the encoded matrices with sub-blocks. Lastly, we compare FPSCMM with the existing master’s privacy-preserving coded matrix multiplication schemes.

전 세계적으로 지능형 교통시스템(ITS)의 도입이 가속화됨에 따라, 안전하고 효율적인 차량-사물 간 통신(V2X)을 보장하는 것은 핵심적인 요구사항이 되었다. RSA 및 ECC와 같은 기존의 암호화 기법은 강력한 보안을 제공하지만, 현대 차량의 제약된 환경에는 과도한 계산 부하를 초래한다. 본 논문에서는 잉여 수 시스 템(RNS)과 몽고메리 모듈러 곱셈을 결합한 새로운 암호화 프레임워크를 제안한다. 이 프레임워크는 우수한 성 능, 낮은 에너지 소비, 강력한 보안성을 동시에 제공한다. 자율주행은 빠른 판단이 요구되므로 효율성을 높이 는 것은 안전과 직결되며, 매우 중요한 요소이다. 시뮬레이션과 비교 분석을 통해 본 프레임워크가 암호화 시 간과 계산 부하를 획기적으로 줄이며, 실시간 ITS 응용에 적합한 실용적인 솔루션임을 입증한다.

As the deployment of Intelligent Transportation Systems (ITS) accelerates globally, ensuring secure and efficient Vehicle-to-Everything (V2X) communication becomes a fundamental requirement. Traditional cryptographic methods such as RSA and ECC offer strong security but impose computational burdens that are ill-suited to the constrained environments of modern vehicles. In this paper, we propose a novel cryptographic framework that integrates the Residue Number System (RNS) with Montgomery modular multiplication to deliver enhanced performance, low energy consumption, and strong security guarantees. Since autonomous driving requires rapid decision-making, improving computational efficiency is directly tied to safety and is therefore a critical factor. Through simulation and comparative analysis, we demonstrate that our framework significantly reduces encryption time and computational overhead, making it a practical solution for real-time ITS applications.

본 연구에서는 게임 동영상의 고화질 변환이 가능한 초해상화 알고리즘을 제시한다. 본 알고리즘은 오픈 소 스 형태의 GPU에서 제공하는 MMU에서 구현될 수 있도록 희소 행렬 연산을 이용해서 설게된다. 이를 위해 서 일반적인 영상 해상도 향상 방법인 이중 일차 및 이중 삼차 보간 법과 심층 학습에 기반한 초해상화 모 델에서 사용하는 컨볼루션 연산을 희소 행렬 연산으로 변환하는 방법을 제시한다. 이는 각 픽셀에 적용되는 필터를 행렬 곱 형태로 표현하고, 이 행렬을 희소 행렬로 표현함으로써 수행되는데, 이러한 과정을 통해서 연산의 효율성을 추구함으로써 안정적인 초해상화 알고리즘을 제공한다. 이러한 희소행렬 연산 형태로 표현 되는 초해상화 알고리즘은 기존의 라이브러리를 이용해서 구현된 초해상화 알고리즘과 유사한 PSNR과 FPS 를 보인다.

We present a super resolution algorithm that increases the resolution of game scenes. Since game scenes are required to be rendered in real time, rendering high-resolutional game scenes in real time is very challenging. Therefore, increasing the resolution of game scenes rendered in low resolution is very promising. In order to present a fast super resolution algorithm, we implement our super resolution algorithm using a sparse matrix operation that can be accelerated through a matrix multiplication unit (MMU). Since many open source GPUs present an acceleration environment, our MMU-based approach can be implemented in many open source GPUs. As a baseline of our approach, we present a sparse matrix multiplication formula of bilinear interpolation and bicubic interpolation. We furthermore present a sparse matrix multiplication form of a convolution operation, which is necessary for deep learning-based super resolution algorithms. The filters employed in the convolution operations are converted to a series of sparse matrices, which are multiplied to complete the deep learning-based super resolution model. We demonstrate the performance of our approach by measuring peak signal-to-noise ratio (PSNR) and mean opinion score (MOS) of the result images generated by our approach and by the existing methods.

