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본 연구의 목적은 분수의 나눗셈 문장제 해결 과정의 문제 이해 단계 및 문제 해 결 단계에서 보이는 오류의 유형과 그 내용을 분석하여 분수의 나눗셈 문장제 해 결 지도에 대한 시사점을 얻는 것이다. 이를 위해 초등학교 6학년 학생 21명에게 분수의 나눗셈 문장제 해결 검사지를 적용하고, 학생들이 작성한 답안지와 이에 대 한 개별 면담 결과를 종합하여 문제해결 과정에서 보인 오류의 유형과 그 내용을 분석했다. 그 결과 오류 유형별로 내용이 다양했으며, 수학 성취 수준별로 문제 이 해 단계와 문제 해결 단계에서 보인 오류 유형과 그 내용의 특징은 상이했다. 이를 바탕으로 분수의 나눗셈 문장제 해결 지도에 대한 시사점을 제안한다.

The purpose of this study is to obtain implications for teaching fractional division word-problems solving by analyzing the types and contents of errors seen in the problem understanding and problem solving stages of the fraction division word-problems solving process. For this purpose, a 10-question test sheet was applied to 21 6th-grade elementary school students, and the answer sheets written by the students and the results of individual interviews were combined to analyze the types and contents of errors shown in the word-problems solving process. As a result, 67.53% of the errors in the process of solving the fractional division word-problems were found in the problem understanding stage. And the characteristics of the error types and its contents were different by students’ achievement level. Based on this, implications for teaching fractional division word problem solving were proposed.

본 연구의 목적은 통계적 방법을 활용해 산술과 대수 영역에서 초등 예비교사들의 문장제 문제해결 능력과 그들이 선호하는 전략, 그리고 평가 능력을 알아보는 것이다. 연구의 결과, 첫째, 초등 예비교사들은 대수의 문장제 문제해결에서 뿐만 아니라 산술 문항에서도 논리적이고 절차적인 대수적 문제해결 행태를 보였지만, 산술문항에서 선호하는 문제해결 전략은 식세우기 전략과 표만들기 전략이었다. 둘째, 수학교육과 영어교육을 심화 전공하는 초등 예비교사들의 평가 점수는 유의수준 ${\alpha}=0.05$에서 유의미한 차이가 나타났지만, 1학년과 4학년 초등 예비교사 집단의 평가 점수는 유의수준 ${\alpha}=0.05$에서 유의미한 차이가 나타나지 않았다. 이 결과는 초등 예비교사들의 문장제 문제해결, 적합한 전략의 선택, 평가에서 단계별 향상을 위한 산술과 대수 영역의 정교하고 구조화된 예비교사교육이 필요함을 시사한다.

The purpose of this study is to analyze that The arithmetic and algebraic word problem solving skill, strategy preference, and assessment ability of elementary preservice teachers is investigated using a statistical methodology. The research findings are as follows. First, elementary preservice teachers demonstrated logical and delicate problem solving behaviors in arithmetic and algebraic word problem solving. And elementary preservice teachers prefer to create a formula and table strategy in problem solving of the arithmetic question. Second, there was meaningful difference in the math and english elementary preservice teachers' appreciations with significant level of 0.05. And there was not meaningful difference in the 1 and 4 grade elementary preservice teachers' appreciations with significant level of ${\alpha}=0.05$. Results of the study suggest that teachers education course need to improve elementary preservice teachers' word problem solving skill, strategy preference, and assessment ability in the arithmetic and algebraic.

학생들은 소수의 나눗셈 문장제를 나눗셈 문제로 인식하는 데 어려움을 겪는다. 본 연구에서는 곱셈 구조 이해를 바탕으로 한 나눗셈식 교수 실험을 설계하고, 학생들 이 소수의 나눗셈 문장제를 해결할 때 도식을 활용하여 식을 만드는 과정을 분석 하였다. 연구 결과, 학생들은 스스로 도식을 구성해본 경험을 바탕으로 간단한 수학적 도식 과 이중 척도 모델을 단계적으로 구성할 수 있게 되었다. 매 차시 도식의 변화 과 정에 따라 도식을 설명하기 위한 식과 설명 방법을 유연하게 제시하였고, 수업 후 문제 상황과 도식, 식을 함께 연결하여 올바른 식을 만들 수 있게 되었다. 이러한 결과를 바탕으로, 곱셈 구조 내의 개념을 유사한 문제 상황으로 결합한 과제 제시, 학생 스스로 도식을 구성할 기회 제공, 학생 간 공동 활동을 통한 도식 변화 과정 인식 경험 제공, 교사의 적절한 개입 및 기호학적 활동을 통해 문제 상황과 도식, 식을 유기적으로 연결할 수 있도록 지도할 것을 시사점으로 제안하였다.

