Earticle

연구자는 단위비율 결정 맥락 문제에서 식을 세우는 데 어려움을 겪는 한 학생을 발견하였다. 한 학생의 사례와 살펴본 선행연구를 바탕으로 단위비율 결정 맥락 문 제에서 학생들이 나눗셈식을 어떻게 표현하는지, 사용하는 피제수와 제수 선택의 방법이 무엇인지, 그러한 방법은 어떻게 알게 된 것인지 등에 대해 자세히 살펴보 고자 하였다. 먼저 학생들의 반응을 분석하기 위해 검사 문항을 만들어 연구 대상 자에게 투입하였다. 이후 응답자 중 일부를 대상으로 피제수와 제수 선택 방법과 그에 따른 인지적 특징을 확인하기 위한 면담을 진행하였다. 그 결과 피제수와 제 수 선택의 어려움이 다수의 문제임을 확인하였다. 또한 면담 대상자 중 일부는 피 제수와 제수를 선택하는 나름의 방법이 있음에도 불구하고 왜 그렇게 선택하는지 에 대해 설명하는 것에는 어려움이 있다는 것을 확인할 수 있었다. 연구 결과를 바 탕으로 단위비율 결정 맥락 문제에서 피제수와 제수를 왜 그렇게 선택하는지, 표현 된 식의 의미가 무엇인지에 대해 강조한 지도가 필요하다는 시사점을 얻었으며 그 것을 수행하기 위한 지도방안을 제안하였다.

Researchers have observed one student who had difficulty in formulating a division equation. In the context of determination of a unit rate problem based on one student's case and previous research, we tried to examine in detail how students expressed the division formula, how to select the dividend and the divisor, and how they learned about those. First, a questionnaire was developed to analyze student's reactions and applied to the research participants. Interviews were conducted to discover how the participants choose the dividends and divisors derived from their cognitive characteristics corresponding to their selection method. The research exposed that the majority of the participants had difficulty in deciding the dividends and divisors. Moreover, the research indicated information that teaching methods need to be reformed. Finally, we obtained suggestions to place emphasis on how to decide a dividend and a divisor, why they made such selection and what the equation means. We proposed a learning method for the research above.

연구자는 원리를 모른 채 덧셈 계산을 수행하는 한 학생을 관찰하며 연구동기를 얻었다. 이 학생의 반응이 어디에 기인한 것인지 알아보기 위해 자연수, 소수, 분수 의 덧셈 계산 원리에 관한 교육과정을 분석하였다. 동기의 객관화와 연구자가 제안 할 지도방안에 반영할 수 있는 자료를 수집하기 위해 서로 다른 두 개의 초등학교 6학년 46명을 연구대상으로 검사지를 투입하였다. 그 결과 덧셈 계산 원리와 그 연 결이 다수의 문제임을 확인함과 동시에 지도방안 제안의 여지가 있음을 확인하였 다. 이에 따라 세 가지 수의 덧셈 계산 원리와 그 연결을 강화할 수 있는 지도방안 을 제안하였다. 제안된 지도방안의 결론은 자연수와 소수 그리고 분수의 덧셈 계산 원리는 밀접한 관련이 있으며, 수의 범위가 확장됨에 따라 원리의 적용 과정에 미 묘한 차이가 있어 이를 감안한 지도가 이루어져야 한다는 것이다.

This study is derived from a student who can add without knowing the addition principle. To understand where the student's response come from, we came to analyse the curriculum contents of natural numbers, decimals and fractions addition principle. At the same time, we surveyed two different school of forty six sixth grade participants with questionnaires to determine whether it is a problem of the student or an universal one. As a result, we found that there is a room for improvement in the addition and connections of addition. We propose appropriate instructional method regarding connections of addition and addition principle of natural numbers, decimals and fractions. The conclude there is a close relation and differences among the principles of natural numbers, decimals and fractions in the proposed instructional method. Therefore, we need to consider and instruct the differences of the number expansion.