대략적 수 민감도(Approximate Number Sense; ANS)는 대략적으로 수량이 많은 지, 적은 지를 파악하는 능력이다. 본 연구에서는 21명의 만 4-6세 아동을 대상으로 비-상징적 곱셈 추론 문제를 해결하는 능력을 검증하고, 아동의 ANS와 지능, 그리고 비-상징적 곱셈 추론 능력 간의 관계를 살펴보았다. 이를 통해 1) 만 4-6세 아동들이 비-상징적으로 제시되는 곱셈 문제를 해결 할 수 있는 지를 알아보고자 하였으며, 2) 아동의 지능을 통제하고도 ANS가 초기 산술 능력을 유의미하게 설명할 수 있는지를 검증해보고자 하였다. 그 결과 만 4-6세 아동들은 비-상징적으로 제시되는 곱하기 2 조건과 곱하기 4 조건 모두에서 우연 수준보다 유의미하게 높은 수행률을 보였으며, 이는 곱셈에 대한 정규 교육을 받지 않은 어린 아동의 경우에도 비-상징적인 곱셈의 추론이 가능함을 시사한다. 또한, 비-상징적 곱셈 추론 정확도, 대략적 수 민감도의 정확도와 반응시간, 그리고 전체지능(FSIQ) 간의 관계를 살펴본 결과, 곱하기 2 추론 정확도는 ANS 과제에서의 반응시간과 유의미한 부적상관을 보였으며 이러한 결과는 아동의 지능을 통제하였을 때에도 유의하였다. 즉, 곱하기 2 추론의 경우, 만 4-6세 아동이 ANS 과제에서 더 빠르게 반응할수록 비-상징적 곱셈 추론의 정확도가 높았으며, 이러한 관계는 아동의 지능과 관계없이 나타났다. 그러나 곱하기 4 추론 정확도와 ANS, 그리고 지능 간의 관계는 유의미하지 않았다. 본 연구의 결과는 비-상징적 곱셈 추론 능력이 최소 만 4세 연령에서도 가능함을 시사하며, 아동의 ANS가 비-상징적 곱셈 추론 능력을 설명할 수 있음을 시사한다.

Approximate Number Sense (ANS) is an intrinsic intuition and innate cognitive function. It helps children to roughly determine if a quantity is larger or smaller than another. In the current study, we examined relative roles of ANS and intelligence on early arithmetic development in children aged 4-6. Our purpose was 1) to examine whether children aged 4-6 can solve non-symbolic multiplication problems and 2) to examine effects of ANS on early arithmetic development after controlling out effects of intellectual ability. Twenty one young children (4-6 years old) performed non-symbolic multiplication tasks (i..e, multiplication 2 and 4) and a ANS task. Results showed that children as young as 4 years old can solve both non-symbolic multiplication problems above chance level. Also, we found that the efficiency of ANS measured by ANS RTs played a critical role for non-symbolic multiplication 2 task performance even after controlling out effects of IQ. Overall, we conclude that preschoolers as young as 4 years old who don't have prior learning experience of multiplication problems can solve non-symbolic multiplication problems, which might be explained by children's ANS functions.

초등학교에서 곱셈의 교환법칙의 지도는 3×4=12, 4×3=12와 같이 와 의 값을 계산하고 실제로 그 값이 같은지를 확인하는 활동을 바탕으로 하는 것이 보통이다. 이 논문에서는 첫째로, 순수이성비판에 나타난 수학적 지식에 관한 칸트의 견해를 바탕으로, 곱셈의 교환법칙의 취급 방법을 비판적으로 고찰한다. 칸트에 의하면, 수학적 지식은 선험성과 도식성이라는 특징을 지니고 있다. 두 곱셈의 계산 결과를 비교하는 방법은 선험성과 도식성이라는 수학적 지식의 특성을 충족하지 못한다. 칸트의 관점에서 볼 때, 를 로 변환하는 필연적이고 일반적인 도식이 드러나게 교환법칙을 취급하는 것이 적절하다. 둘째로, 곱셈의 교환법칙의 도식과 관련된 기본구성단위로의 분배 전략은 (자연수)×(10의 거듭제곱), 몫 분수 맥락에서 분수의 복합적 의미, 분수의 곱셈과 같은 학습 내용을 관통하는 일반적인 성격의 것임을 논한다. 끝으로, 이상의 두 논의를 바탕으로 초등 수학교과서에서 곱셈의 교환법칙이 다루어지는 방식을 비판적으로 고찰한다.

