Earticle

본 연구에서는 좋은 수학 과제 관련 선행 연구에서 개발된 초등 수학 과제 중 삼 각형 분할 탐구 과제를 수정하여 현장에서 적용해보고 학생들의 반응을 분석하였 다. 그 결과, 학생들은 예각삼각형과 둔각삼각형, 직각삼각형과 직각삼각형의 조합 을 더 많이 인식하는 경향이 드러났고, 분할 과정에서 각도와 각의 크기 불일치 오 류, 각도 계산의 오류, 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형의 개념 오류를 확인하 였다. 탐구 결과를 정리하고 확장하는 단계에서 학생들은 활발한 의사소통을 보였 으나 탐구하기 어려운 문제를 제시하는 경우가 있어 교사의 안내가 필요함을 알 수 있었다.

This study investigates students’responses to the triangle-division task. The task was modified according to the principles of designing good mathematical task. This study, conducted with the 6th graders after two pilot studies, shows that students recognize the pair of ‘acute triangle, obtuse triangle’ and ‘right triangle, right triangle’ more than other pairs. Several errors were found in the process of dividing triangles: errors in drawing angles, errors in calculating the sum of angles, errors in the concept of acute triangle, obtuse triangle and right triangle. At the stage of arranging and expanding the findings, active mathematical communications were shown. Students presented interesting inquiries though some of them are difficult for the 6th graders to explore. From this, it is suggested that teacher's guidances are necessary in students’ open-ended discussions.

장의존-장독립 인지 양식의 학습자가 수학 과제 유형별 의사소통 과정에서 나타내는 특성을 파악하여 학습자의 인지 양식과 수학 과제 유형이 수학적 의사소통에 미치는 영향을 파악하는 것이 본 연구의 목적이다. 이를 위해 학생의 인지 양식과 수학학습 성취 수준, 성별을 고려하여 초등학교 6학년 학생 8명을 장의존-장독립의 4인 1모둠으로 편성하였다. 각 모둠에 4가지 유형의 수학 과제를 제시하고 수학적 의사소통 과정을 통해 협력하여 해결하도록 하였다. 학생들의 수학적 의사소통 과정은 수학적 의사소통 활성화와 말하기, 듣기 과정의 특징으로 나누어 분석하였다. 그 결과 인지적 수준이 높은 수학 과제는 학생들의 유의미한 수학적 의사소통 활성화에 긍정적 영향을 미쳤다. 그리고 학습자의 인지 양식에 따른 과제 접근 방법의 차이는 말하기, 듣기 의사소통 과정에 영향을 주었다.

The purposes of this study were to identify the characteristics of students with different cognitive styles in the communication process according to the types of mathematical tasks and investigate the effects of their cognitive styles and types of mathematical tasks on their mathematical communication. For this, the investigator selected subjects according to the field dependent-field independent cognitive style by Witkin et al.(1977, p. 7). Mathematical tasks were developed in the areas of numbers and operations, regularity, and measurement according to the four types of Stein & Smith(1998, p. 269), which include the Memorization, Procedures without Connections, Procedures with Connections, and Doing Mathematics tasks. The selected students were divided into homogeneous groups according to their cognitive styles, and their communication processes according to the four types of mathematical tasks were observed through participation and videotaped. The videotapes were then transcribed and analyzed in protocols. The conclusions is that mathematical tasks of high cognitive level had positive effects on the activation of significant mathematical communication among the students and that differences in approaches to tasks according to their cognitive styles influenced their communicative activities in speaking and listening.

초등학교 수학에서 함수적 사고는 매우 중요하지만, 함수적 사고를 지도하는 데 중요한 역할을 하는 교사에 대한 연구는 부족한 편이다. 이에 본 연구에서는 함수적 사고를 지도하기 위한 수학 과제 및 수업 전략에 대한 지식을 살펴보기 위하여 검사 도구를 개발한 후 초등학교 교사 119명을 대상으로 조사하였다. 분석 결과, 초등학교 교사들은 대부분 곱셈 관계와 덧셈 관계의 과제를 적절하게 개발할 수 있었고, 비연속적인 대응표의 활용과 같은 수업 전략에 대하여 함수적 사고 지도의 측면에서 설명할 수 있었다. 반면 일부 교사들은 함수적 사고에 대한 중요한 아이디어를 충분히 이해하지 못했다. 연구 결과를 토대로, 함수적 사고를 지도하기 위한 초등학교 교사의 지식에 관하여 시사점을 논의하였다.

Despite the significance of functional thinking at the elementary school level there has been lack of research on teachers who play a major role in making students be engaged in functional thinking. This study surveyed 119 elementary school teachers to investigate their knowledge of functional thinking for teaching. A written assessment for this study was developed with a focus on the knowledge of mathematical tasks and instructional strategies to teach functional thinking. The results of this study showed that many teachers were able to design tasks corresponding to both the additive relationship and the multiplicative relationship, and to justify some strategies to promote functional thinking. However, some teachers had lack of understanding with regard to the core ideas of functional thinking. Based on these results this study is expected to suggest implications on what aspects of knowledge are further needed for elementary school teachers to promote students’ functional thinking.