Students have difficulty in understanding the meaning of division with decimals. The purpose of this study is to explore what visual representations students draw in solving word problems and how they develop their visual representations and use them to write mathematical expressions in the process of making sense of division with decimals. In this study, a teaching unit whose emphasis was on multiplicative structure in word problems in division with decimals was designed. Twenty-four sixth graders attended a teaching program that consisted of four classes. In each class, students were given word problems and asked to draw visual representations and write mathematical expressions. The result shows that it would be helpful to provide students with word problems in pairs like multiplication word problem and measurement division word problem for understanding multiplicative structures in apparently similar problems. In the beginning students drew visual models that represented only problem situation itself. As the classes progressed, however, they developed their visual representations and solved problems in reasoning with visual representations. Students could wrote correct mathematical expressions by referring to visual representations that they developed. Moreover, experience of drawing and developing their own visual representations was of great help in understanding and accepting formal mathematical models like double scale models.

다이어그램은 수학 문장제의 구조를 표현하고 추론을 하여 문제를 해결하는 데 유 용하다. 다이어그램에 관한 교사의 관념과 실행은 학생들에게 큰 영향을 미친다. 그러므로 예비교사교육 프로그램에서 예비교사들이 다이어그램 관련 역량을 기를 기회를 제공해야 한다. 관련하여, 예비교사들이 다이어그램에 대한 어떤 사전 경험 과 관념을 가지고 교사교육 프로그램에 입문하는지, 프로그램을 거치면서 어떤 변 화가 일어나는지, 프로그램에 어떤 개선이 필요한지 연구할 필요가 있다. 이 논문 에서는 그 출발점 작업으로, 교육대학교의 수학교육 프로그램에 입문하는 초등예비 교사들의 다이어그램에 대한 관념과 수행을 조사하였다. 조사 결과, 초등예비교사 들은 다이어그램 유용성 인식과 다이어그램 교육 의지 영역에서 긍정적인 응답을 보였으나, 수학 문장제 해결에 다이어그램을 자발적으로 사용하고 있지 않았고 학 교에서의 다이어그램 학습 경험에서도 부정적인 응답을 보였다. 또, 초등예비교사 들이 그린 다이어그램을 분석한 결과, 해를 구하는 추론 (풀이) 과정을 나타내는 다 이어그램을 그린 초등예비교사는 소수였다. 이러한 결과는 다이어그램에 관한 경험 과 지식이 부족한 상태로 수학교육 프로그램에 입문하는 초등예비교사가 많음을 시사한다.

This study involved an investigation of prospective elementary teachers’preconceptions and experiences of diagrams and their ability to draw diagrams in solving math word problems. A questionnaire and two math word problems were administered to prospective elementary teachers who began to taking an introductory mathematics education course. The results from the analysis of their responses to the questionnaire items indicate that prospective elementary teachers appreciate the value of diagrams as tools for problem solving and communication. In addition, prospective elementary teachers have the will not only to teach their future students how to use diagrams but also to encourage them to draw diagrams in solving math word problems. However, the results also indicates that prospective elementary teachers neither use diagrams spontaneously in their math problem solving activities nor have confidence in drawing useful diagrams. Prospective elementary teachers also manifested low scores on the questionnaire items asking whether they were taught how to draw useful diagrams or encouraged by their teachers to use diagrams in their previous learning experiences. The results from the analysis of the diagrams that prospective elementary teachers drew in solving math word problems showed that most of them had difficulty drawing diagrams that represent their reasoning and solving process.

This study explored how three second-grade middle school students approached real-life contextual word problems, using Schoenfeld’s (1985) problem-solving framework of resources, heuristics, control, and beliefs. A qualitative case study design was adopted. The students’ problem-solving processes were video-recorded and analyzed through transcripts and follow-up interviews. Although all three students were aware of the mathematical knowledge needed to solve the problems, clear differences appeared in how they organized their knowledge, chose and applied strategies, monitored their work, and viewed problem solving. These differences became especially evident in a high-level task that required students to check and adjust their strategies. The findings suggest that success in solving real-life contextual word problems depends not only on what students know, but more importantly on how they use that knowledge. Heuristics guide the use of resources, control regulates the process, and beliefs support or constrain these actions. Therefore, students’ errors or unrealistic responses should not be seen simply as cognitive weaknesses, but as the result of interactions among these problem-solving components.