Instructions for the commutative property of multiplication at elementary schools tend to be based on checking the equality between the quantities of ‘a times b ‘and b’ times a, ’ for example, 3×4=12 and 4× 3=12. This article critically examined the approaches to teach the commutative property of multiplication from Kant’s perspective of mathematical knowledge. According to Kant, mathematical knowledge is a priori. Yet, the numeric exploration by checking the equality between the amounts of ‘a groups of b’ and ‘b groups of a’ does not reflect the nature of apriority of mathematical knowledge. I suggest we teach the commutative property of multiplication in a way that it helps reveal the operational schema that is necessarily and generally involved in the transformation from the structure of 'a times b' to the structure of 'b times a.' Distributive reasoning is the mental operation that enables children to perform the structural transformation for the commutative property of multiplication by distributing a unit of one quantity across the other quantity. For example, 3 times 4 is transformed into 4 times 3 by distributing each unit of the quantity 3, which results in 3×4=(1+1+1)×4=(1×4)+(1×4)+(1×4)+(1×4)=4+4+4=4×3. It is argued that the distributive reasoning is also critical in learning the subsequent mathematics concepts, such as (a whole number)×10 or 100 and fraction concept and fraction multiplication.

알고리즘을 지도하는 전통적인 방법은 우선 ‘표준 알고리즘’을 완성된 형태로 제시하고 이어서 간단한 사례를 통하여 이해한 다음, 보다 일반적인 문제에 적용함으로써 표준 알고리즘을 연습하는 형태이다. 그러나 이 방법은 표준 알고리즘에 지나치게 집중되어 있다는 문제점과 함께, 학생 스스로 문제에 적합한 알고리즘을 선택하거나 알고리즘 자체를 개발하는 경험을 제공하지 못한다는 제한점을 갖고 있다. 이 논문에서는 자연수 곱셈 알고리즘의 다양성을 활용하여 학생 스스로 알고리즘을 개발하고 발명할 수 있도록 지도하는 방안을 상세하게 구안하였고, 그에 따른 교수실험을 통하여 초등학교 3학년 학생의 곱셈 알고리즘에 대한 이해 과정을 분석하였다. 그 결과는 첫째, 실험적인 지도안으로 학습한 실험반은 자리값의 원리와 분배법칙의 이해에 있어서 비교반보다 높은 성취를 보였으나, 계산 능력에 있어서는 그렇지 못했다. 둘째, 비교반은 물론 실험반에서도 표준 알고리즘의 선호도가 가장 높았으며, 실험반에서는 표준 알고리즘 다음으로 격자곱셈의 선호도가 높은 것으로 나타났다. 격자 곱셈을 교육 소재로 활용하는 것을 적극 고려할 필요가 있다. 셋째, 비례표는 그것이 가지는 이론적인 장점에도 불구하고 우리나라 초등학교 3학년 학생이 배우기에는 다소 무리가 따르는 것으로 나타났다.