본 연구는 초등예비교사들이 수학평가문항을 개발하고 적용하는 과정을 분석하여, 예비교사들이 개발한 문항이 검토 과정에서 어떻게 수정되는지 그리고 문항을 적용한 결과를 해석하면서 예비교사들의 평가에 대한 관점은 어떻게 변화하였는지를 살펴보았다. 그 결과, 평가문항의 변화 양상은 주로 출제의도를 명확하게 표현하기, 교육과정에 제시된 용어와 기호의 사용, 수학적 오류의 수정, 보기의 재구성 및 재배치 등으로 나타났다. 또한 예비교사들의 평가에 대한 관점이 변화되었는데, 평가 과정에서 학생 수준을 고려하는 것의 중요성 인식, 좋은 평가문항에 대한 인식 전환 등으로 나타났다.

The purpose of this study was to examine how pre-service elementary teachers develop mathematical tasks in the elementary teacher education program. Elementary pre-service teachers revise their tasks in clarifying representation, reflecting curriculum, modifying mathematical errors. Elementary pre-service teachers’ perspective on assessment has been changed from focusing on tasks to focusing on students.

수학적 모델링은 수학과 현실의 연계성, 수학 문제 해결 등의 측면에서 중요시되면 서 다수의 연구가 진행되어 왔다. 수학적 모델링 지도와 관련된 선행 연구는 중고 등학생을 대상으로 한 것이 대부분이고 초등학교의 경우에는 그 대상이 고학년에 국한되어 왔다는 점에서 초등학교 저학년을 대상으로 수학적 모델링 수업을 하는 것이 사실상 어렵다는 것에 대한 암묵적인 공감이 있어왔다고 볼 수 있다. 이와 같 은 경향과 달리 본 연구는 수학적 모델링 지도가 모든 학령층에 가능하다는 주장 에 근거하여 초등학교 저학년을 대상으로 한 수학적 모델링의 적용 가능성을 탐색 하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 모델링 지도를 위한 과제 특성 및 초등학교 저학년 학생들의 인지적 특성을 반영하여 수학적 모델링 과제를 개발하고, 이를 초 등학교 2학년 한 학급을 대상으로 적용하였다. 수업 관찰 및 교사 성찰을 통해 파 악한 학생 활동 특성 및 과제 적용 시 나타난 지도상의 어려움에 근거하여 초등학 교 저학년 대상의 수학적 모델링 수업을 위한 교수학적 시사점을 제시하였다.

Considering precedent studies in which research subjects are mainly confined to secondary school students or higher grade students of elementary schools, we can notice that there has been implicit agreement that instruction of mathematical modeling is quite difficult to lower grade students of elementary schools. Compared to this tendency, this study aims to examine the possibility of instruction of mathematical modeling for all of school ages, and more specifically, the applicability of mathematical modeling tasks to lower graders. To do this, we developed a mathematical modeling task proper to cognitive characteristics of lower graders and applied this task to the second graders. Based on the research results by lesson observation and the teacher’s reflection, some didactical suggestions were induced for teaching the lower grade elementary school students mathematical modeling.

본 연구는 창의성이 발현되는 인지적 과정이 무엇인지에 대한 관점을 이론적으로 고찰한 후, 이를 토대로 수학적 창의성을 계발하고 측정하는데 바람직한 과제와 수업 방향을 제시하는 것을 목적으로 한다. 먼저, 창의성에 대한 영역-특수적 관점과 영역-일반적 관점을 이론적으로 고찰하였다. 창의성 발현에 대한 이 두 관점은 이론적 논의에 그치지 않고 수학적 창의성을 계발하고 신장시키기 위해 고안된 과제와 프로그램에 영향을 미친다. 창의성에 대한 교육학적 고찰에서는 수학적 창의성을 검사하고 계발하기 위한 과제와 수업 프로그램이 구비해야할 조건을 이론적으로 탐색한 후, 이를 바탕으로 실제 수학 수업에서 활용가능한 과제와 수업 사례를 제시하였다. 이 연구의 핵심적인 결론은 창의성의 발현되는 과정에 대한 연구는 수학적 창의성 연구의 핵심이 되어야 하며, 아울러 확산적 사고는 수학적 창의성 계발을 위한 필요조건이지만 충분조건은 될 수 없으므로, 수학적 창의성을 계발하기 위해서는 일반화, 추상화 등 다양한 수학적 추론과 수학적 지식을 고려할 필요가 있다.

In this paper, we primarily focus on the perspectives about creative process, which is how mathematical creativity emerged, as one aspect of mathematical creativity and then present a desirable task characteristic to measure and program characteristics to develop mathematical creativity. At first, we describe domain-generality perspective and domain-specificity perspective on creativity. The former regard divergent thinking skill as a key cognitive process embedded in creativity of various discipline domain involving language, science, mathematics, art and so on. In contrast the researchers supporting later perspective insist that the mechanism of creativity is different in each discipline. We understand that the issue on this two perspective effect on task and program to foster and measure creativity in mathematics education beyond theoretical discussion. And then, based on previous theoretical review, we draw a desirable characteristic on instruction program and task to facilitate and test mathematical creativity, and present an applicable task and instruction cases based on Geneplor model at the mathematics class in elementary school. In conclusion, divergent thinking is necessary but sufficient to develop mathematical creativity and need to consider various mathematical reasoning such as generalization, abstraction and mathematical knowledge.

