Earticle

알고리즘을 지도하는 전통적인 방법은 우선 ‘표준 알고리즘’을 완성된 형태로 제시하고 이어서 간단한 사례를 통하여 이해한 다음, 보다 일반적인 문제에 적용함으로써 표준 알고리즘을 연습하는 형태이다. 그러나 이 방법은 표준 알고리즘에 지나치게 집중되어 있다는 문제점과 함께, 학생 스스로 문제에 적합한 알고리즘을 선택하거나 알고리즘 자체를 개발하는 경험을 제공하지 못한다는 제한점을 갖고 있다. 이 논문에서는 자연수 곱셈 알고리즘의 다양성을 활용하여 학생 스스로 알고리즘을 개발하고 발명할 수 있도록 지도하는 방안을 상세하게 구안하였고, 그에 따른 교수실험을 통하여 초등학교 3학년 학생의 곱셈 알고리즘에 대한 이해 과정을 분석하였다. 그 결과는 첫째, 실험적인 지도안으로 학습한 실험반은 자리값의 원리와 분배법칙의 이해에 있어서 비교반보다 높은 성취를 보였으나, 계산 능력에 있어서는 그렇지 못했다. 둘째, 비교반은 물론 실험반에서도 표준 알고리즘의 선호도가 가장 높았으며, 실험반에서는 표준 알고리즘 다음으로 격자곱셈의 선호도가 높은 것으로 나타났다. 격자 곱셈을 교육 소재로 활용하는 것을 적극 고려할 필요가 있다. 셋째, 비례표는 그것이 가지는 이론적인 장점에도 불구하고 우리나라 초등학교 3학년 학생이 배우기에는 다소 무리가 따르는 것으로 나타났다.

The algorithm is a chain of mechanical procedures, capable of solving a problem. In modern mathematics educations, the teaching algorithm is performing an important role, even though contracted than in the past. The conspicuous characteristic of current elementary mathematics textbook's manner of manipulating multiplication algorithm is exceeding converge to 'standard algorithm.' But there are many algorithm other than standard algorithm in calculating multiplication, and this diversity is important with respect to didactical dimension. In this thesis, we have reconstructed the experimental learning and teaching plan of multiplication algorithm unit by making the best use of diversity of multiplication algorithm. It's core contents are as follows. Firstly, It handled various modified algorithms in addition to standard algorithm. Secondly, It did not order children to use standard algorithm exclusively, but encouraged children to select algorithm according to his interest. As stated above, we have performed teaching experiment which is ruled by new lesson design and analysed the effects of teaching experiment. Through this study, we obtained the following results and suggestions. Firstly, the experimental learning and teaching plan was effective on understanding of the place-value principle and the distributive law. The experimental group which was learned through various modified algorithm in addition to standard algorithm displayed higher degree of understanding than the control group. Secondly, as for computational ability, the experimental group did not show better achievement than the control group. It's cause is, in my guess, that we taught the children the various modified algorithm and allowed the children to select a algorithm by preference. The experimental group was more interested in diversity of algorithm and it's application itself than correct computation. Thirdly, the lattice method was not adopted in the majority of present mathematics school textbooks, but ranked high in the children's preference. I suggest that the mathematics school textbooks which will be developed henceforth should accept the lattice method.

한국의 초등수학 교과서는 자연수의 곱셈, 두 자리 수의 곱셈, 진분수의 곱셈, 대분 수의 곱셈을 지도하는 지점에서 넓이모델을 채택하고 있다. 넓이는 수와는 구별되 는 다른 수학 영역이기 때문에, 수의 연산과 관련하여 넓이모델을 사용하는 일은 넓이 개념의 학습계열과 보조를 맞추어야만 한다. 이 논문에서 우리는, 이러한 여 러 요소에 대한 통합적 관점에서, 한국의 교과서에서의 넓이모델의 여러 사용 양상 을 비판적으로 검토하였다. 첫째, 넓이모델은 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 연속 적으로 이어주는 효과적인 통합적 모델이다. 둘째, 한국의 교과서는 넓이모델을 곱 셈의 표준알고리즘을 증명하는 기반으로 사용한다. 그러나 지나치게 급격한 형식화 과정을 통하여 표준알고리즘에 도달하는 경향이 있다. 셋째, 한국의 교과서는 넓이 모델을 일관적으로 사용하지 못하고 있다. 진분수 곱셈의 설명에서 변형된 넓이 모 델이 사용되고 있다. 측정단위가 제거되었고, 작용소 개념이 추가되었다. 넷째, 일 반화된 넓이모델의 사용이 요청된다. 넓이모델은 ‘넓이’라는 속성으로부터 벗어 나서 여타의 측정량을 나타내는 것으로 일반화될 수 있다. 프로이덴탈(Freudenthal) 은 초등수학교육에서 이 일반화의 가치를 강조하였다.

Elementary mathematics textbooks in Korea adopt the area model for teaching multiplication of natural numbers, multiplication of two-digit numbers, multiplication of proper fractions, and multiplication of mixed numbers. Since area concept is another mathematical domain distinct from number concept, the use of area models in relation to numerical operations must keep pace with the learning sequence of area concept. In this paper, we critically reviewed various aspects of the use of the area model in Korean textbooks from an integrated perspective of these various factors. First, the area model is an effective integrated model that continuously connects multiplication of natural numbers and multiplication of fractions. Second, Korean textbooks use the area model as a basis for proving the standard algorithm of multiplication. However, there is a tendency to arrive at a standard algorithm through an excessively abrupt formalization process. Third, Korean textbooks do not consistently use the area model. A modified area model is used in the description of multiplication of proper fractions. The unit of measure has been removed and the concept of an operator has been added. Fourth, the use of a generalized area model is requested. The area model, beyond the ‘area magnitude’, can be generalized to represent other magnitudes. Freudenthal emphasized the value of this generalization in elementary mathematics education.