The algorithm is a chain of mechanical procedures, capable of solving a problem. In modern mathematics educations, the teaching algorithm is performing an important role, even though contracted than in the past. The conspicuous characteristic of current elementary mathematics textbook's manner of manipulating multiplication algorithm is exceeding converge to 'standard algorithm.' But there are many algorithm other than standard algorithm in calculating multiplication, and this diversity is important with respect to didactical dimension. In this thesis, we have reconstructed the experimental learning and teaching plan of multiplication algorithm unit by making the best use of diversity of multiplication algorithm. It's core contents are as follows. Firstly, It handled various modified algorithms in addition to standard algorithm. Secondly, It did not order children to use standard algorithm exclusively, but encouraged children to select algorithm according to his interest. As stated above, we have performed teaching experiment which is ruled by new lesson design and analysed the effects of teaching experiment. Through this study, we obtained the following results and suggestions. Firstly, the experimental learning and teaching plan was effective on understanding of the place-value principle and the distributive law. The experimental group which was learned through various modified algorithm in addition to standard algorithm displayed higher degree of understanding than the control group. Secondly, as for computational ability, the experimental group did not show better achievement than the control group. It's cause is, in my guess, that we taught the children the various modified algorithm and allowed the children to select a algorithm by preference. The experimental group was more interested in diversity of algorithm and it's application itself than correct computation. Thirdly, the lattice method was not adopted in the majority of present mathematics school textbooks, but ranked high in the children's preference. I suggest that the mathematics school textbooks which will be developed henceforth should accept the lattice method.

예상보다 길어진 코로나19 사태는 학생들의 수학 교과 기초학력에 적지 않은 손상을 끼쳤다. 본 논문에서는 학생들의 기초 곱셈 연산 능력 개선에 도움을 줄 수 있는 곱셈구구 연습 애플리케이션을 클라우드에 기반하여 개발하였으며, 학생 개별 맞춤형 지도를 위해 데이터 시각화 기술을 접목시켜 교사의 피드백을 돕고자 하였다. 구글에서 개발한 Flutter framework, Google Cloud, Google Sheets를 통합적으로 활용하여 애플리케이션의 성능 을 높였다. K광역시 소재 초등학교 6학년 72명의 학생들이 본 애플리케이션을 일주일간 곱셈구구 활동에 활용 한 결과, 학생들의 곱셈구구 소요 시간이 초기에 비해 28%이상 감소한 가운데, 학생들의 학습 데이터가 오류없 이 정교하게 수집된 것을 확인할 수 있었다. 본 연구에서 Flutter framework를 통해 진행한 개발 사례가 다른 교육용 학습 애플리케이션 개발로 이어질 수 있기를 희망한다.

The COVID-19 outbreak, which took longer than expected, caused considerable damage to students' basic academic ability in mathematics. In this paper, a multiplication table practice application that can help students improve their basic multiplication arithmetic skills has been developed based on a cloud-service. The performance of the application was improved by integrating the Flutter framework, Google Cloud, and Google Sheets. As a result of applying this application to 72 6th graders in elementary schools located in K Metropolitan City, for one week. students' spending time required for solving multiplication table problems was reduced by more than 28% compared to the initial period, while students' learning data was able to be accurately collected without errors. It is hoped that the development case conducted through the Flutter framework in this study can lead to the development of other educational learning applications.

곱셈은 동수누가, 배, 곱집합을 포함한 여러 가지 의미를 가지고 있고 다양한 상황 에서 사용된다. 초등학교에서 곱셈의 이러한 다양한 의미는 교과서에 구체화되어 있으며 지도 방법이나 지도 순서가 다른 개념이나 연산에 비해 매우 안정적으로 정착되어 있다. 그럼에도 불구하고 좀더 보완되고 개선될 여지가 있어 보인다. 이 연구는 곱셈의 여러 개념적 측면들이 어떤 유사점과 차이점이 있는지를 문헌을 통 해 고찰해 보고 교과서 분석을 통해 그 지도 방법과 지도 순서가 적절한지를 분석 해 보려는 것이다. 연구 결과, 배 개념이 너무 일찍 도입되었으며, 그 이후 곱셈 지 도에서 배 개념을 제대로 반영하지 못하였음을 알 수 있었다. 또한 양과 양의 곱셈 을 직사각형 넓이 개념을 이용하여 지도할 필요성도 있었다.