오늘날 수학교육에서는 단순한 지식 습득보다 맥락화된 과제 속에서 수학적 지식 을 추출 또는 적용하는 방식이 선호된다. 이러한 목적을 위해 출발점이 현실 맥락 이라는 특성을 지닌 수학적 모델링은 유용하고, 이때 과제 맥락에 대한 개인의 처 리 방식 및 과제 수행에 대한 영향은 다양한 것으로 알려져 있다. 특히 미래 사회 인재로서의 영재에게 사회적 특성의 역량이 요구되지만, 영재의 인지적 발달이 정 의적 발달을 보장하지 않는다는 사실을 고려할 때, 영재교육에서 사회적 맥락으로 부터 출발하는 수학적 모델링 활동은 유의미한 성과를 낳을 것으로 기대된다. 이에 본 연구에서는 초등수학영재의 사회적 맥락 과제에 대한 수학적 모델링 과정에서 나타나는 과제 맥락 처리 유형을 개별(수학적>통합적>양면적>현실적), 모둠별(통합 적>수학적)로 분석하여 유형의 특징과 변화를 통해 사회적 맥락이 과제 수행에 미 치는 영향을 파악하고 교수학적 시사점을 도출하였다.

In contemporary mathematics education, an emphasis is placed on extracting and applying mathematical knowledge within contextualized tasks, rather than mere acquisition of simple knowledge. Mathematical modelling, which starts from real-world contexts, is a useful approach to achieving this goal. It is well-known that individual task performance is influenced in various ways by the context of the tasks. In particular, although gifted students as future social leaders are expected to possess social competence, it is important to note that cognitive development alone in gifted individuals does not guarantee their ability to meet social demands. Therefore, the application of mathematical modeling activities rooted in social contexts is anticipated to yield substantive outcomes in the domain of gifted education. To address this, this study analyzed types of dealing with the context, both on an individual basis (mathematics bound > integrating > ambivalent > reality bound) and within collaborative settings (integrating > mathematics bound), within the realm of mathematical modeling of social context tasks for elementary school gifted students. This analysis leads us to understand the impact of the social context on task performance and derive didactical implications.

본 연구는 탐색적 자료분석 영역에서 얼굴그림(face plot)을 활용한 수학영재교육의 효과를 알아보기 위하여 중학교 수학 영재학생들 7명을 대상으로 사례연구를 수행하였다. 본 연구에서는 융합교육인 STEAM교육의 철학을 바탕으로의 2개의 변수에서 여러 개의 다변수를 취급할 수 있는 수학 수업과제를 탐구하였다. 이 수학과제(mathematical task)는 다변수의 확산적 사고와 다중적인 사고를 할 수 있는 얼굴그림을 만드는 탐색적 자료분석의 새로운 한 가지 방법이다. 이 수업활동 중 토론과 실험을 통하여 학생들의 흥미와 태도를 변화를 관찰하였다. 본 연구문제로는 첫째, 수학 영재 학생들의 통계적 자료분석의 원리와 개념에 대한 이해를 어떻게 도움을 줄 수 있을 것인가? 와 둘째, 영재학생들의 탐구과정으로서 수학에 관한 흥미와 태도 면에서 어떠한 변화가 나타나는가를 면담과 관찰을 통하여 학습동기유발 상황과 인식의 차별화에 대한 연구를 하였다. 연구결과로는 영재학생들 스스로 자연현상에 대한 이해와 표현에서 두 변량 이상의 다변량 자료분석방법을 시도해봄으로써 수학적 패턴, 소비자를 위한 자료의 시각화, 관계에 대한 지각능력 등과 통찰 능력의 발현에 도움을 준다는 것을 발견하였다. 또한 자료의 시각화 방법과 관계를 통계적이며 직관적인 다변량 분석의 표현 방법을 이해함으로써 자유롭고 창의적인 발상의 전환을 통하여 수학과 통계에 대한 실생활과의 융합 관계에 대하여 흥미와 태도가 생겨났음을 발견하였다.

This study is to figure out the activity and disposition of gifted students with face plot in exploratory data analysis at middle school mathematics class. This study has begun on the basis of the doing mathematics at multivariate analysis beyond one variable and two variables. Gifted students were developed the good learning habits theirselves. According to this result, Many gifted students have an interesting experience at data analysis with Face Plot. And they felt the useful methods of creative thinking about graphics with doing mathematics at mathematical tasks. I think that teachers need to learn the visualization methods and to make and to develop the STEAM education tasks connected real life. It should be effective enough to change their attitudes toward teaching and learning at exploratory data analysis.

