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다차원 대용량 데이터에 대한 POI탐색은 데이터 분석, 데이터 마이닝 분야에서 중요한 주제이다. 좋은 POI 탐색 방법은 데이터 차 원의 수와 데이터 크기에 무관하게 안정적인 성능을 제공해야 한다. 본 논문에서는 실시간 데이터를 대상으로 분할기반의 POI 탐색 방법을 제안한다. 기존 POI 탐색 방법은 데이터 차원이 증가함에 따라 수행시간 및 메모리 공간 사용량이 급격히 증가한다. 본 논 문에서는 데이터 공간에서 1차원 POI를 기반으로 다차원 데이터의 POI를 찾기 위한 POI 리스트를 제안한다. 식별된 다차원 POI의 정확도는 덜 정확할 수 있지만 차원 수에 대해 기존 방법들보다 효율적으로 수행할 수 있다. 1차원 탐색 방식은 다차원 탐색 방식 보다 메모리 사용량과 수행성능이 뛰어나기 때문이다. 실험을 통해 제안하는 방법이 메모리 자원을 보다 효과적으로 활용하는 것을 확인할 수 있다.

POI search for multidimensional large data is an important topic in data analysis and data mining fields. A good POI search method should provide stable performance regardless of the number of data dimensions and data size. In this paper, we propose a segmentation-based POI search method for real-time data. The existing POI search method rapidly increases execution time and memory space usage as the data dimension increases. We propose a POI list to find the POI of multidimensional data based on the one-dimensional POI in the data space. The accuracy of the identified multidimensional POI may be less accurate, but it can perform more efficiently than existing methods for the number of dimensions. This is because the one-dimensional search method has better memory usage and performance than the multi-dimensional search method. Through experiments, it can be confirmed that the proposed method utilizes memory resources more effectively.

피처선택, 혹은 변수 선택은 피처의 수가 매우 많은 고차원 데이터에서 주어진 주제와 연관성이 높은 피처 를 선별하는 과정으로서, 데이터의 차원수를 낮추어 군집분석이나 분류 분석 등을 용이하게 하는데 중요한 기법이다. 많은 수의 피처들 중에서 일부의 피처를 선별하기 위해서는 피처들을 평가하기 위한 도구가 필요하다. 현재까지 제 안된 도구들은 대부분 확률이론이나 정보이론에 기초하여 만들어졌기 때문에 하나의 피처, 즉 1차원 데이터만을 평 가할 수 있다. 그러나 피처들 간에는 상호작용이 있기 때문에 하나의 피처를 평가하기 보다는 여러 피처들의 집합, 즉 다차원 데이터를 평가할 수 있어야 효과적인 피처 선택이 가능하다. 본 연구에서는 확장된 거리 함수를 이용하여 1차원 데이터 평가용으로 제안된 FSDD 평가 함수를 다차원 데이터에 대한 평가가 가능하도록 개선하는 방법에 대 해 제안하였다. 본 연구에서 제안한 접근법은 다른 1차원 데이터 평가함수에도 적용이 될 수 있을 것으로 기대된다.

Feature selection or variable selection is a data mining scheme for selecting highly relevant features with target concept from high dimensional data. It decreases dimensionality of data, and makes it easy to analyze clusters or classification. A feature selection scheme requires an evaluation function. Most of current evaluation functions are based on statistics or information theory, and they can evaluate only for single feature (one-dimensional data). However, features have interactions between them, and require evaluation function for multi-dimensional data for efficient feature selection. In this study, we propose modification of FSDD evaluation function for utilizing evaluation of multiple features using extended distance function. Original FSDD is just possible for single feature evaluation. Proposed approach may be expected to be applied on other single feature evaluation method.

재난 재해 발생 시, 정부의 위기 대응방식에 대한 사후 평가는 향후 유사한 위기 상황이 발생할 경우를 대비하고 국가의 장기적인 위기관리의 초석이 되는 필수적인 단계이다. 본 논문에서는 국내에서 발생한 구제역에 관하여 정부에서 어떠한 대응 전략을 펼쳤는지를 언론에 보도된 기사 내용을 통해 분석한 연구로써, 먼저 온라인 뉴스 기사로부터 구제역에 관한 키워드들을 추출하여 데이터 큐브를 구성한 후, OLAP 연산과 연관규칙 분석을 수행함으로써 시간 축에 따른 정부의 위기상황 대응행동 및 그에 따른 사회적 파급 효과들을 분석한다. 구제역이 가장 심각했던 2010년 11월부터 2011년 12월까지 국내에서 발생한 구제역에 관한 정부의 위기 상황 대응 방법을 사례분석을 통해 분석하였다.