최근 여러 연구자들은 수학적 문제해결 역량 교육에서 생성형 인공지능을 활용하는 방안에 주목하고 있다. 그러나 생성형 인공지능이 학생 들의 수학적 오류를 어떻게 진단하고, 이에 대응하기 위해 어떤 피드백을 제공하는지는 아직 상세히 탐구되지 않았다. 본 연구에서는 문제해결 역량 교육을 위한 ChatGPT 활용 방안을 탐색하기 위해 ChatGPT의 오류 진단 및 피드백 성능을 평가하였다. 이를 위해 분수의 나눗셈 문장제 해결 과정 에서 나타나는 대표 오류 유형을 도출하고, 문제해결 역량이 부족한 학생 시나리오와 구조화된 프롬프트를 개발하였다. 연구 결과, 문제 이해 및 전략 탐색 역량과 관련된 오류에 대한 ChatGPT의 진단 및 피드백 성능은 준수하였다. 한편, 계획 실행 및 반성 역량과 관련된 오류에 대한 ChatGPT의 진단 및 피드백 성능은 오류의 유형 및 개수에 따라 변동성을 보였다. 연구 결과를 바탕으로 문제해결 역량 교육에서 ChatGPT를 활용하는 방안과 후속 연구 주제에 대해 논의하였다.

Recently, several researchers have been exploring how to utilize generative artificial intelligence in mathematical problem solving competency education. However, how generative AI diagnoses students' errors and what feedback they provide to respond to them has not yet been explored in detail. In this study, the error diagnosis and feedback performance of ChatGPT was evaluated to explore its application in problem solving competency education. To achieve this, representative error types in solving word problems involving division of fractions were identified, and scenarios of students with insufficient problem-solving competency, along with structured prompts, were developed. The results indicated that ChatGPT’s performance in diagnosing and providing feedback on errors associated with problem understanding and strategy exploration was satisfactory. However, ChatGPT’s performance in diagnosing and providing feedback on errors associated with implementing and reflection exhibited variability depending on the type and number of errors. Potential applications of ChatGPT in problem solving competency education and topics for future research were discussed.

학령 전 아이들은 형식적인 교육을 받지 않고서도 일상적인 경험이나 비형식적인 방법으로 수를 익히고, 계산을 한다. 따라서 학령 전 아이들의 수학적 능력에 대한 이해는 유치원 교육과 초등학교 저학년의 수학 학습 지도에 시사점을 줄 수 있다는 면에서 중요하다. 본 연구에서는 학령 전인 만 5세의 아이들이 사칙연산 문장제의 의미론적 측면의 문제 유형에 어느 정도의 해결 능력과 방법을 보이는가를 조사하였다. 연구 결과, 만 5세의 학령 전 아이들은 5보다 크고 10보다 작은 수로 구성된 사칙연산 문장제에 대하여 구체물을 이용한 비형식적 연산의 수행과 정신적 암산을 수행하는 방법을 통하여 문제를 해결할 수 있는 능력을 가지고 있음을 알 수 있었다. 이것은 학령 전 아이들의 수학적 경험을 위한 교육과정이나 프로그램을 체계적으로 구성하여 제시할 필요성을 제기한다.

The purpose of this paper is to examine the competence and the methods of problem solving in four operations word problems based on the informal knowledges by five-year-old children. The numbers which are contained in problems consist of the numbers bigger than 5 and smaller than 10. The subjects were 21 five-year-old children who didn't learn four operations. The interview with observation was used in this research. Researcher gave the various materials to children and permitted to use them for problem solving. And researcher read the word problems to children and children solved the problems. The results are as follows: five-year-old children have the competence of problem solving in four operations word problems. They used mental computation or counting all materials strategy in addition problem. The methods of problem solving were similar to that of addition in subtraction, multiplication and division, but the rate of success was different. Children performed poorly in division word problems. According to this research, we know that kindergarten educators should be interested in children's informal knowledges of four operations including shapes, patterns, statistics and probability. For this, it is needed to developed the curriculum and programs for informal mathematical experiences.

오늘날 학교 수학은 실생활과 관련된 수학의 필요성이 강조되면서 그 가운데 문장제의 역할이 더욱 부각되고 있다. 이에 본 연구는 초등학교 수학 교과서의 ‘문자와 식’ 영역에 제시된 문장제를 분석한 결과를 토대로 하여 학생들이 문장제의 유형 및 그 구성요소가 문제해결에 어떠한 영향을 미치는지를 살펴보고자 하였다. 이를 위해 4개 초등학교에서 3학년 학생 222명, 4학년 학생 214명, 6학년 학생 208명을 대상으로 하여 선행 연구의 문장제 분석 결과를 반영한 검사지가 작성되어 투입되었으며, 그 결과를 분석하여 문장제 유형에 따른 문제해결에서의 정답률과 문제해결에 직·간접적으로 영향을 미치는 문장제의 구성요소에 대해 살펴보았다. 일반적으로 교과서에 많이 등장하는 문장제 유형일수록 문제해결에서 성공하는 확률이 높게 나타났으나, 이와 함께 본 연구에서는 문장제의 구문론 측면에서 볼 때, 불필요하거나 불충분한 수치 정보의 포함 여부에 따라 문제해결에 영향을 미치고 있으며, 그리고 의미론 측면에서는 연산구조 여부, 연산의 단계 및 연산의 종류에 따라 문제를 해결하는 과정과 정답률에서 차이를 보이고 있음을 확인할 수 있었다. 본 연구는 초등학교 수학에서 학년을 구분하여 문장제 유형과 그 구성요소에 따른 문제해결능력을 살펴본 것으로, 문장제를 구성하는 다양한 요소들과 그에 따른 유형, 그리고 문제해결 사이의 관련성을 검토하는 데 그 의미가 있다.