본 연구의 목적은 예비교사들이 발산적 사고(DT)와 수렴적 사고(CT) 사이의 역동성을 고려하여 교과서 수학 과제를 창의성을 촉진하기 위한 과제로 변형하고, 이를 적용한 모의수업 사례를 분석하여 계획과 실행 사이의 간극을 살펴보는 것이다. 이를 위해 두 그룹의 예비교사 사례를 Lee et al. (2022)과 문성재 외(2024)의 DT/CT 역동성 틀을 활용하여 질적으로 분석하였다. 과제 변형 단계에서 예비교사들은 DT와 CT 요소를 균형 있게 고려하여 탐구 기반 학습과 내용 중심 학습이 조화를 이루는 과제 계열을 설계하였다. 하지만 모의수업 실행 과정에서 대부분의 탐구 기회 가 교사 주도의 설명으로 대체되었고, 학생 참여를 통한 다중 권위 상호작용이 제한되었으며, DT/CT 전환이 부분적으로만 구현되는 등 상당한 간극 이 관찰되었다. 과제 변형 단계에서 계획되지 않았던 새로운 DT/CT 요소가 모의수업 과정에서 관찰되기도 하였다. 본 연구의 결과는 예비교사 교육 에서 수학적 창의성을 추구하는 과제 및 수업의 특성을 이해하고 이를 구체적으로 설계 및 반성하는 과정에서 DT/CT 틀을 활용해 볼 수 있는 가능성 을 보여준다.

This study aims to analyze the gap between planning and implementation by examining pre-service teachers' modification of mathematical tasks considering the dynamics between divergent thinking (DT) and convergent thinking (CT) and their subsequent microteaching implementation. Using the DT/CT dynamics framework proposed by Lee et al. (2022) and Moon et al. (2024), the cases of two groups of pre-service teachers were qualitatively analyzed. In the task modification phase, pre-service teachers designed task sequences that balanced DT and CT elements, harmonizing inquiry-based and content-focused learning. However, during microteaching implementation, significant gaps were observed: most inquiry opportunities were replaced by teacher-led explanations, multi-authority interactions through student participation were limited, and DT/CT shifts were only partially realized. Some DT/CT elements that were not planned during the task modification phase were also observed in their microteaching. The findings suggest the potential of utilizing the DT/CT framework in pre-service teacher education for understanding the characteristics of tasks and lessons that promote mathematical creativity and for designing and reflecting on them in concrete ways.

본 연구는 수학적 모델링의 과제공간을 설정하고 이를 기반으로 모델링 과제의 복잡성을 나타내는 평가척도(rating scheme)를 설계하여 그것의 타당도를 확인하였다. 예비 수학교사를 대상으로 두 단계의 과정을 거쳐 실험을 진행하였고 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. 첫째는 종전의 문제구조를 표현한 문제공간을 발전시켜 모델링 과제에 맞는 과제공간을 설정하고, 모델링 과제의 복잡성을 수치로 나타내는 계량적인 평가척도를 설계하여 의미 있는 타당도를 확인하였다. 둘째로는 모델링 과제 복잡성의 평가척도, 학생 성취수준, 과제 특수 발견 전략의 개수 사이에는 일관된 패턴이 있음을 발견하였다.

The purpose of this study was to decide the task space and Rating Scheme of task difficulty in complicated mathematical modelling situations. One of main objective was also to conform the validation of Rating Scheme to determine the degree of difficulty by comparing the student performance with the statement of the theoretical model. In spring 2014, the experimental setting was in Modelling Cource for 38 in-service teachers in mathematics education. In conclusions, we developed the Model of Task Space based on their solution paths in mathematical modelling tasks and Rating Scheme for task difficulty. The Validity of Rating Scheme to determine the degree of task difficulty based on comparing the student performance gave us the meaningful results. Within a modelling task the student performance verifies the degree of difficulty in terms of scoring higher using solution approaches determined as easier and vice versa. Another finding was some relations among three research topics, that is, degree of task difficulty on rating scheme, levels of students performance and numbers of specific heuristic. Those three topics showed the impressive consistence pattern.

A large body of previous studies investigated mathematical tasks by analyzing the design process prior to lessons or textbooks. While researchers have revealed the significant roles of mathematical tasks within written curricular, there has been a call for studies about how mathematical tasks are implemented or what is experienced and learned by students as enacted curriculum. This article proposes a mathematical task analytic framework based on a holistic definition of tasks encompassing both written tasks and the process of task enactment. We synthesized the features of the mathematical tasks and developed a task analytic framework with multiple dimensions: breadth, depth, bridging, openness, and interaction. We also applied the scoring rubric to analyze three multiplication tasks to illustrate the framework by its five dimensions. We illustrate how a series of tasks are analyzed through the framework when students are engaged in multiplicative thinking. The framework can provide important information about the qualities of planned tasks for mathematics instruction (proactive) and the qualities of implemented tasks during instruction (reactive). This framework will be beneficial for curriculum designers to design rich tasks with more careful consideration of how each feature of the tasks would be attained and for teachers to transform mathematical tasks with the provision of meaningful learning activities into implementation.

The problem of solution uniqueness to the task of determining unknown parameters of mathematical models from input-output observations is studied. This problem is known as structural identifiability problem. We offer a new approach for testing structural identifiability of linear state space models. The approach compares favorably with numerous methods proposed by other authors for two main reasons. First, it is formulated in obvious mathematical form. Secondly, the method does not involve unfeasible symbolic computations and thus allows to test identifiability of large-scale models. In case of non-identifiability, when there is a set of solutions to the task, we offer a method of computing functions of the unknown parameters which can be determined uniquely from input-output observations and later used as new parameters of the model. Such functions are called parametric functions capable of estimation. To develop the method of computation of these functions we use Lie group transformation theory. Illustrative example is given to demonstrate applicability of presented methods.