The ex-post evaluation of governmental crisis management is an important issues since it is necessary to prepare for the future disasters and becomes the cornerstone of our success as well. In this paper, we propose a data cube model with data mining techniques for the analysis of governmental crisis management strategies and ripple effects of foot-and-mouth(FMD) disease using the online news articles. Based on the construction of the data cube model, a multidimensional FMD analysis is performed using on line analytical processing operations (OLAP) to assess the temporal perspectives of the spread of the disease with varying levels of abstraction. Furthermore, the proposed analysis model provides useful information that generates the causal relationship between crisis response actions and its social ripple effects of FMD outbreaks by applying association rule mining. We confirmed the feasibility and applicability of the proposed FMD analysis model by implementing and applying an analysis system to FMD outbreaks from July 2010 to December 2011 in South Korea.

OLAP(On-Line Analytical Processing)은 데이터 큐브 또는 큐브라고 불리는 다차원 데이터 구조를 이용하여 복잡한 질의를 고속으로 처리하는 데이터 분석 기술이다. 전통적 방식의 OLAP은 디스크 기반 DBMS 환경으로 데 이터를 선 저장한 후 사용자의 질의에 응답하는 일회성 질의(One-Time Query) 수행 방식이었다. 하지만 지속적 으로 방대한 양의 데이터가 생성되는 데이터 스트림 환경에서 기존 처리 방식은 질의를 반복적으로 수행해야 하기 때문에 우수한 성능을 기대하기 어려우며, 동시적으로 다차원 계층 데이터에 질의를 수행하는데 한계가 존재한다. 본 연구에서는 이러한 문제점을 극복하기 위해 연속질의 기반 다차원 계층 큐브 처리 기법을 제안한다. 본 연구 모 델은 계층 데이터를 처리하는 하이퍼 데이터 큐브를 구축한다. 각 큐보이드들은 이전 집계된 데이터 큐보이드 중 가 장 작은 계산 비용 큐보이드를 집계하는 최소 비용 트리를 형성하여 성능적 향상을 기대한다. 본 연구 모델의 성능 을 검증하기 위해서 다양한 실험을 진행하였다.

OLAP(On-Line Analytical Processing) is one of the data analysis techniques that processes a complex query in a fast time using multi-dimensional data structure called the‘data cube’ or simply‘cube’. However, conventional OLAP system is not applicable to data streams because of these reasons: low performance; limitation of execution of a number of queries simultaneously. This paper proposes continuous query based evaluation of multi-dimensional hierarchical data cube. Minimal cost cube tree that computing a cuboid from the smallest cost, previously computed cuboid is constructed. Finally, the proposed method is verified by a series of experiments.

웹의 발달로 텍스트 등으로 이루어진 비정형 데이터의 활용에 대한 관심이 높아지고 있다. 웹 상에서 사용자들이 작성한 대부분의 비정형 데이터는 사용자의 주관이 담겨져 있어 이를 적절히 분석 할 경우 사용자의 취향이나 주관적인 관점 등의 아주 유용한 정보를 얻을 수 있다. 이 논문에서는 이 러한 비정형 텍스트 문서를 다양한 차원으로 분석하기 하는데 OLAP(온라인 분석 처리)의 다차원 데 이터 큐브 기술을 활용한다. 다차원 데이터 큐브는 간단한 문자나 숫자 형태의 정형적인 데이터에 대 해 다차원 분석하는데 널리 사용되었지만, 텍스트 문장으로 이루어진 비정형 데이터에 대해서는 활용 되지 않았다. 이러한 텍스트 데이터베이스에 포함된 정보를 다차원으로 분석하기 위한 방법으로 텍스 트 큐브 모델이 최근에 제안되었는데, 이 텍스트 큐브는 정보 검색에서 널리 사용하는 용어 빈도수 (Term Frequency)와 역 인덱스(Inverted Index)를 측정값으로 이용하여 텍스트 데이터베이스에 대 한 다차원 분석을 지원한다. 이 논문에서는 이러한 다차원 텍스트 큐브를 활용하여 실제 서비스되고 있는 호텔 정보 공유 사이트의 리뷰 데이터 분석에 활용하였다. 이를 위해 호텔 리뷰 데이터에 대한 다차원 텍스트 큐브를 생성하였으며, 이를 이용하여 다차원 키워드 검색 기능을 제공하여 사용자 중 심의 의미있는 정보 검색이 가능한 시스템을 설계 및 구현하였다. 또한, 본 논문에서 제안하는 시스템 에 대해 다양한 실험을 수행하였으며 이를 통해 제안된 시스템의 실효성을 검증하였다.