초등학교에서는 여러 가지 이유로 교수학적 변환이 불가피하다. 수학에서는 덧셈과 곱셈은 이항연산, 뺄셈과 나눗셈은 단항연산으로 다루고 있는 반면, 초등에서는 사칙연산 모두를 이항연산으로 취급하는 교수학적 변환을 시도한다. 그런데 사칙연산의 개념을 ‘익힌다는 것’은 개념이 어떻게 도입되는가가 더 중요하게 부각된다는 점에서 개념을 이해하는 것과는 다르다. 이에 본 연구에서는 자연수와 분수의 사칙연산을 개념 익히기(개념이 어떻게 도입되고 있는지와 연산 선택의 문제)와 연산 사이의 연결이라는 두 가지 관점으로 분석하여, 자연수와 분수의 사칙연산 지도와 관련된 몇 가지 시사점을 도출하였다. 분수의 나눗셈에서는 상황을 바탕으로 연산을 선택하지 않고 곧장 분수의 곱셈과의 연결을 시도했다는 것과 분수의 나눗셈을 그 자체로 이해하기 위해서는 5학년 2학기와 6학년 1학기에 걸쳐 제시되어 있는 분수의 나눗셈을 통합해야 한다는 것 등이 그것들이다. 이는 후속 교과서 개발 시 유용한 참고자료가 될 것으로 판단된다.

In elementary school, didactical transposition is inevitable due to several reasons. In mathematics, addition and multiplication are taught as binary operations, subtraction and division are taught as unary operations. But in elementary school, we try to teach all the four operations as binary operations by didactical transposition. In‘Mastering’the concepts of the four operations, the way of concept introduction is dealt importantantly. So it is different from understanding the four operations. In this study, we analyzed the four operations of natural numbers and fractions from two perspectives: concept understanding (how to introduce concepts and how to choose an operation) and connection between the operations. As a result, following implications were obtained. In division of fractions, students attempted a connection with multiplication of fractions right away without choosing an operation, based on the situation. Also, to understand division of fractions itself, integrate division of fractions presented from the second semester of the fifth grade to the first semester of the sixth grade are needed. In addition, this result can be useful in the future textbook development.

본 연구에서는 분수와 소수의 혼합계산 부분에서 나타나는 오류 유형을 진단하고 오류에 대한 피드백 프로그램을 처방하여, 그에 대한 학생들의 반응을 분석하고자 하였다. 우선 연구할 내용을 7가지 영역으로 층화시키고, 각각의 영역을 오류 진단, 진단에 따른 처방 그리고 분석의 3단계로 결과를 정리하였다.

Mixed calculations involving fractions and decimals covered in the unit 6-Na in elementary school math class cause students difficulties, leading them make lots of errors. If students fail to understand temporarily or partly what the teacher taught or lose confidence and continue to have difficulty due to a lack of understanding and skills of algorithm, though they properly understand the concept and principle of the learning content, it should be resolved through intensive teaching. For students suffering from this problem, a correct diagnosis and appropriate treatment are required. Therefore, this study developed a feedback program after diagnosing students' errors through evaluating them in order to continuously assist them to fully understand contents regarding mixed calculations involving fractions and decimals.

문자 기호 사용으로 대표되는 대수는 수학 전반에 그 영향력을 행사하는 중요한 도구로 자리매김하게 되었다. 이러한 대수를 적절히 활용하기 위해서는 무엇보다 주어진 문제 상황 을 적합한 대수적 표상으로 전환하는 작업이 요구된다. 그러나 문장제에 관한 몇 가지 연구 로부터 이러한 전환의 어려움이 보고되고 있다. 본 연구에서는 학생들이 주어진 문장 표상과 기하 표상 각각을 대수적 표상으로 전환 및 정교화하는 과정을 살펴보는데 초점을 두었다. 중학교 1학년 학생 29명을 대상으로 하여 문장으로 기술된 상황과 도형 표현이 추가된 상황 을 제시하고 각 상황에서 요구하는 바를 대수적 표상으로 전환하는 능력을 조사한 결과 도 형 표현을 대수적 표상으로 전환하는 하나의 문항을 제외하고 나머지 3개의 문항에서 10% 내외의 학생이 부적절한 응답을 하였다. 나아가 그 중 임의 추출한 네 명을 개별 면담함으로 써 사고 특징 및 대수적 표상 정교화를 돕는 요인을 조사하였다. 그 결과, 대수 표상 정교화 과정은 급진적이 아닌 점진적 개선 과정임을 확인할 수 있었다. 그리고 대수적 표상 정교화 를 요하는 문제에 대해 문제 요구 사항에 대한 오해가 있을 수 있음을 확인할 수 있었다. 또 한 자신의 대수적 표상에 대한 설명과 구체적 수치 상황 제시가 정교화에 도움이 되는 요인 으로 작용하는 것을 목격하였으며, 아울러 정교화의 경험은 전이력을 가질 수 있음을 확인할 수 있었다. 한편, 변수에 관한 오개념 등식 설정에 고착된 사고는 표상 전환의 방해 요소로 작용할 수 있음을 알 수 있었다. 이러한 결과로부터 대수적 표상 전환 및 정교화를 돕기 위 한 몇 가지 교육적 시사점을 도출하였다.