본 연구의 목적은 초등학교 수학과 교수학습에서 창의성 신장을 위하여 초등학교 교실에서 활용이 가능한 수학 과제의 유형을 분류하여 제시하는 것이다. 본 연구에서는 창의성이 풍부한 과제의 제시를 학생들의 창의적 사고를 신장시키는데 가장 중요한 부분의 하나로 보고 창의성 신장을 위한 과제의 특성과 이들을 유형별로 분류하였다. 이를 위해 그 동안 창의성과 관련하여 연구되어 온 논문과 자료들을 분석하기 위하여 미국 조지아대학의 GIL과 국내의 논문 탐색을 통하여 창의성 관련 자료를 추출하여 분석하였다. 분석 결과 수학 과제를 창의성의 요소인 독창성, 융통성, 유창성, 정교성, 민감성의 5가지의 속성을 포함하는 4가지 표현 방식에 16과제의 유형으로 분류할 수 있었다. 그리고 과제 유형과 함께 학생들의 창의성 신장을 효과적으로 돕기 위해 고려해야 할 사항들을 제안을 하였다.

The purpose of this research was to analyze mathematical task types to enhance creativity. Creativity is increasingly important in every field of disciplines and industries. To be excel in the 21st century, students need to have habits to think creatively in mathematics learning. The method of the research was to collect the previous research and papers concerning creativity and mathematics. To search the materials, the researcher used the search engines such as the GIL and the KISTI. The mathematical task types to enhance creativity were categorized 16 different types according to their forms and characteristics. The types of tasks include (1) requiring various strategies, (2) requiring preferences on strategies, (3) making word problems, (4) making parallel problems, (5) requiring transforming problems, (6) finding patterns and making generalization, (7) using open-ended problems, (8) asking intuition for final answers, (9) asking patterns and generalization (10) requiring role plays, (11) using literature, (12) using mathematical puzzles and games, (13) using various materials, (14) breaking patterned thinking, (15) integrating among disciplines, and (16) encouraging to change our lives. To enhance students' creativity in mathematics teaching and learning, the researcher recommended the followings: reshaping perspectives toward teaching and learning, developing and providing creativity-rich tasks, applying every day life, using open-ended tasks, using various types of tasks, having assessment ability, changing assessment system, and showing and doing creative thinking and behaviors of teachers and parents.

본 연구는 초등 예비교사에게 필요한 수학지식을 가르치는 효과적인 수단으로서 수학적 과제의 특징을 논의하고 그에 맞게 과제를 설계하고 교사교육에 실행한 사례를 제시하였다. 그 결과 예비교사들은 '격자점 정삼각형 만들기' 라는 수학적 과제를 해결하면서, 주어진 상황을 수학적 문제로 변환하고 기존 지식과의 연결을 통해 문제를 변형하고 해결하며, 기존의 수학적 개념을 새로운 관점에서 보는 경험을 할 수 있었다. 이러한 경험이 예비교사의 교육에 대한 관점의 변화와 어떻게 연결되는지 그리고 교사교육에 적합한 수학적 과제 설계를 위한 조건에 대해 논의하였다.

This study explore the features of mathematical tasks as an effective means to foster pre-service primary teachers' mathematical knowledge for teaching and develop mathematical task for pre-service primary teachers. As a result, prospective teachers have while solving a mathematical task, converting a given situation to a mathematical problem, and solve problems through connections with existing knowledge, and experience seeing the existing mathematical concepts from a new perspective. Finally, we discussed the conditions for a suitable mathematical task in teacher education.

본 연구는 수학과제 및 교사발문에서 요구되는 학생 사고의 인지적 수준에 따른 초등교사의 교육과정 실행 유형을 분석하고 이러한 실행 유형에 영향을 미치는 변인들을 탐색하였다. 이를 위해먼저 수업에서 사용된 수학과제와 교사발문의 인지적 수준을 분석하고 수학과제와 교사발문 간의관련성에 따라 교육과정 실행 유형을 분석하였다. 다음으로 이러한 유형에 영향을 미치는 변인들을교사내적변인과 교사학습기회 변인으로 나누어 그 영향력을 분석하였다. 주요 연구결과는 다음과같다. 첫째, 교사들의 교육과정 실행 유형은 수업에서 사용된 수학과제들과 교사발문들의 인지적수준 간의 관련성에 따라 네 가지로 구분되었다. 둘째, 이러한 교육과정 실행 유형에 영향을 미치는 변인들을 분석한 결과, 교사내적변인 중에서는 교사의 개념학습목표에 대한 강조 정도, 교사의수학내용 및 교수학습에 대한 지식, 교과서의 변형 정도가 유의미한 영향을 주었으며 교사학습기회변인 중에서는 수학의 교수학습에 대한 교사연수 정도가 유의미한 영향을 주는 것으로 나타났다. 이러한 연구결과를 바탕으로 교사들의 교육과정 실행유형에 따른 보다 효과적인 지원 방법을 모색하는 데 시사점을 제공하였다.