Today the importance of word problems increases as the relation between mathematics and real life is emphasized in school mathematics. Therefore elementary mathematics textbooks deal with various types of word problems. In this paper, we focus on word problems in 'letters and expressions' domain of elementary mathematics textbooks, and analyze the difference of children's ability to solve word problems according to the word problems types. First, we make the two kinds of tests － 3·4th grades test(222, 214 students) and 6th grade test(208 students) － and analyze the differences of children's ability to solve word problems. Second, we investigate various factors which influence word problem solving. In the case of the type of word problems which students have more experienced, the correct answer ratio are appeared highly as compared with otherwise cases. On syntax aspects, number of sentences in word problem and inclusion of unnecessary or insufficient data play an important role in word problem solving. And on semantic aspects, correct answer ratio is influenced by the types of operation. Therefore students should have the chance to experience various word problems through all grades, and extend their mathematical problem solving ability in real life. Also we expect that lessons of word problem solving according to syntax and semantics factors help to increase of mathematical thoughts and creativities.

It is undeniably important to bring up a solution capability of arithmetic word problems in the elementary mathematical education. The goal of this study is to acquire the implication for remedial instruction on arithmetic word problems solving through surveying elementary school students' difficulties in the solving of arithmetic word problems. In order to do it, this study was intended to analyze the following two aspects. First, it was analyzed that they generally felt more difficulties in which field among addition, subtraction, multiplication and division word problems. Second, with the result of the first analysis, it was examined that they solved it by imagining as which sphere of the other word problems. Also, the cause of their error on the word problem solving was analyzed by the interview. From the foregoing analyses, the following implications for remedial instruction on arithmetic word problems solving are acquired. First, the accumulation of learning deficiency must be diminished through the remedial instruction. Second, it must help students to understand the given problem and to make of what the goal of problem is. Third, it must help students to form a good habit for reading the problem and to understand the context of problem. forth, the teacher must help students to review and reflect their problem-solving processes.

본 사례 연구의 목적은 중학교 1학년 학생 2명을 대상으로 실시한 수업에서 공변 추론 수준에 따른 연립방정식 문장제를 해결하고 일반화하는 과정에서 나타나는 유사성을 비교·분석하는 것이다. 그 결과, 값의 조정 수준으로 추론하는 학생 S는 연립방정식 문장제에 주어진 양들에 대해 정적인 이미지를 가졌고, 부드러운 연속 공변 수준으로 추론하는 학생 D는 문제 상황의 양들에 대해 동적인 이미지를 갖고 양들 사이의 불변인 관계를 식과 그래프로 나타내었다. 이와 같은 연구 결과는 연립방정식 문장제의 학습에서 공식이나 전략의 사용에 앞서 주어진 상황에서 다양한 양들 사이의 관계를 추론하는 활동이 문제해결력 신장에 도움을 줄 수 있으며, 학생들의 공변 추론을 강화하기 위한 대수 교수·학습 방안에 대한 논의가 앞으로도 계속 이루어져야 함을 시사한다.

The purpose of this case study is to explore the similarities revealed in the process of solving and generalizing word problems related to systems of linear equations in two variables according to covariational reasoning. As a result, student S, who reasoned with coordination of value level, had a static image of the quantities given in the situation. student D, who reasoned with smooth continuous covariation level, had a dynamic image of the quantities in the problem situation and constructed an invariant relationship between the quantities. The results of this study suggest that the activity that constructs the relationship between the quantities in solving word problems helps to strengthen the mathematical problem solving ability, and that teaching methods should be prepared to strengthen students' covariational reasoning in algebra learning.

본 연구는 지적장애학생을 대상으로 다중표상을 활용한 인지․메타인지전략이 수학문장제 문제해결과 오류감소에 어떠한 효과가 있는지를 알아보고자 하였다. 이를 위해 경남 J시에 거주하는 지적장애학생 40명을 실험집단과 비교집단으로 하여 각각 20명씩 배치하였다. 본 전략은 문제이해에 도움을 주는 다중표상과 문제를 풀이하기 위한 전략으로 인지·메타인지전략을 사용하여 구성하였다. 실험절차는 사전검사, 중재, 사후검사의 순서로 이루어졌으며, 일주일에 3회씩, 10주간에 걸쳐 총 30회기가 실시되었다. 본 연구를 통해 밝혀진 결과를 요약하면 다음과 같다. 첫째, 다중표상을 활용한 인지․메타인지전략은 지적장애학생의 수학문장제 문제해결에 효과적이었다. 둘째, 다중표상을 활용한 인지· 메타인지전략은 수학문장제 문제에서 잘못된 연산 오류를 범하는 학생들에게 계산 오류를 범하지 않게 하는데 효과가 있었으며, 계산 오류를 보이는 학생들에게는 잘못된 연산오류를 줄이는데 효과가 있었다.