As the advance of WWW, unstructured data including texts are taking users' interests more and more. These unstructured data created by WWW users represent users' subjective opinions thus we can get very useful information such as users' personal tastes or perspectives from them if we analyze appropriately. In this paper, we provide various analysis efficiently for unstructured text documents by taking advantage of OLAP (On-Line Analytical Processing) multidimen-sional cube technology. OLAP cubes have been widely used for the multidimensional analysis for structured data such as simple alphabetic and numberic data but they didn't have used for unstructured data consisting of long texts. In order to provide multidimensional analysis for unstructured text data, however, Text Cube model has been proposed precently. It incorporates term frequency and inverted index as measurements to search and analyze text databases which play key roles in information retrieval. The primary goal of this paper is to apply this text cube model to a real data set from in an Internet site sharing hotel information and to provide multidimensional analysis for users' reviews on hotels written in texts. To achieve this goal, we first build text cubes for the hotel review data. By using the text cubes, we design and implement the system which provides multidimensional keyword search features to search and to analyze review texts on various dimensions. This system will be able to help users to get valuable guest-subjective summary information easily. Furthermore, this paper evaluats the proposed systems through various experiments and it reveals the effectiveness of the system.

효과적인 데이터 분석 및 활용을 위해서는 빅 데이터를 내부 데이터와 유연하게 연계할 수 있는 방안이 필요하다. 빅 데이터 분석 정보를 내부 정보시스템과 연계시키기 위한 방안으로서 본 연구는 다차원 이벤트 온톨리지를 제시하였다. 이를 위해서 먼저 빅 데이터 분석 정보를 이벤트 모형을 사용하여 온톨리지로 표현하고, 다차원 데이터베이스 또한 OWL-DL 온톨리지로 변환하여 표현하였다. 다차원 이벤트 온톨리지에서 빅 데이터 분석정보들은 차원 계층구조를 통하여 다차원 데이터베이스에 저장된 모든 개체들에게 공유되는데, 본 연구에서는 이를 이벤트의 하향공유, 상향 공유 및 복합 이벤트 공유로 구분한다. 이들 정보공유 유형별로 빅 데이터 분석 정보의 공유 및 활용 방안들을 제시하였으며, Protege를 사용하여 시험적으로 구현하였다. 본 연구는 외부의 빅 데이터 분석 정보를 내부의 다차원 데이터베이스와 연계하는 방안 을 실험적으로 제시하였다는 점에서 의의를 가진다고 할 수 있다.

As external data have become important corporate information resources, there are growing needs to combine them with internal data. This paper proposes an ontology-based scheme to combine external data with multi-dimensional databases, which shall be called multi-dimensional event ontology. In the ontology, external data are represented as events. Event characteristics such as actors, places, times, targets are linked to dimensions of a multi-dimensional database. By mapping event characteristics to database dimensions, external event data are shared via multi-dimensional hierarchies. This paper proposes rules to synchronize information sharing in multi-dimensional event ontology such as upward event information sharing, downward event information sharing and complex event information sharing. These rules are implemented using Protege. This study has a value in suggesting Big Data information sharing processes using an event database framework.

본 논문에서는 시내버스의 운행관련 빅데이터를 활용하여 다차원의 대중교통 네트워크를 구축 한 후, 네트워크 중심성 분석을 통해 대중교통의 구조적 특징을 파악하고, 이를 바탕으로 대중교통 취 약지를 도출한다. 네트워크 중심성 분석 방법으로 연결 중심성, 매개 중심성, 고유벡터 중심성을 활용 한다. 특히, 단순 네트워크보다 다차원 분석에 적합한 네트워크 정보를 구축하며, 확장방안도 제시한 다. 네트워크 분석 결과는 시내버스 노선 개편, 대중교통 취약지 확인 등 교통관련 정책을 과학적으로 수립하는데 기초연구 자료로 활용될 수 있을 것이다.