The purpose of this study is to examine elementary teachers' enacted curriculum in terms of cognitive demands of mathematical tasks and teacher questioning. This study also examines the factors that influence teachers' enacted curriculum. A total of 234 elementary teachers participated in the survey. Elementary teachers' enacted curriculum was explored by looking at the relationship between the cognitive demand of mathematical tasks used by teachers in teaching and that of teacher guide questions. The results were as follows. First, four patterns from mathematical problems to teacher guide questions were exhibited in terms of the cognitive demand for student thinking. Second, five factors were identified as influential factors on teachers' enacted curriculum, such as teachers' understanding-oriented objectives in teaching, teachers' content knowledge, their pedagogical content knowledge, etc. In particular, PD experience, the extent to which teachers studied pedagogical content knowledge during PD programs was found to be significant in distinguish teachers who provide higher level learning opportunities for students from teachers who provide lower level ones. This study has implication to curriculum developers, professional developers, and teacher educators with information about ways in which they can support teachers in order to help teachers make better use of their texts.

본 연구의 목적은 초등학교 교사가 수학 교과서 과제를 수학적 모델링 과제로 변형하는 과정에서 경험하는 어려움과 수학적 모델링 과제 개발을 위한 지식 변화의 사례를 분석하는 것이다. 이를 위해 10년 경력의 초등교사가 교사연구공동체의 반복적인 논의에 참여하면서 초등학교 5학년 수학의 자료와 규칙성 영역 중 평균 지도를 위한 과제를 수학적 모델링 과제로 변형하였다. 연구결과, 첫째, 교사는 과제 변형 과정에서 현실성의 반영, 수학적 모델링 과제의 적절한 인지적 수준 설정, 수학적 모델링 과정에 따른 세부 과제의 제시에 어려움을 겪었다. 둘째, 반복된 과제 변형을 통해, 교사는 학습 내용과 학생의 인지적 수준을 고려한 현실성 있는 과제의 개발, 과제의 복잡성 및 개방성 조정을 통한 과제의 인지적 수준 조정, 학생의 과제 해결 과정에 대한 사고실험을 통한 수학적 모델링 과정에 따른 세부 과제의 제시를 수행할 수 있었으며, 이는 수학적 모델링의 개념과 과제의 특징 등 수학적 모델링 과제 개발을 위해 요구되는 교사 지식이 향상되었음 보여준다. 본 연구결과는 향후 수학적 모델링 교사교육과 관련하여, 교과서 과제 변형을 통한 수학적 모델링 과제 개발 역량 향상의 기회를 제공하는 교사교육, 수학적 모델링의 이론 및 실제를 결합한 교사교육, 교사연구공동체에의 참여를 통한 교사교육이 필요함을 보여준다.

This study analyzed the difficulties and mathematical modeling knowledge improvement that an elementary school teacher experienced in modifying a mathematics textbook task to a mathematical modeling task. To this end, an elementary school teacher with 10 years of experience participated in teacher-researcher community's repeated discussions and modified the average task in the data and pattern domain of the 5th grade. The results are as followings. First, in the process of task modification, the teacher had difficulties in reflecting reality, setting the appropriate cognitive level of mathematical modeling tasks, and presenting detailed tasks according to the mathematical modeling process. Second, through repeated task modifications, the teacher was able to develop realistic tasks considering the mathematical content knowledge and students' cognitive level, set the cognitive level of the task by adjusting the complexity and openness of the task, and present detailed tasks through thought experiments on students' task-solving process, which shows that teachers' mathematical modeling knowledge, including the concept of mathematical modeling and the characteristics of the mathematical modeling task, has improved. The findings of this study suggest that, in terms of the mathematical modeling teacher education, it is necessary to provide teachers with opportunities to improve their mathematical modeling task development competency through textbook task modification rather than direct provision of mathematical modeling tasks, experience mathematical modeling theory and practice together, and participate in teacher-researcher communities.

This study reviewed the notion and strategies of mathematical creativity from two point of view, mathematics and creativity. By these reviews, the spectrum was presented as frame of mathematical creativity task. Creativity and mathematics were seen as polar opposites and mathematical creativity task fit clearly at various points in this spectrum. Some focused on the quantity of ideas and originality from creative point of view. On the other hand, some focused on reasoning, insight, and generalization from mathematical point of view. The tasks on the spectrum were served as the vehicle of mathematical creativity and mathematics classroom. Therefore, there were some specific suggestions that mathematics classroom could be made a place where students and teachers would be able to foster their mathematical creativity.