The algebra is an important tool influencing on a mathematics in general. To make good use of the algebra, it is necessary to transfer from a given situation to a proper algebraic representation. But some research in related to algebraic word problems have reported the difficulty changing to a proper algebraic representation. Our study have focused on transformation and elaboration of algebraic representation. We investigated in detail the responses and perceptions of 29 Grade 7 students while transforming to algebraic representation, only concentrating on the literature expression form the problematic situations given. Most of students showed difficulties in transforming both descriptive and geometric problems to algebraic representation. 10% of them responded wrong answers except only a problem. Four of them were interviewed individually to show their thinking and find the factor influencing on a positive elaboration. As results, we could find some characteristics of their thinking including the misconception that regard the problem finding a functional formula because there are the variables x and y in the problematic situation. In addition, we could find the their fixation which student have to set up the equation. Furthermore we could check that making student explain own algebraic representation was able to become the factor influencing on a positive elaboration. From these, we also discussed about several didactical implications.

수학 교육에서 교사의 SMK와 PCK에 대한 역량은 대단히 중요하다. 그들의 SMK와 PCK에 대한 현황 파악과 그에 따른 강화방안이 있다면 더 없이 좋을 것이다. 그러나 교사 를 대상으로 교수 역량 강화에 대한 연구를 수행하는 것은 현실적으로 많은 어려움이 있다. 이에 본 연구에서는 23명의 예비 초등교사를 대상으로, 이들의 SMK와 PCK에 대한 현황 파 악과 그에 따른 강화방안으로 DGE 탐구활동을 활용하였다. 그 결과 3명의 예비 초등교사가 초기 SMK에서 오류를 나타내었으며, 초기 PCK에서는 설명 및 시각적 확인 위주의 교수 방 법으로 문제해결에 필요한 성질을 지도하는 것에 중점을 두었다. 또한 DGE 탐구활동의 실 제는 역동성 개념 이해 및 구현의 어려움, 75° 작도에 집착 및 결과의 일반화, ‘접는 활동’의 수학적 해석의 어려움, 무난한 GSP 구현의 네 가지로 분류되었다. 이후 초기 SMK에서 나 타난 하나의 오류가 수정되었으며 PCK의 방법적 측면에서 GSP를 활용한 시각적 확인이 추 가되었다. 이러한 결과로부터 DGE가 예비교사의 SMK와 PCK 강화 도구로 활용될 수 있도 록 돕는 몇 가지 교수학적 시사점을 추출할 수 있었다.

The purpose of the study is to enhance the teaching competence for pre-service elementary teacher by using DGE in order to enhance SMK and PCK for them. To do this, we investigated the initial SMK and PCK for 23 pre-service elementary teachers, the reality of implementation activity of DGE and the change of SMK and PCK after quest activity by DGE. As results, 3 pre-service elementary teachers made errors which are misunderstanding a general angle as special angle, an excessive jump of logic and a circulation logic in the aspect of an initial SMK. In the aspect of contents of PCK, most of pre-service elementary teachers proposed teaching focused on the character using in the problem solving. And most of pre-service elementary teachers proposed teaching methods which are based on explanation, measurement and material manipulation. The reality of implementation activity of DGE was classified 4 cases which are a difficulty in understanding the concept of dynamics and embodying in DGE, an obsession about construction of 75° and generalization, a difficulty in interpreting 'folding activity' mathematically and a good implementation activity. After quest activity by DGE, the case which is misunderstanding a general angle as special angle could be improved, but the others are not. And after quest activity by DGE, most of pre-service elementary teachers still proposed teaching focused on the character using in the problem solving in the aspect of contents of PCK, and some of pre-service elementary teachers added only teaching methods which are involving visual confirmation by GSP. From these results, we could extract some pedagogical implications helping pre-service teachers to reinforce SMK and PCK by DGE.