The purpose of this study was to provide educational implications by student with Intellectual Disabilities, effect of cognitive and meta-cognitive strategy based on the multiple representation on mathematical word problems solving and reduction of Error of Student with Intellectual Disabilities. The participants of the current study were 40 students with intellectual disabilities lived in J City of Gyeongsangnam District : 20 student were placed in the experimental group and other 20 student were in the control group. This strategy was composited that using the multiple representation understand for problem and using cognitive and meta-cognitive strategy for problem solving. The experimental procedure was composed of pre-test, intervention, and post-test. The experiment was conducted 3 times per week for the total of 30 sessions for 10 weeks period. The result from the current study may be summarized as follows:First, cognitive and meta-cognitive strategy instruction based on multiple representation was effective for improving the mathematical word problem solving of student with intellectual disabilities. Second, cognitive and meta-cognitive strategy instruction based on multiple representation was most effective for reducing opertion mistake. Cognitive and meta-cognitive strategy instruction based on multiple representation was effective for reducing simple calculation error of student with opertion mistake. and effective for reducing operation mistake of student with simple calculation error.

본 연구의 목적은 문장제에서 사상 명료화 활동을 통한 문제해결과정을 살펴보고, 문제를 해결할 때 드러나는 사고과정의 특징을 유사성 관점에서 분석함으로써 사상 명료화 과정을 활용한 교수 학습 자료의 개발 및 학생들의 문제해결활동 향상에 기여하는 것이다. 중학교 2학년 남학생 33명을 대상으로 총 3차시의 서술형 검사지를 제작하여 수업을 실시하였고, 이들 33명 중 서로 다른 결과를 보이는 학생 5명을 선정하여 개별 면담을 통해 보다 구체적으로 분석적 사고와 의사 분석적 사고의 관점에서 그 사고 특성을 분석하였다. 연구결과 사상 과정에서 대응되는 성분들을 직접적으로 짝짓기를 하는 사상 명료화 활동이 학생들의 문제해결에 무조건 도움이 되는 것은 아니며, 문제에 따라 또는 문제가 유사하더라도 구조적 변형의 정도에 따라 문제 해결과정에 미치는 영향이 달랐다. 이는 사상 명료화 활동이 유사한 문장제 해결에 있어서 도움을 주지만 이전 문제의 모방을 통해 바람직하지 않은 사고로 정답을 구하는 의사 분석적 사고가 발생할 수 있음을 시사한다.

The aim of this study was to examine how analogical mapping articulation activity played a role in solving process in word problems. We analyzed the problem solving strategies and processes that the participating thirty-three 8th grade students employed when solving the problems through analogical mapping articulation activities, and also the characteristics of the thinking processes from the aspects of similarity. As a result, this study indicates that analogical mapping articulation activity could be helpful when the students solved similar word problems, although some of them gained correct answers through pseudo-analytic thinking. Not to have them use pseudo-analytic thinking, it might be necessary to help them recognize superficial similarity and difference among the problems and construct structural similarity to know the principle of solution associated with the problematic situations.

문장제는 학생들의 사고력 계발, 문제 상황과 수학의 관련성, 학생들의 동기 유발 등과 관련하여 의미로운 학습자료이지만, 학생들에게 많은 어려움을 유발시키기도 한다. 본 연구는 문장제의 다양한 해결 방법에 대한 한 연구로, 문장제 중 농도문제를 해결하는데 도움을 줄 수 있는 지렛대 모델을 개발하여 제시하고, 이 모델을 이용하여 중학교, 고등학교 수준에서 제시되는 다양한 농도문제를 해결하였다.

In this paper we make a new problem solving model using the principle of the lever. Using the model we solved many word problems related with consistency. We suggest new problem solving method using the lever model and describe some characteristics of the method.

비례 추론에 관한 여러 연구에서 학습 지도 개선 방향으로 시각적 표상의 활용이 제안되어 왔다. 그러나 초등학교 교과서의 비와 비율, 비례식과 비례배분 단원에 사용되고 있는 시각적 표상은 질적인 면에서나 양적인 면에서나 매우 제한되어 있다. 이 논문에서는 교과서의 비례식과 비례배분 내용을 시각적 표상에 주목하여 분석하고, 시각적 표상의 적극적인 활용 방안 마련을 위한 기초적 논의를 전개한다. 이중수직선 모델과 이중테이프 모델은 각각 다중 묶음 관점과 변동 부분 관점에서 비례 맥락에 내재된 공변 관계와 불변성을 인식하는 데 유용하게 사용될 수 있다. 이 논문에서는 이를 초등학교 교과서의 비례식 및 비례배분 실생활 문제의 유형별로 이중수직선 모델과 이중테이프 모델이 어떻게 기능할 수 있는지를 논의함으로써 예시하였다. 초등 수학 교과서의 비례식 및 비례배분 실생활 문제의 각 유형은 두 관점(다중 묶음 관점과 변동 부분 관점) 및 두 모델(이중수직선 모델과 이중테이프 모델)과 모두 연결될 수 있다. 이 논문의 분석은 비례식과 비례배분 교재 구성 및 수업에서 시각적 표상을 활용하는 구체적인 방안을 마련하는 데 도움이 될 것이다.