We construct a multi-dimensional mass-transit network from the data generated by daily city-bus operation, understand the structure and characteristics of mass transit through the centrality analysis, and find the weak area of mass transit in the city. Degree centrality, betweenness centrality, and eigenvector centrality are used for the analysis. We propose an extension of the idea for further multidimensional analysis for the transit data. The result of this study can contribute as basic research data for transportation plan in the city government.

최근 ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler) 등 첨단장비를 활용한 유량 및 하상측정, 각종 하천기본계획 수립 시 확보되는 횡단측정 자료, 식생 및 서식처 등 하천환경과 생태자료, 드론 등을 활용한 영상자료 등 방대한 하천 정보가 확보되고 있으며, 다기능보 등 다양한 하천구조물 및 친수구역이 증가하는 등 이전과 비교하여 괄목할만한 수준으로 정보의 양이 증가하고 있다. 이에 따라 다양한 하천정보를 체계적으로 저장, 관리, 공유하기 위하여 표준화된 데이터 모델의 수립이 필요하다. 하천 정보의 경우 하천 시설물, 하천 단면측량 자료, 하천 시계열 측정 자료 등이 특정 하천을 중심으로 관리되는 반면, 기존 데이터 모델 연구에서는 특정 주제도에 기반하여 하천 정보가 레이어 형식으로 제공되어 상호 연계되지 않아 하천 정보의 효율적 관리측면에서 적합하지 않았다. 또한 신규 정보를 추가 시 기존 데이터 모델의 과다한 수정이 필요하고, 기존의 데이터 모델의 경우 표준화되지 않아 활용성이 매우 낮고, 유역중심으로 구성되어 특정 조건에 해당되는 하천 정보 검색이 어려운 단점이 존재하였다. 본 연구에서는 기존의 주제도 및 레이어 형식으로 구성되어 있던 데이터 모델 형식에서 벗어나 하천흐름선을 기준으로 데이터모델을 구축하는 방안을 제시하였으며, 하천흐름선과 하천 시설물, 단면 측량 자료, 계측 자료를 순차적으로 수용하고, 최근 신규로 생성되고 있는 다차원 하천 정보의 추가 시 기존 데이터 모델의 형식을 수정하지 않고 유연하게 대응할 수 있는 관계형 데이터 모델을 구상하였다. 또한, 하천과 유역의 논리적 저장방안 고려하여 한 개의 하천을 다수의 세그먼트로 구분하여 코드(Reach Code)를 부여하는 방안을 제시하였으며, 구상한 데이터모델을 통하여 국가하천과 지방하천 등 유역의 다양성을 포함하는 한강권역의 섬강유역을 시범하천으로 구축하였다.

A vast amount of riverine spatial dataset have recently become available, which include hydrodynamic and morphological survey data by advanced instrumentations such as ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler), transect measurements obtained through building various river basic plans, riverine environmental and ecological data, optical images using UAVs, river facilities like multi-purposed weir and hydrophilic sectors. In this regard, a standardized data model has been subsequently required in order to efficiently store, manage, and share riverine spatial dataset. Given that riverine spatial dataset such as river facility, transect measurement, time-varying observed data should be synthetically managed along specified river network, conventional data model showed a tendency to maintain them individually in a form of separate layer corresponding to each theme, which can miss their spatial relationship, thereby resulting in inefficiency to derive synthetic information. Moreover, the data model had to be significantly modified to ingest newly produced data and hampered efficient searches for specific conditions. To avoid such drawbacks for layer-based data model, this research proposed a relational data model in conjunction with river network which could be a backbone to relate additional spatial dataset such as flowline, river facility, transect measurement and surveyed dataset. The new data model contains flexibility to minimize changes of its structure when it deals with any multi-dimensional river data, and assigned reach code for multiple river segments delineated from a river. To realize the newly developed data model, Seom river was applied, where geographic informations related with national and local rivers are available.