본 연구는 만 5, 6세 유아의 수학적 패턴과제에서 나타나는 패턴문제해결전략과 패턴발달수준을 연령에 따라 분석하여, 패턴을 인식하는데 어려움을 겪는 유아들에게 적절한 교수․학습에 대한 정보를 제공하기 위한 목적으로 실시되었다. 경기도에 위치한 S유치원의 만 5세 유아 41명과 만 6세 유아 42명을 대상으로 연구한 결과, 첫째, 수학적 패턴과제에서 나타난 연령별 패턴문제해결전략은 반복패턴 과제인 탑 패턴에서는 ‘바라보며 인식하고 말없이 그리기 전략’이 가장 많이 나타났으며 과제의 난이도가 높아질수록 ‘말하기’ 전략이 포함된 전략을 사용하는 빈도가 높아졌다. 테두리 패턴에서는 두 연령 모두 ‘순차적으로 놓기’ 전략의 비중이 가장 높았으나 ‘예측하기’ 전략은 만 6세 유아가 만 5세보다 사용하는 비중이 높았으며 성장패턴에서 만 5세는 ‘어림짐작’ 전략이, 만 6세는 ‘수세기’ 전략이 가장 많이 사용하는 것으로 나타났다. 둘째, 수학적 패턴과제에서 나타난 연령별 패턴발달수준은 탑 패턴 과제에서 난위도가 높아질수록 성공수준인 4수준 ‘올바른 배열’이 만 5세는 증가하고, 만 6세는 낮아지는 것으로 나타났는데 이는 만 6세가 앞선 과제보다 다양한 패턴문제해결전략을 사용하는 과정에서 생긴 부주의와 실수에서 비롯된 것으로 해석할 수 있다. 반복패턴인 테두리 패턴과 증가패턴 과제에서는 두 과제 모두 패턴의 규칙성을 발견하거나 만들어낸 규칙을 언어로 설명하는 일반화 과정에서 만 6세 유아가 만 5세 유아보다 성공률이 높게 나타났는데 이는 패턴발달수준이 연령의 발달에 영향을 받고 있음을 시사하고 있다. 따라서 수학적 패턴과제에서 나타나는 패턴문제해결전략과 패턴발달수준을 파악하는 것은 현재 유아의 수준에 대한 상세한 정보를 제공하며 보다 구체적 전략 수정을 통해 대수적 사고 향상에 직접적으로 기여할 수 있다는 점에서 그 가치가 있다.

In an effort to determine the best strategies for teaching preschoolers who demonstrate difficulties in pattern recognition this study examines the problem-solving strategies used by five and six-year old preschoolers whose ages were first calibrated for this research according to Western custom for consistency in establishing norms. The findings of the study: First, with regard to strategies, 1) ‘looking, recognizing and drawing without speaking' was used most often with top pattern tasks which are repetitive 2) pattern task strategies involving 'a speaking strategy' were more frequently used when the given tasks were more difficult to do; 3) for brim pattern tasks, the strategy of ‘ putting in due sequence' was most common with both five and six year olds; and 5) age six subjects made more use of an 'estimating strategy' than those who were age five; 6) in growing pattern tasks, five year olds put 'a rough guess strategy' to use the most, while a ‘number counting strategy' was most dominant for age six. Second, with regard to the level of developmental patterns used in mathematical pattern task performance reveals 1) that level 4, 'the right arrangement' was a successful level and more common in age five group but less common in the age six group when the given tasks were more difficult to do; 2) repeated task performance experiences were likely to lead to a greater probability of success irrespective of age. 3) in performing brim and increased pattern tasks involving repeating pattern tasks, the age six group was more successful than the age five group in finding the regularity of both patterns and in explaining the rules they found. In conclusion, as these findings strongly imply that the levels of developmental patterns are influenced by advancing in age, teaching strategies should provide engaging, rich preparatory readiness experiences to foster and encourage that age related development.

목적 수학교과는 위계성과 계통성이 다른 교과에 비해 뚜렷하여 선수지식이 요구되는 대표적 교과로 실패경험의 누적은 인지뿐 아 니라 비인지 영역의 성취를 저해하는 원인이 된다. 본 연구는 추상적 개념 이해를 돕는 구제적조작물을 활용한 수학 수업을 구성하고 이를 통해 개념 및 원리에 대한 인지적 학습이해를 돕고 이러한 인지적 성취가 동반된 활동수업이 수학학습에 긍⋅부정적 영향을 미치는 비인지적 요인인 수학 성장마인드셋, 과제가치, 과제비용 및 수학적 성향에 영향을 미치는지 살펴보는 것을 목표로 수행되었다. 방법 본 연구는 중학교 1학년 학생 82명이 참여하였고 약 5주 동안 19회차의 수업이 진행되었다. 실험집단과 통제집단의 사전 동질 성을 검증하고 실험집단의 사후 변화를 알아보기 위해 독립표본 t-검정을 실시하였다. 마지막으로 시점과 집단의 상호작용 효과를 검증하기 위해 반복측정 이원분산분석(2x2 혼합분산분석)을 실시하였다. 결과 구체적조작물을 활용한 수학수업은 중학생 학습자의 수학 성장마인드셋, 과제가치, 수학적 성향에 통계적으로 유의미하게 나타나 프로그램 효과성을 확인하였다. 과제비용은 평균점수가 감소하였지만 통계적으로 유의미하지는 않았다. 결론 본 연구의 의의는 구체적조작물을 활용한 수학 수업의 다양한 상호작용을 통해 중학생 학습자의 수학 성장마인드셋, 과제가치, 수학적 성향을 증진시켜 수학학습에 대한 두려움을 감소시키고 학문적 자신감을 고취한 효과를 과학적으로 검증한 것이다. 더불어 주제가 실생활에 적용 가능하다는 점에서 수학교과에 대한 긍정적인 인식을 불러일으키는 효과도 확인하였다. 본 연구의 결과를 바탕으로 학습자의 주도성과 내적동기 향상을 위해 학생과 교과 특성을 고려한 다양한 수업방법을 적용한 프로그램 운영과 개선에 기여하고 학습자에게는 전인적 성장을 이룰 수 있는 교육적 경험을 제공할 수 있기를 기대한다.