There has been a recurring call for using visual representations in textbooks to improve the teaching and learning of proportional reasoning. However, the quantity as well as quality of visual representations used in textbooks is still very limited. In this article, we analyzed visual representations presented in a Grade 6 textbook from two perspectives of proportional reasoning, multiple-batches perspective and variable-parts perspective, and discussed the potential of the double number line and the double tape diagram to help develop the idea 'things covary while something stays the same', which is critical to reason proportionally. We also classified situations that require proportional reasoning into five categories and provided ways of using the double number line and the double tape diagram for each category.

이 논문에서는 자연어로 구성된 수학 문장제 문제를 자동으로 풀이하기 위한 Transformer 기반의 생성 모델인 KoEPT를 제안한다. 수학 문장제 문제는 일상 상황을 수학적 형식으로 표현한 자연어 문제로, 문장제 문제 풀이 기술은 실생활에 응용 가능성이 많아 국내외에서 다양하게 연구된 바 있다. 한국어의 경우 지금까지의 연구는 문제를 유형으로 분류하여 풀이하는 기법들이 주로 시도되었으나, 이러한 기법은 다양한 수식을 포괄하여 분류 난도가 높은 데이터셋에 적용하기 어렵다는 한계가 있다. 본 논문은 이를 해결하기 위해 우선 현존하는 한국어 수학 문장제 문제 데이터셋인 CC, IL, ALG514의 분류 난도를 측정한 후 5겹 교차 검증 기법을 사용하여 KoEPT의 성능을 평가하였다. 평가에 사용된 한국어 데이터셋들에 대하여, KoEPT는 CC에서는 기존 최고 성능과 대등한 99.1%, IL과 ALG514에서 각각 89.3%, 80.5%로 새로운 최고 성능을 얻었다. 뿐만 아니라 평가 결과 KoEPT는 분류 난도가 높은 데이터셋에 대해 상대적으로 개선된 성능을 보였다.

본 연구의 목적은 분수의 사칙 연산 문장제를 단순한 계산적 절차로 해결하지 않도록 학생들이 분수의 문장제 해결에서 겪는 어려움에는 어떤 것들이 있는지 구체적으로 알아보고 그 원인을 분석하여 분수의 문장제를 효과적으로 지도할 수 있는 방법을 찾아보는 것이다. 연구를 위해 분수 연산을 학습하는 초등학교 5∼6학년 학생들을 대상으로 분수의 사칙 연산 문장제 1, 2차 검사지 평가 후에 반복되는 유형으로 오답을 보이는 학생들을 개별 인터뷰하여 자신의 장애 유형을 인식하도록 하였다. 연구의 결과 첫째, 분수의 문장제에서 보이는 학생들의 장애 유형은 매우 다양하여 문장제 이해와 분수의 연산을 기준으로 크게 5가지로 유형화하였다. 둘째, 학생들이 자신의 문제 풀이 과정을 말로 다시 설명해보는 것은 스스로 자신의 장애를 인식하는데 매우 효과적이었다. 그리고 학생들의 학습 능력에 맞는 수준별 지도를 하여 이를 적절하게 표현하게 할 필요가 있다. 그리고 다인수 학급에서 분수의 사칙 연산 문장제에 대한 학생들의 장애 유형을 치유할 수 있는 효과적인 지도 방법에 대한 후속 연구가 필요하다.

The purpose of this thesis was to study the cases of obstacles from which students face when they should solve the word problems related to the fractions, From the research results, the researchers analyzed the causes of the obstacles and found the methods to effective guide students to solving the problems. For this study, twice tests with solving the problems related to the fractions were used to 5th or 6th grade students who had learned to compute the fractions. The researchers interviewed with students who responded the wrong answers repeatedly for the 1st and 2nd tests and let them know their obstacles when solving the problems related to the fractions. From the study, we obtained the following results. At first, the cases of obstacles that student showed when solving the word problems related to the fractions were diverse. We classified these cases under 5 categories on the basis of word comprehension and calculating the fractions. In the process of calculating the fractions, there were many obstacles to face because they couldn't understand the concepts of fractions and fundamental mathematical knowledge. To remedy this obstacles, it was very efficient that let the students explain the procedure that they used to recognize their errors. According to the levels of learning, the grades of these obstacles were different and immediate effects were diverse. However, many students could not solve the problems with the same obstacles. There were many obstacles that students showed while solving the word problems than calculating fractions. Thus, the fundamental learning of calculating fractions must keep pace with the comprehension of word problems related to the fractions. After analysing the cases of obstacles and the reasons, it is needed to reflect these analyses on the word problems related to the fractions. Students have diverse cases of obstacles, Consequently, it is needed to research about the methods of efficient learning to remedy the obstacles when solving the word problems related to the fractions in the mathematics classroom.