공교육과 대비되는 개념으로서 사교육은 여러 가지 측면에서 국가차원의 문제로 대두된 지 오래다. 하지만 그간의 연구는 사교육 과열현상에 대한 실태 파악과 사교육비 경감을 위 한 정책의 효과를 검증하는 등에 치우쳐 근본적인 대안의 마련에는 어려움을 겪고 있는 실 정이다. 본 연구에서는 사교육이 공교육에 미치는 영향을 부정하지 않으면서 사교육 현상을 분석하기 위한 두 가지 수학적 모델을 만들어 게임 이론으로 해석을 시도하였다. 하나는 2인 으로 구성된 모델로서, 학교 내에서 이루어지는 경쟁을 단순화한 것이다. 이 모델에서는 교 사의 역량 강화보다는 학교 시험과 사교육과의 연결고리 차단이 사교육 근절의 핵심으로 파 악되었다. 다른 하나는 외부 경쟁자를 상징하는 제 3의 학생이 개입된 3인으로 구성된 모델 로서, 학교 간에 이루어지는 경쟁을 단순화한 것이다. 이 모델에서는 학교 시험과 사교육과 의 비 연결은 물론이고, 교사의 역량 강화가 사교육 근절의 핵심으로 파악되었다. 2인 모델 에 기반한 접근은 학교 간에 불거지는 공정성 문제를 제어할 수 없는 만큼, 3인 모델에 기반 한 접근이 요구되며, 이에 따르면 사교육 현상의 해법을 위한 정책은 교사의 역량 강화와 학 교 시험과 사교육과의 비 연결을 위주로 이루어져야 한다. 결국 국가에서는 교사의 역량을 강화할 수 있는 지원을 아끼지 말아야 할 것이다. 본 연구가 사교육 현상에 대한 교육 정책 결정에 도움이 되며, 수학의 영향력이 사회 현상의 해석까지 미칠 수 있음을 인식하는 계기 가 되길 바란다.

The purpose of the study is to analyze the phenomenon of private education and to get the countermeasures of it. To do this, we approached the phenomenon of private education from the game theory, which is famous in economics. As result, we could make the mathematical model. One is a model consisted of two-person. This is a mathematical model simplifying the competition within the school. The problem of private education can be solved by the disconnection with private education and exam of school in this model. The other is a model consisted of three-person. This is a mathematical model simplifying the interscholastic competition. The problem of private education can not only be solved by the disconnection with private education and exam of school, but can be also solved by the specificity of school education in this model. We will hope that our study can give an aid in deciding an educational policy.

학교수학에서 학생들이 수동적으로 교수를 전달받는 상황에서 능동적이고 주체적인 입장이 될 수 있는 대안의 하나로 문제설정이 주목받게 되면서, 이에 관한 많은 연구가 활발하게 이루어져 왔다. 특히 Brown & Walter는 문제설정의 한 방법으로 What If Not 전략을 제시하였다. 이 전략에서는 문제를 설정하는 과정에서 속성의 변형은 불가피하게 이루어지며, 문제설정 후 그 문제의 풀이를 함으로써 문제설정 과정을 마무리 짓는다. 그런데 속성 간의 관련성에 대한 고려 없이 속성의 변형을 하게 되면 문제를 잘못 설정할 수 있다. 이러한 사실은 올바른 문제설정을 위해서는 속성들 간의 유기적 결합을 이끄는 관련성 인식이 매우 중요하다는 것을 시사한다. 그러나 문제설정에 관한 다수의 연구는 이에 대하여 주목하지 못한 것으로 생각된다. 이에 본 연구에서는 의미 분석이라는 활동을 추가하여 문제 속에 내재된 지식을 인식하여 올바른 문제를 설정할 수 있도록 도울 수 있는 문제설정 모형을 설계하고자 하였다. 그리고 의미 분석을 강조한 문제설정 모형을 하나의 예를 통해 구체화하여 보여주었으며, 이를 통해 모형의 의의를 살펴볼 수 있었다. 본 연구를 통해 학생들이 문제설정의 진정한 의미를 이해할 수 있는 기회를 갖게 되고, 능동적 학습자로 거듭날 수 있기를 기대한다.