Objectives Mathematics is a representative subject that requires prerequisite knowledge due to its clear hierarchy and systematicity compared to other subjects. Accumulation of failure experiences becomes the cause of hindering achievement in cognitive as well as non-cognitive areas. This study organizes mathematics classes using concrete manipulatives to help understand abstract concepts, thereby helping cognitive learning and understanding of concepts and principles, and shows that activity classes accompanied by such cognitive achievements have positive and negative effects on mathematics learning. The goal was to examine whether non-cognitive factors such as math growth mindset, task value, task cost, and mathematical inclination were affected. Methods A total of 17 classes, which has 82 first-year middle school students participated for about 5 weeks structured program. Independent sample t-test was conducted to test the pre-homogeneity of the experimental and the control group and to see the post-results of the experimental group. Finally, in order to test the interaction effects of the time point and group, repeated measurement two-way analysis of variance(2x2 mixed-variance analysis) were performed. Results Activist math classes with specific manipulations were statistically significant to learners in terms of mathematical growth mindset, task value, and mathematical disposition. Although the task cost was not changed, the program had positive effects on the others. Conclusions The significance of this study is to reduce the fear of mathematics learning and increase academic confidence by promoting middle school students' mathematics growth mindset, task value, and mathematical propensity through various interactions of activist mathematics classes. In addition, it was confirmed that such a program could increase students' positive perception toward mathematics because the topics were applicable to real life. Based on the results, a program based on students' individual differences and subject characteristics could be developed so that they can have higher motivation and better achievement in their learning experiences.

오늘날 빠르게 변화하는 사회에 능동적으로 적응하기 위해서는 수학을 가르치고 배우는 방법에 있 어서 새로운 접근이 요구되며, 이러한 배경에서 출발한 수학적 모델링은 점차 학교수학의 필수 영역이 되고 있다. 하지만 많은 교사들은 수학적 모델링에 대한 이해 부족과 함께 수학적 모델링을 수업에 적 용하는데 어려움을 겪고 있다. 교사들이 수학적 모델링을 이해하고 적용하는데 어려움을 느끼는 가장 큰 이유 가운데 하나는 수학적 모델링 과제의 특성을 이해하기 어렵다는 데에 있다. 지금까지 수학적 모델링은 주로 중·고등학교 수준에서 다루어져 왔으며 이들을 위한 모델링 과제가 보편화되어 있어 교 사들은 초등학교에서 수학적 모델링의 교육적 활용에 대한 어려움을 갖고 있다. 이에 본 연구에서는 초등학교에 적용된 수학적 모델링의 사례를 검토하고 적용된 과제의 유형을 분석하였다. 그 결과 초등 학교에 적용된 수학적 모델링 과제의 특징으로 문제 중심, 표 중심, 복합 유형이 도출되었다. 문제 중 심 유형은 하나의 문제로부터 과제가 통합적으로 다루어지며, 표 중심 유형은 과제의 정보가 표를 중 심으로 전개되어 표에 포함된 정보를 처리하는 능력을 요구한다. 복합 유형은 서술된 문장, 표, 그림의 형태가 두 가지 이상 제시되는 형태로 대부분의 수학적 모델링 과제가 이에 포함된다. 모든 학생들에 게 수학적 모델링 과제는 항상 어려움을 야기하지만 그 어려움은 수학적 모델링 고유의 인지적 복잡성 에서 기인하며 바로 그 지점으로부터 모델링 역량을 발달시킬 수 있다. 본 연구 결과 수학적 모델링을 초등학교에 적용할 수 있는 과제 유형을 밝힘으로써 수학적 모델링에 대한 교사들의 인식 개선과 더불 어 수학적 모델링을 초등학교 수학 수업에 적용하는데 도움을 줄 수 있을 것으로 기대한다.

Today, adapting actively to a rapidly changing society has become increasingly difficult to achieve satisfactory results in the traditional way of teaching and learning mathematics. In this context, mathematical modeling is increasingly becoming an integral part of school mathematics. However, many teachers have difficulty in applying to the class together with lack of understanding about mathematical modeling. One of the main reasons teachers have difficulty understanding and applying mathematical modeling is that it is difficult to understand the nature of the mathematical modeling task. Until now, mathematical modeling has been mainly dealt with at the middle and high school levels, and the modeling tasks for them have become common, so teachers have difficulties in understanding and applying mathematical modeling in elementary school. In this study, the case of mathematical modeling applied to elementary school was examined and the applied task type was analyzed. As a result, the types of problem-centered, table-centered, and complex-type were derived as characteristics of mathematical modeling tasks applied to elementary school. Based on this study, it is expected that mathematical modeling can be applied to elementary school, and mathematical modeling can be applied to elementary school mathematics classroom with improvement of teachers' perception about mathematical modeling.