본 연구는 학생들에게 제시되는 문장제의 보조문항이 학생들의 문제해결 전략과 수학적 사고에 미치는 영향을 분석하고 교육적 시사점을 논하기 위하여 수행되었다. 분석결과, 보조문항을 통하여 문제해결 전략을 안내하는 문제는 그렇지 않은 경우에 비해 여러 수준의 학생들에게 효율적인 문제해결 전략을 채택하도록 유도함으로써 상대적으로 균일한 수학적 사고를 발현 시킬 수 있었다. 그리고 중하위권 학생들이 포기하지 않고 문제를 해결하기 위한 실마리를 떠올리는데 도움을 주었다. 다만 보조문항을 통하여 전략을 제공하는 문제는 학생들에게 유추적 사고를 유발시켰는지에 대한 여부가 불분명하였다. 아울러 제공된 문제의 영향으로 스스로 떠올릴 수 있었던 전략을 채택하지 못하는 경우가 발생하였다. 이에 반해 보조문항을 최소화하여 기본적인 권고만을 제공하는 문장제 해결 상황에서 상위권 학생들의 경우, 다양한 전략을 구상해낼 수 있었지만 중하위권 학생들은 쉽게 포기하거나 답을 구하지 못하는 경우가 상대적으로 많았다.

The purpose of this study was to examine the influence of the auxiliary questions of word problems presented to students on their problem solving-strategies and mathematical thinking and to discuss the educational implications of the results. As a result of making an analysis, problems that included auxiliary questions to give information on workable problem-solving strategies made it more possible for students of different levels to do relatively equal mathematical thinking than problems that didn't by inducing them to adopt efficient problem-solving strategies. And they were helpful for the students in the middle and lower tiers to find a clue for problem solving without giving up. But it's unclear whether the problems that provided possible strategies through the auxiliary questions stirred up the analogical thinking of the students. In addition, due to the impact of the problems provided, some students failed to adopt a strategy that they could have come up with on their own. On the contrary, when the students solved word problems that just offered basic recommendation by minimizing auxiliary questions, the upper-tiered students could devise various strategies, but in the case of the students in the middle and lower tiers, those who gave up easily or who couldn't find an answer were relatively larger in number.

본 연구에서는 중학교 2학년 106명의 학생들을 대상으로 대수 문장제 해결에서 나타난 오류의 유형을 조사하고, 학생들의 오류 유형과 Polya의 문제 해결 단계의 관련성에 대하여 알아보았다. 연구 결과 대수 문장제 해결에서 학생들의 오류는 "잘못 해석된 언어"(39.7%), "왜곡된 정리나 정의"(38.2%), "기술적 오류"(11.8%), "검증되지 않은 답"(7.4%), "오용된 자료"(2.9%), "논리적으로 타당하지 않은 추론"(0%)의 6가지 오류로 분류하였다. 대수 문장제 해결에서 나타나는 학생들의 오류가 대수 문장제 해결과 어떤 관련성을 가지고 있는지 조사한 결과 학생들의 특정 오류 유형과 문제 해결 단계 사이에 긴밀한 관련성이 발견되었다. 오용된 자료의 오류를 범하는 학생들은 대부분 계획 실행 단계를 성공적으로 수행하지 못하였고, 잘못 해석된 언어, 왜곡된 정리나 정의의 오류를 범하는 학생들은 문제의 이해, 계획의 작성, 반성 단계를 성공적으로 수행하지 못하였다. 검증되지 않은 답의 오류를 범한 학생들은 계획의 작성과 반성의 단계를 성공적으로 수행하지 못하였으며, 기술적 오류를 범한 학생들은 특히 반성 단계를 성공적으로 수행하지 못하였다.