As an alternative of making students active and independent under the passive learning conditions in school math classes, many researchers have paid much attention to problem posing and done a lot of research on it. Above all, Brown and Walter proposed What If Not strategy as a means of problem posing. In this strategy, during the process of posing problems, the transformation of their attributes is inevitably made, and so after problem posing, the process is finished by explaining the problem. But only the simple transformation of attributes could pose wrong problems. It suggests that it is very important to recognize the relationship which leads to organic connection between attributes in order to pose the right problem. However, many other studies of problem posing haven't focused on this fact. Thus, this study tried to design a model of problem posing to help recognize inherent knowledge in the problem and then pose the right problem by adding an activity of meaning analysis. We concretely showed a model of problem posing emphasizing the analysis of meaning by means of an example, thereby examining the meaning of the model. This study expects students to have the chance to understand the true meaning of problem posing and to be active learners after all.

각 문제를 해결하는 과정에서 우리는 필연적으로 문제에 대한 스키마를 갖게 된다. 그런데 유사 문제를 해결하다 보면 각 문제를 관련 짖는 추상적 스키마를 발견하게 된다. 이러한 추상적 스키마는 문제 해결자에게 통합적 시각을 갖게 함으로써 문제를 바라보는 안목을 높이며, 아울러 유추 전이의 상승에 기여한다는 점에서 매우 중요한 것이라고 생각된다. 유사 문제에서 추상적 스키마를 구성하기 위해서는 등장하는 어떤 요소를 제외하고도 문제의 본질을 훼손하지 않는 것과 훼손하는 것을 찾아야 한다고 생각하였다. 이와 같은 관점에서 본 연구는 유사 문제에서 추상적 스키마의 구성을 돕는 방법을 설계하였다. 또한 그것을 한 학생에게 적용하여 그 방법의 가능성을 살펴보았다. 본 연구를 통해 학생들이 갖는 개별적 수학적 지식이라고 생각되는 요소들을 통합하는 것이 가능함을 확인하였다. 이는 기존 학자들(Gick and Holyoak, 1983; Kintsch & Dijk, 1978)이 언급한 추상적 스키마의 구성을 구체화하는 방법을 제시했다는 의의를 갖는다. 이런 결과는 향후 교수․학습 방법의 개선에 도움을 줄 것으로 기대된다.

It is the aim of this paper to suggest the method constructing abstract schema in similar mathematical problem solving processes. We analyzed closely the existing studies about the similar problem solving. We suggested the process designing a method for helping students construct an abstract schema. We designed the teaching method constructing abstract schema by appling this process to a group of similar problems chosen by researchers. We applied the designed method to a student. And we could check the possibility and practice of designed teaching method by observing the student's reaction closely.

본 연구는 삼각형의 외심, 내심의 기능적 이해를 돕기 위한 목적으로 수행되었으며, 그들의 정의에 대한 교수 학습 상황에 대한 도움을 제공하고자 하였다. 삼각형의 외심, 내심의 정의는 현 교과서에서 3가지로 분류될 수 있으며, 이들을 각각 구성에 초점을 맞춘 정의, 의미에 초점을 맞춘 정의, 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의로 구분하였다. 그리고 이들 각 정의가 갖는 맥락, 의도, 목적에 대한 이해를 도모하고자 삼각형의 외심, 내심의 각 정의에 대한 특징을 분석하였다. 구성에 초점을 맞춘 정의는 개념의 실체와 무모순성을 강조한 정의로 학습자가 이 개념이 무모순임을 이해하기 위한 목적으로 선택된 것이라는 것을 분석해 내었다. 한편, 이 정의는 다각형의 외심, 내심의 의미를 고려하여 정의를 하였으며, 이러한 사실로 미루어 볼 때 삼각형의 외심, 내심은 다각형의 외심, 내심과 연계된 지도가 필요함을 확인하였다. 또한 이 정의는 용어와 정의의 괴리로부터 발생하는 개념 혼란으로 인해 정의에 대한 숙지가 어렵다는 것을 알 수 있었다. 의미에 초점을 맞춘 정의는 개념 정의와 개념 이미지는 일치하여 정의를 숙지하는 것이 용이하지만, 개념의 실체를 발견하고자 할 때 구성이 어려운 상황을 연출한다는 점을 알 수 있었다. 한편, 결과적 지식이지만 발생적 맥락을 간직한 정의이기 때문에 이러한 점을 고려하면 정의에 대한 지도는 개념 발생 맥락 및 과정이 분리되어 지도되어서는 안 된다는 점을 확인하였다. 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의는 시작점이 모호할 뿐 만 아니라 기존에 제시된 정의와는 다른 형태이기 때문에 개념 정의에 대한 인식이 어려울 수 있음을 확인하였다. 본 연구의 결과가 수학 교육 현장에서 삼각형의 외심, 내심의 정의에 대한 이해를 향상시키는데 도움이 되길 바란다.