Multiplication is able to be described by using repeated addition, a Cartesian product, a scalar operation, rectangular array and area in many various context. Multiplication in various problem situations is learned by various of the teaching method and the order of teaching more than any other mathematical concepts and operations in elementary school. Nevertheless, the context of multiplication leaves further room for improvement. The purpose of this study is to examine the similarities and differences between the conceptual aspects of multiplication through the literature and to analyze the appropriateness of the teaching method and the order of teaching through textbook analysis. As a result of the study, it was found that multiplication of a scalar operation was introduced too early and did not properly reflect of meaning of multiplication as a scalar operation. There is also a need to use the concept of the rectangular array or area as a meaning of multiplication two quantities.

This paper describes some field multiplication algorithm over GF(2m) on 8-bit processor. Through performance comparisons among algorithm, we show that our proposal is faster than existing algorithms. The proposed algorithm save 26.38% of running time compared with naive comb multiplication algorithm which is a kind of lookup-table (LUT) based algorithm. With the proposed algorithm, a scalar multiplication over GF(2163) can be computed within 1.04 secs on 8-bit MICAz sensor mote.

본 연구의 목적은 메타버스를 활용한 곱셈구구 학습 프로그램이 초등학교 학생들 의 학습실재감과 학업성취도에 미치는 영향을 확인하는 것이다. 이를 위해 초등학 교 2학년 학습자를 대상으로 곱셈구구 교수·학습 유형과 전략을 설계하고, 이를 실제 교육 현장에 적용해 프로그램의 효과를 검증하였다. 프로그램 개발을 위해 ADDIE 모형을 활용하여 분석 단계에서는 학습자의 교육 경험 및 교육과정을 분석 하였고, 설계 단계에서는 교수·학습 목표와 평가 방안을 수립하였다. 개발 단계에 서는 메타버스 공간과 수업 자료를 제작하고 전문가 검토를 통해 보완하였다. 적용 단계에서는 프로그램을 초등학교 2학년 학습자에게 적용하였으며, 평가 단계에서는 통계 검증과 수학적 태도 및 실천 역량에 관한 심층 면담을 통해 다면적으로 프로 그램의 효과를 분석하였다. 연구 결과, 메타버스를 활용한 수학 프로그램은 학습실 재감과 학업성취도 향상에 긍정적 영향을 주었으며, 두 변인 간에는 통계적으로 유 의한 상관관계를 확인하였다. 정의적 측면에서는 수학적 태도 및 실천 역량이 9가 지 평가 요소에 따라 발현되는 양상을 분석할 수 있었다. 본 연구는 구체적인 교수 학습 사례를 제시함으로써, 메타버스의 활용 가능성을 제시한 데 그 의의가 있다.

The purpose of this study is to examine the effects of a multiplication table learning program utilizing the Metaverse on elementary school students' learning presence and academic achievement. To achieve this, we designed and implemented a multiplication table teaching and learning model for second-grade students, applying it in actual educational settings to verify the effectiveness of the program. The ADDIE model was employed for the development of the program. In the analysis phase, the learners' educational experiences and curriculum were analyzed, while in the design phase, teaching and learning objectives, along with evaluation methods, were established. During the development phase, a Metaverse space and teaching materials were created and refined through expert review. The program was then applied to second-grade students in the implementation phase, and in the evaluation phase, the program’s effects were analyzed from multiple perspectives through statistical verification and in-depth interviews regarding students' mathematical attitudes and practical competencies. The results of the study indicated that the math program utilizing the Metaverse had a positive effect on learning presence and academic achievement, and a statistically significant correlation was found between the two variables. In the affective domain, the analysis revealed how mathematical attitudes and practical competencies manifested across nine evaluation criteria. This study holds significance in presenting concrete teaching and learning cases and demonstrating the potential for utilizing the Metaverse in educational settings.