The purpose of this study was to investigate the relationship between error types and Polya's problem solving process. For doing this, we selected 106 sophomore students in a middle school and gave them algebra word problem test. With this test, we analyzed the students' error types in solving algebra word problems. First, We analyzed students' errors in solving algebra word problems into the following six error types. The result showed that the rate of student's errors in each type is as follows: "misinterpreted language"(39.7%), "distorted theorem or solution"(38.2%), "technical error"(11.8%), "unverified solution"(7.4%), "misused data"(2.9%) and "logically invalid inference"(0%). Therefore, we found that the most of student's errors occur in "misinterpreted language" and "distorted theorem or solution" types. According to the analysis of the relationship between students' error types and Polya's problem-solving process, we found that students who made errors of "misinterpreted language" and "distorted theorem or solution" types had some problems in the stage of "understanding", "planning" and "looking back". Also those who made errors of "unverified solution" type showed some problems in "planing" and "looking back" steps. Finally, errors of "misused data" and "technical error" types were related in "carrying out" and "looking back" steps, respectively.

분수 나눗셈에서는 실세계 상황에서 식을 찾는 과정과 역으로 식에 맞는 상황을 만드는 과정, 나눗셈식을 해결하는 방법과 표준 알고리즘의 정당화 과정 등이 중요하면서도 이해하기 어려운 학습 내용이다. 본 연구에서는 예비교사들의 분수 나눗셈식에 맞는 문장제 만들기와 문장제 해결에 이용한 방법을 분석하였다. 초등 예비교사들은 피제수가 제수보다 작은 분수 나눗셈에서 그 반대인 경우보다 문장제 만들기에 어려움을 가지고 있었고, 문장제 만들기에서도 전형적인 오류를 나타내었다. 문장제 해결에서는 문제 상황에 따라 이용한 방법에 차이가 나타났다. 본 연구를 통해 예비교사 교육과정에서 분수 나눗셈 지도에 관한 지도 방법의 재고와 학년 간 반응 결과의 차이를 고려할 때 예비교사들의 ‘교수와 내용에 관한 지식’의 형성 과정에 관한 분석이 이루어질 필요가 있다.

Fraction division is the content that is important but difficult to learn because it includes the process of finding a numerical expression in the real-world context, the process of making a context that matches a numerical expression, how to solve division, and the justification of standard algorithm. This study analyzes the word problems and problem solving methods about fraction division which elementary pre-service teachers represented. Pre-service teachers have more difficulty in making word problem where the dividend is less than the divisor and they also show typical errors in making the word problems. There were differences in the methods presented according to the contexts of division in problem solving. Through this study, it is necessary to rethink the teaching methods for fraction division instruction in the curriculum for pre-service teachers and analyze the formation process of ‘knowledge for content and teaching’ because of the differences in responses between grades.

이 연구의 목적은 학습장애 또는 학습부진 학생들을 대상으로 한 수학 문장제 문제해결력 중재 효과를 메타분석을 통해 살펴보는데 있다. 분석의 관점은 최근 통합교육, 다양한 중재 전략, 검사도구, 학습장애 판별 준거, 대수 교육의 추세를 반영해서 그 효과를 검증하였다. 자료의 분석을 위해 학습장애 또는 학습부진 학생들에게 수학 문장제 문제해결력 중재를 적용한 집단 대상 연구 16편과 단일 대상 연구 31편을 포함한 총 국내논문 47편을 선정하여 그 결과를 메타분석 하였다. 본 연구의 결과는 학습장애 또는 학습부진 학생들의 수학 문장제 문제해결력 중재의 전체 효과 크기 1.022로 수학 문장제 문제해결력 중재가 매우 크다고 해석될 수 있다. 또한 다양한 중재 전략 중 집단 대상 연구에서는 인지-초인지 전략, 단일 대상 연구에서는 문제풀이 전략이 가장 큰 효과 크기로 나타났다. 덧붙여 검사 도구 중 집단 대상 연구 논문에서는 연구자 개발 검사와 표준화 검사를 함께 사용한 논문, 단일 대상 연구 논문에서는 표준화 검사를 사용한 논문이 가장 큰 효과 크기로 나타났다. 마지막으로 대수 문제해결 접근은 산술 문제해결 접근 보다 큰 효과 크기로 나타났다. 본 연구는 최근 수학교육과 특수교육 분야의 추세를 반영한 효과 검증을 통해 개별연구의 방향을 제시하였다는데 의의가 있다.

The purpose of this study is to investigate the effect of instructional intervention on LD or underachiever students in solving mathematical word problems. From the perspectives reflecting the recent trends on LD education, the inclusive education, various general intervention strategies, apparatus developers, and strategies on mathematical word problems were selected and applied as the aspects of this meta analysis. 47 Korean studies, 16 group studies and 31 single-subject studies were analysed and the effect sizes in each aspect were calculated in this meta analysis. The results of this study were as follows: the overall effect size for LD or Underachiever students' mathematical word problem solving ability was 1.022, which is very high; Among various intervention strategies, the cognitive-metacognitive strategy showed the greatest effect size with groups, and problem-solving strategies showed the greatest effect size with the single-subject research; According to the test, using apparatuses by researchers along with the standardized tests showed the greatest effect size within group studies. but the standardized test showed greatest effect size within single-subject research; and algebra problem-solving approach showed higher effect size than arithmetic approach.