최근 공간 데이터와 같은 2차원 데이터를 위한 Semantic Web에 대한 연구가 활발하게 진행되고 있다. 2차원 Semantic Web은 기존의 Geospatial Web과 Semantic Web이 접목되어 다양한 지리 공간 정보와 일반 웹 상의 방대한 비공간 정보를 효율적으로 연계 및 통합하여 제공할 수 있는 지능적인 지리정보 웹 서비스 기술이다. 하지만 다차원 데이터 처리를 위한 연구는 전체적으로 부족한 편이며, 관련 표준 역시 제정되어 있지 않다. 따라서 본 논문에서는 그동안 진행되었던 Ontology 처리 기술과 관련된 다양한 기반 이론 및 기술들을 적용하여 다차원 데이터 처리가 가능한 온톨로지, 질의, 추론에 대한 내용을 제안하였다. 또한 각각 제안한 내용을 다차원 질의가 필요한 가상 시나리오에 적용해보았다.

Recently, it has been actively Semantic Web studies for 2-dimensional data of the spatial data. 2 -dimensional Semantic Web, are fused existing Geospatial Web and the Semantic Web, and integrate with the efficient cooperation of the vast non-spatial information on a variety of geospatial information and general Web, it is possible to provide it is a Web services technology of intelligent geographic information. However, in the research for multi-dimensional data processing, and in those who are missing overall, relevant standards also not been enacted. Therefore, in this paper, by applying a variety of base of the theory and technology related to this to take place the Ontology processing technology, multi-dimensional data processing is possible ontology, question, and suggested the contents of the reasoning. Also, we tried to apply what you have proposed respectively to the multi-dimensional query virtual scenario necessary

Similarity search is one of the most studied research fields in data mining. Given a query data point Q, how to find its closest neighbors efficiently and effectively has always been a challenging research topic. In this paper, we discuss continuous research on data analysis based on our previous work on similarity search problems, and present an approach to improving the scalability of the PanKNN algorithm [13]. This proposed approach can assist to improve the performance of existing data analysis technologies, such as data mining approaches in Bioinformatics.

Cluster and outlier detection has always been one of data mining research interests. Numerous approaches have been designed to find clusters and detect outliers in various types of data sets. In this paper, we present our research on analyzing data sets with constant changes. We design approaches to keep track of status of clusters, the movement of data points, and the updated group of outliers. Different from the traditional approaches which are focused on two-dimensional or low-dimensional data spaces, we aim to analyze data sets in multi-dimensional data spaces. We also propose to adjust the clusters and outliers simultaneously, since they are two concepts that are closely related.

Finding nearest neighbors in large multi-dimensional data has always been one of the research interests in data mining field. In this paper, we present our continuous research on similarity search problems. Previously we have worked on exploring the meaning of K nearest neighbors from a new perspective in PanKNN [20]. It redefines the distances between data points and a given query point Q, efficiently and effectively selecting data points which are closest to Q. It can be applied in various data mining fields. A large amount of real data sets have irrelevant or obstacle information which greatly affects the effectiveness and efficiency of finding nearest neighbors for a given query data point. In this paper, we present our approach to solving the similarity search problem in the presence of obstacles. We apply the concept of obstacle points and process the similarity search problems in a different way. This approach can assist to improve the performance of existing data analysis approaches.

In recent years, clustering data streams has been actively proposed in the field of data mining. In real-life domains, clustering methods for data streams should effectively monitor the continuous change of a data stream with respect to all the dimensions of the data stream. In this paper, a clustering method with frequency prediction of data elements is proposed. The incoming statistics of data elements in the monitoring range are maintained. For the range of elements with high density, the range is partitioned to detect the detailed boundary of clusters. To identifying the recent change of a data stream quickly, the support of elements is carefully monitored and predicted to determine partitioned ranges to become clusters. Considering the change of the data stream, a threshold is adaptively controlled by a prediction mechanism. By predicting the change of supports, the on-going change of a data stream can be reflected in real-time. The proposed method is comparatively analyzed by a series of experiments to identify its various characteristics.