This paper was designed for the purpose of helping the functional comprehension on the concept of a circumcenter and an incenter of triangle and offering the help for teaching-learning process on their definitions. We analysed the characteristic of the definition on a circumcenter and an incenter of triangle and studied the context, mean and purpose on the definition. The definition focusing on the construction is the definition stressed on the consistency of the concept through the fact that it is possible to draw figure of the concept. And this definition is the thing that consider the extend of the concept from triangle to polygon. Meanwhile this definition can be confused because the concept is not connected with the terminology. The definition focusing on the meaning is easy to memorize the concept because the concept is connected with the terminology but is difficult to search for the concept truth. And this definition is the thing that has the grounds on the occurrence but is taught in a made-knowledge. The definition focusing on both the construction and meaning is the definition that the starting point is vague in the logical proof process. We hope that the results are used to improve the understanding the concept of a circumcenter and an incenter of triangle in the field of mathematical education.

미적분은 우리 생활의 여러 방면에 활용되고 있으며, 경제학이나 행정학 등 사회과학 분야에서도 기초를 이루고 있다는 점에서 이공계에서만 중요시하게 다루어지는 것에 대한 많은 논란이 있어 왔다. 다행히 2010년부터는 일반계 고등학교 2학년 수학과 교육과정에 미적분 단원이 도입된다고 한다. 처음 미적분을 접하게 되는 학생들은 먼저 미분학습에서 흥미를 잃는다거나 미분학습에 대한 불안과 기피현상을 겪지 않도록 해야 한다. 이에 대비하기 위해 본 연구는 학생들이 교과서에서 평소 접할 수 있는 일반화된 미분문제를 중심으로 예비검사를 실시하고 전문가의 검토와 예비검사를 바탕으로 선정된 최종 검사지를 투입하여 미분 문제해결 과정에서 나타나는 오류를 분석틀에 맞게 분류․분석함으로서 미분학습 지도방안에 대한 기초자료를 마련하고자 하였다.

Calculus is used in various parts of human life and the basis of social science such as economics and public administration. Yet that is still considered important in the field of science and technology only, and there have been a lot of disputes on that phenomenon. Fortunately, calculus is going to be taught as part of the academic high school second-year mathematics curriculum in and after 2010. Students who face calculus for the first time should be helped not to lose interest in differentiation learning, not to be apprehensive of it nor to avoid it. The purpose of this study was to examine the types of errors made by students in the course of solving differentiation problems in an effort to lay the foundation for differentiation education. A pilot test was conducted after generalized differentiation problems to which students were usually exposed were selected, and experts were asked to review the pilot test. And then a finalized test was implemented to make an error analysis according to an error type analysis framework to serve the purpose.

본 연구는 초등학교 4-가 단계 이전의 교육과정 중에서 연산과 관련된 내용을 추출하여 27차시 분량의 혼합계산에 대한 처방 프로그램을 개발 및 적용한 후, 학습자의 사고와 행동 특성, 교사가 느끼는 긍정적인 점과 어려운 점을 분석하였다. 연구를 위해 4학년 한 학급 학생들을 대상으로 수업을 한 결과, 첫째, 혼합계산에 대한 처방 프로그램은 학생들의 혼합계산 문제 해결 능력의 향상을 가져오며, 둘째, 혼합계산에 대한 처방 프로그램을 적용하는 것을 통해서 학생들이 보다 더 문제에 집중함을 알 수 있었다. 이상과 같은 결과를 토대로 혼합계산에 대한 처방 프로그램을 개발 및 적용하는 것은 학생들의 혼합계산 문제 해결 능력을 발달시키고 문제에 집중하는 힘을 길러준다는 결론을 내릴 수 있었다.