한국의 초등수학 교과서는 자연수의 곱셈, 두 자리 수의 곱셈, 진분수의 곱셈, 대분 수의 곱셈을 지도하는 지점에서 넓이모델을 채택하고 있다. 넓이는 수와는 구별되 는 다른 수학 영역이기 때문에, 수의 연산과 관련하여 넓이모델을 사용하는 일은 넓이 개념의 학습계열과 보조를 맞추어야만 한다. 이 논문에서 우리는, 이러한 여 러 요소에 대한 통합적 관점에서, 한국의 교과서에서의 넓이모델의 여러 사용 양상 을 비판적으로 검토하였다. 첫째, 넓이모델은 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 연속 적으로 이어주는 효과적인 통합적 모델이다. 둘째, 한국의 교과서는 넓이모델을 곱 셈의 표준알고리즘을 증명하는 기반으로 사용한다. 그러나 지나치게 급격한 형식화 과정을 통하여 표준알고리즘에 도달하는 경향이 있다. 셋째, 한국의 교과서는 넓이 모델을 일관적으로 사용하지 못하고 있다. 진분수 곱셈의 설명에서 변형된 넓이 모 델이 사용되고 있다. 측정단위가 제거되었고, 작용소 개념이 추가되었다. 넷째, 일 반화된 넓이모델의 사용이 요청된다. 넓이모델은 ‘넓이’라는 속성으로부터 벗어 나서 여타의 측정량을 나타내는 것으로 일반화될 수 있다. 프로이덴탈(Freudenthal) 은 초등수학교육에서 이 일반화의 가치를 강조하였다.

Elementary mathematics textbooks in Korea adopt the area model for teaching multiplication of natural numbers, multiplication of two-digit numbers, multiplication of proper fractions, and multiplication of mixed numbers. Since area concept is another mathematical domain distinct from number concept, the use of area models in relation to numerical operations must keep pace with the learning sequence of area concept. In this paper, we critically reviewed various aspects of the use of the area model in Korean textbooks from an integrated perspective of these various factors. First, the area model is an effective integrated model that continuously connects multiplication of natural numbers and multiplication of fractions. Second, Korean textbooks use the area model as a basis for proving the standard algorithm of multiplication. However, there is a tendency to arrive at a standard algorithm through an excessively abrupt formalization process. Third, Korean textbooks do not consistently use the area model. A modified area model is used in the description of multiplication of proper fractions. The unit of measure has been removed and the concept of an operator has been added. Fourth, the use of a generalized area model is requested. The area model, beyond the ‘area magnitude’, can be generalized to represent other magnitudes. Freudenthal emphasized the value of this generalization in elementary mathematics education.

본 논문에서는 한국, 중국, 일본, 싱가포르 등 4개국 수학 교과서의 곱셈구구 지도내용을 비교하였다. 이를 위해 곱셈구구 지도시기와 지도순서, 곱셈구구의 주요 요소의 지도 내용을 중심으로 나라별 교과서를 분석하였다. 비교 분석 결과를 바탕으로 추후 우리나라 수학 교과서를 개발할 때 숙고해야 할 쟁점들을 도출하였다. 곱셈구구 지도 단원의 수, 구구단의 범위와 단과 단 사이의 연속성과 비약, 곱셈 모델의 다양성과 일관성 확보, 0단과 1단의 지도, 곱셈의 원리 이해와 암기의 조화 등이 쟁점으로 도출되었다.

In this study, we analyzed and discussed the instruction method of multiplication tables in mathematics textbooks from four countries in Asia; South Korea, China, Japan, and Singapore. The conclusions of remarks are states as follows: First. The teaching period and elements should be subdivided more structurally so that the learner could understand the concept and principle of multiplication tables better. Second. The bundle model, the linear model, and the array model of multiplication need to be presented so that the learners could experience various situations related to multiplication. Third, The concrete explanation and the higher frequency of presenting the commutative rules of multiplication is suggested so that the learner could understand the concept of the rules well. Fourth. The context related to multiplication by 1 and 0 should be presented so that the learner could comprehend the character of multiplication by 1 and 0. Fifth. The activities which helping memorizing a multiplication table should be suggested when the memorization is needed.