Big Data is becoming more and more significant these years since our daily life is facing huge number of data as the millions of electronic devices. Big Data is not only with the huge volume or size, but also with the high complexity. This paper presents a multi-dimensional matrix model for analyzing the large text datasets based on the attributes, which come from the key words from the texts. These key words form an N dimensional space. Thus, the individual information could be presented by an M×N matrix. The multi-dimensional matrix approach has been compared with GA and PSO algorithm so as to test the efficiency and effectiveness of different approaches on analyzing the text datasets. From the experiments, it is observed that the proposed approach outperforms GA and PSO in sufficiency and computational cost. Some key findings are: For high dimensional Big Text Data, at the beginning, PSO has the best sufficiency from 0 to 10. After that, from 10 to 1000, the prosed multi-dimensional matrix approach significantly outperforms GA and PSO. For Connect-4 data samples, the time cost of proposed approach is only 352153.6 unit of time, while GA takes 613601.4 which is more of about half the time cost and PSO takes 469464.1.

최근 GeoSensor 활용이 증가함에 따라 공간 센서 데이터와 같은 2차원 데이타를 효율적으로 처리하기 위한 질의 처리 시스템이 활발히 연구되고 있다. 하지만 기존 질의 처리 시스템들은 시공간 센서 데이터와 같은 다차원 데 이타를 처리하기 위한 데이타 타입과 연산자를 지원하지 않기 때문에 이와 같은 다차원 데이터를 처리하기에 미흡하다. 따라서, 본 논문은 이러한 센서 네트워크에서 다차원 데이타를 효율적으로 처리하기 위하여 질의 처리 시스템을 개발 하였다. 마지막으로 본 논문은 시나리오를 통해 본 시스템의 효용성을 검증하고, 수행시간 및 메모리 사용량 등의 성능 평가를 통해 기존 시스템들보다 성능이 우수함을 입증하였다.

As technologies related to sensor network are currently emerging and the use of GeoSensor is increasing along with the development of IoT technology, spatial query processing systems to efficiently process spatial sensor data are being actively studied. However, existing spatial query processing systems do not support a spatial-temporal data type and a spatial-temporal operator for processing spatial-temporal sensor data. Therefore, they are inadequate for processing spatial-temporal sensor data like GeoSensor. Accordingly, this paper developed a spatial-temporal query processing system, for efficient spatial-temporal query processing of spatial-temporal sensor data in a sensor network. Lastly, this paper verified the utility of System through a scenario, and proved that this system’s performance is better than existing systems through performance assessment of performance time and memory usage.

One of the characteristics of both on-line analytical processing(OLAP) applications and decision support systems is to provide aggregated source data. The purpose of this study is to discuss on the aggregation of multi-dimensional data. In this paper, we (1) examine the SQL aggregate functions and the GROUP BY operator, (2) introduce the Data Cube and MDX, (3) present an example for the practical usage of the Data Cube and MDX using sample data.

Recently, Mc(Multi-code) modulation/demodulation(modem) technique has been explored for high speed data transmission in wireless environment. The conventional Mc modem generates some side effects such as allocating Walsh codes, which motivates to propose a novel Mc modem method with sub-code. Our proposed system should expanded the size of sub-code to provide high-rate data transmission, which also affect adversely to the performance of the system with high PAPR(Peak to Average Power Ratio). Thus, in this paper, we propose a novel pre-coded Multi-Dimensional HCOC(High Capacity Orthogonal Code) Mc modem technique to reduce the high PAPR, which enables the performance improvement. This proposed system can be easily designed by concatenating HCOC Mc modem with the generic Mc modem. The pre-coding technique that is used in this paper is CAC(Constant Amplitude Coding), that helps the system maintain the constant transmission power and reduce the maximum transmission power.

본 논문에서는 고차원 영역의 데이터 집합을 저차원 영역으로 표현하는 방법에 대해서 제안한다. 특별히 고차원 영역을 2 차원 영역으로 실험하였다. 제안한 방법은 사람이 데이터 객체 사이의 거리나 관계를 직관적으로 인지할 수 있도록 하는 방법이다. 데이터 객체 사이의 거리나 관계를 계산하기 위하여 Kullback-Leibler divergence 를 사용하였다. 이 방법은 확률 분포를 갖는 벡터들 사이의 거리를 계산하여 사용한다. Kullback-Leibler divergence 를 사용하여 계산된 거리 값들은 저차원 영역에서 객체들의 좌표를 계산하기 위하여 사용된다. 좌표계산을 위해서 Simulated Annealing 란 최적화 기법을 사용하였다. 실험 결과를 통해 다차원 데이터를 2 차원 영역으로 표현한 것이 충분히 직관적임을 보였다.