In this study, a 27 class hour prescribed program for the fourth grade students is to be developed and applied by extracting the contents associated with basic operations studied prior to the fourth grade level of mixed calculations. After analyzing the results of the research, the following conclusions are obtained. First, the prescribed program for mixed calculations brought about the improvement in the mixed calculation problem solving ability of the students. Second, applying the prescribed program for mixed calculation resulted in an increase in students' interest and concentration on problem solving. In synthesis of the above conclusions, the development and application of the prescribed program for mixed calculation improved the students' concentration on the problem and the students' problem solving ability.

실제 수학 수업에서 학생들이 사용하는 노트를 살펴보았더니 문제풀이에 초점을 두어서인지 노트를 정리하는 방법을 몰라서인지 '연습장'에 가까웠다. 이에 체계적인 학습 노트를 활용한 쓰기 활동이 학생들의 수학과 학업 성취도에 어떤 영향을 미치는지 알아보기 위하여 학생들이 쓰기를 할 수 있는 학습 노트를 구안하고, 학습 노트를 활용한 쓰기 활동이 수학과 학업 성취도에 미치는 효과를 분석하며, 이 활동이 학생의 수학적 태도에 어떠한 영향을 미치는지를 결과물을 통해서 분석하였다. 연구 결과 학습 노트를 활용한 쓰기 활동은 학생들의 수학과 학업 성취도의 향상과 수학에 대한 태도에 긍정적인 변화를 준다는 것을 알 수 있었다.

I took a look at the note written by the students in math class. But, it was sort of a 'scratch paper' because they focused only on the problems or do not know the writing a notebook. Thus, I prepared organizational writing activity through learning-notebooks and analyzed the results from the writing activity through learning-notebooks in order to recognize the effects how the activity influences students' mathematics academic achievements and attitude. As a result, I could find that writing activity through learning-notebooks contributes to the enhancement of mathematics academic achievement and attitude.

The researchers set up a research question to find out how to teach the concept of a right triangle through classification activities after listening to the conversations of fellow teachers about the recently revised textbooks. First, a questionnaire was created to confirm the objectivity of the research problem, data were collected through online and offline, and interviews were conducted with some of the respondents. As a result, it confirmed that there was a considerable difference in the perception of the research study about the direction of revising the curriculum called 'student participation centered' and 'the possibility of achieving the learning objective'. Then, we analyzed the critical interpretations used in the third grade math textbook Lesson 2. 'Plane Figure' part 4 and 5. Finally, by analyzing the results of the recognition analysis and textbook analysis, we proposed two learning methods which can link the triangle classification activity and the right triangle concept. Based on the results of the research, we obtained suggestions that a teaching should be made regarding that the classification process may be changed according to the student's prior knowledge and the process of classification activities may be different according to the viewpoint and classification criteria.

연구자는 직각으로만 이루어진 계단 모양의 둘레를 구하는 과정에서 이미 알고 있는 직사각형의 둘레를 구하는 방식을 활용하지 못하고 어려움을 겪는 모습을 보았다. 이에, 평면도형의 둘레에서 학생들이 어떠한 어려움을 겪고 있는지 확인하고 어려움을 겪는 학생들을 도울 수 있는 방법을 찾고자 하였다. 이를 위해 평면도형의 둘레 문제에 관한 다수 학생의 기록지를 분석하고, 그들 중 일부를 대상으로 면담을 수행하였다. 그 결과 학생들은 둘레를 구하기 위해 주어진 정보의 인식과, 그것을 해결에 필요한 정보로 전환하는 두 측면 모두에 어려움을 겪고 있으며, 둘레가 길이의 속성을 갖는다는 선행지식도 적절히 구성되어 있지 않음을 알 수 있었다. 이러한 결과를 토대로 이 연구에서는, 평면도형의 둘레 문제해결을 돕기 위한 지도방안을 제안하였다.

Researcher was interested in circumference of plane figure problem. Meanwhile, researcher found some difficulty in solving circumference problem with stair like plane figure. In this phenomenon, researcher felt to find the teaching method to help students with circumference of plane figure. For this, researcher analyzed many students' recording paper and had interview with few students. As a result researcher found that students had some difficulty in recognizing essential information and prior knowledge base was not made up. From these responses, this paper proposed teaching method for helping students about circumference related problems.

분류 활동은 개념 형성과 직결되는 중요한 활동이다. 따라서 분류는 학습자 중심적인 교수를 통해 의미 충실한 학습이 이루어질 필요가 있다. 하지만 분류와 관련한 교수 학습이 '학습자 중심'이라는 구성주의 철학을 잘 반영하고 있을지 의구심이 제기된다. 이에 본 연구에서는 각과 삼각형의 분류와 관련한 초등 교과서 및 교사용지도서의 내용을 구성주의의 관점에서 비판적으로 분석해 보았다. 그 결과 각의 분류에서는 공동체의 합의에 의한 합리적 기준 설정의 기회가 제공되지 않는 문제점이 있었다. 삼각형의 분류는 다양성의 측면에서 다소 급진적인 형태를 띠고 있다는 문제점이 있었다. 또한 삼각형의 분류는 학생 반응 예측에서 이미 그 지식을 습득한 사람에게나 가능한 반응을 제안하는 경우를 접할 수 있었다. 그리고 계층적 분할적 분류에 대한 선택과 논의의 기회가 제공되지 않는 단점을 지니고 있었다. 이러한 특징을 바탕으로 '학습자 중심' 원칙의 충실한 반영, 학생 반응에 대한 신중한 예측, 결과보다 과정에 주목하는 교수를 지향할 것을 제안하였다.

The classification is an important activity that is directly related to concept formation. Thus it will need to be made meaningful learning to classification through learner-centered teaching. But we doubts weather teaching and learning to the classification are reflected in the constructivist philosophy of 'learner-centered' well or not. The purpose of this study was to analyze critically the content of elementary textbooks and guidebook for teachers relating to the classification of angles and triangles in terms of constructivism. As a result, there is a problem in the classification of angles that are not provided a reasonable chance to set criteria by agreement of the communities. There is a problem in the classification of triangles that has the characteristics of radical development in terms of diversity. In addition, response of students was predicted like anyone who already acquired knowledge. And it has the shortcomings that the opportunity to have a choice and a discussion to hierarchical and partition classification are not provided. The followings are proposed based on such features; faithful reflection of 'Learner-centered' principle, careful prediction of student response, teaching that focus on process than results.

The mathematical object is conceptual. Thus we can not prove the property of mathematical object in experimental viewpoint but in conceptual viewpoint. We performed the experiment for 28 middle school students to investigate whether they understand this. As a result, the majority of student didn't cognize the limit of experimental method. We had also individual interviews with four students. As results, one student was exactly cognizing the limit of experimental method, but he couldn't prove logically. The others didn't cognize the limit of experimental method. They thought that the proposition was already true regardless of the error. And one of them even thought that to be equal approximately was the same of to be equal exactly. Also, one student has confused between the experimental viewpoint and the conceptual viewpoint. This implies that it is necessary to help students understand the limit of experimental method.

The arithmetic operation have double-sided character. One is calculation as a process, the other is understanding in results as an outcome of the operation. We harbored suspicion on students' misunderstanding in an outcome of the operation, because the curriculum has focused on the calculation, as a process of arithmetic operation. This study starts with the presentation of this problem, we tried to find the recognition ability and character in the arithmetic operation. We researched the recognition ability for 7th grade 27 students who have enough experience in arithmetic operation when studying in elementary school. And we had an interview with 3students individually, that has an error in understanding in results of arithmetic operation but has no error in calculation. We focused on 3students' detailed appearance of the ability to understand in results of arithmetic operation and analysed the changing appearance after recommending unit record using operation expression. As a result, we could find the abily to underatanding in results of arithmetic operation and applicability to recommend unit record using operation expression. Through these results, we suggested educational implications in understanding in results of arithmetic operation.

The expectation and confirmation emerging as one of problem-solving strategies in the elementary school is a strategy that does not limited in the elementary school but used in the middle and high school. This strategy inevitably requires a process of adjustment that affected by the earlier expectation. Such an adjustment raised expectation and confirmation to one of effective problem-solving strategies. The adjustment is especially important to carry out the strategy effectively. The aim of this study was to conduct basic research on cognitive characteristics appearing to students when they carried out the expectation and confirmation strategy. We investigated and analyzed this in term of adjustment of expectation. To do this, we examined 50 5th graders' response in three kinds of word problems and interviewed with 4 participants who is using the expectation and confirmation strategy. The interview was conducted by using the items or solutions used in the test. From this, we tried to check students' cognitive characteristics and recognition on it's value. Furthermore we proposed the pedagogical implications associated with these results.