현재 중학교에서는 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙을 문자변수를 사용하여 일반화의 맥락에서 정의하여 도입한다. 그런데 분배법칙에 대한 학생들의 이해도는 그리 높지 않다. 일반화의 맥락에서 도입되는 분배법칙을 의미 있게 학습하려면 특수한 맥락에서 분배법칙의 풍부한 이해가 선행되어야 하므로, 본 연구는 한국과 일본의 초등학교 교과서에서 다루어지는 분배법칙 내용의 비교 분석을 통해 교육적 시사점을 도출하고자 한다.

In 7th grade textbooks, the distributive property is generalized as in algebraic forms, and it seems that the students have not so good grip on this property. To get a good stock of knowledge on that generalized property, full understanding of it in concrete context should take precedence. This study would aim to propose some educational implications for better understanding of that property, through analysing the contents of it comparatively in Korean and Japanese elementary textbooks.

본 연구에서는 게임 동영상의 고화질 변환이 가능한 초해상화 알고리즘을 제시한다. 본 알고리즘은 오픈 소 스 형태의 GPU에서 제공하는 MMU에서 구현될 수 있도록 희소 행렬 연산을 이용해서 설게된다. 이를 위해 서 일반적인 영상 해상도 향상 방법인 이중 일차 및 이중 삼차 보간 법과 심층 학습에 기반한 초해상화 모 델에서 사용하는 컨볼루션 연산을 희소 행렬 연산으로 변환하는 방법을 제시한다. 이는 각 픽셀에 적용되는 필터를 행렬 곱 형태로 표현하고, 이 행렬을 희소 행렬로 표현함으로써 수행되는데, 이러한 과정을 통해서 연산의 효율성을 추구함으로써 안정적인 초해상화 알고리즘을 제공한다. 이러한 희소행렬 연산 형태로 표현 되는 초해상화 알고리즘은 기존의 라이브러리를 이용해서 구현된 초해상화 알고리즘과 유사한 PSNR과 FPS 를 보인다.

We present a super resolution algorithm that increases the resolution of game scenes. Since game scenes are required to be rendered in real time, rendering high-resolutional game scenes in real time is very challenging. Therefore, increasing the resolution of game scenes rendered in low resolution is very promising. In order to present a fast super resolution algorithm, we implement our super resolution algorithm using a sparse matrix operation that can be accelerated through a matrix multiplication unit (MMU). Since many open source GPUs present an acceleration environment, our MMU-based approach can be implemented in many open source GPUs. As a baseline of our approach, we present a sparse matrix multiplication formula of bilinear interpolation and bicubic interpolation. We furthermore present a sparse matrix multiplication form of a convolution operation, which is necessary for deep learning-based super resolution algorithms. The filters employed in the convolution operations are converted to a series of sparse matrices, which are multiplied to complete the deep learning-based super resolution model. We demonstrate the performance of our approach by measuring peak signal-to-noise ratio (PSNR) and mean opinion score (MOS) of the result images generated by our approach and by the existing methods.

This paper describes some field multiplication algorithm over GF(2m) on 8-bit processor. Through performance comparisons among algorithm, we show that our proposal is faster than existing algorithms. The proposed algorithm save 26.38% of running time compared with naive comb multiplication algorithm which is a kind of lookup-table (LUT) based algorithm. With the proposed algorithm, a scalar multiplication over GF(2163) can be computed within 1.04 secs on 8-bit MICAz sensor mote.

표준화된 자연수 곱셈 알고리즘은 곱셈의 계산 과정을 간략화한 것으로, 올림이 있는 자연수 곱셈의 경우 올림하는 수를 피승수의 위에 작게 표기하고 있다. 하지만 이러한 올림하는 수 표기 방식은 승수가 한 자리 수인 경우에만 교과서에 제시되고 있어, 승수가 두 자리 수인 경우에는 교사와 학생들이 자기 나름의 표기 방식을 선택하도록 요구하고 있다. 이에 본 연구는 현행 교과서에서의 올림이 있는 자연수 곱셈의 알고리즘 접근 방법을 살펴보고, 3, 4, 5, 6학년 학생들의 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘에서 나타나는 올림하는 수 표기 방식을 분석하였다. 또한, 핀란드 수학 교과서와 선행 연구에 나타난 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘 지도 내용을 분석함으로써 자연수 곱셈 알고리즘의 제시 방법에 대한 시사점을 추출하였다. 그 결과로 다음과 같이 제안한다. 첫째, 교사용 지도서나 교과서에 올림하는 수를 표기하는 방법에 대한 예시가 필요하다. 둘째, 올림하는 수를 체계적으로 표기하는 것의 좋음을 학생이 인식하도록 지도되어야 한다. 셋째, 대안적인 자연수 곱셈 알고리즘과 올림하는 수 표기 방법에 대한 교사의 이해가 요구된다.

The standardized algorithm of natural number multiplication simplify the procedure of arithmetic. In the case of multiplication algorithm with regrouping, we write small the carrying number on the multiplicand. But, teachers and students have to make their own way about the case of two digits multipliers, because Korean elementary mathematics textbooks just deal with the case of the one digit multipliers. In this study, we investigated Korean current elementary mathematics textbooks related to multiplication algorithm with regrouping, and analyzed the result of research on the real condition about marking the carrying number. Besides, we reviewed the guidance contents of algorithm of natural number multiplication in Finland's math textbook and literature. By conclusions, we suggest several implications as followed; First, we need some examples of the way to mark the carrying number in teacher's guidance books and textbooks. Second, teachers try for students to feel the good points of the systematic ways to mark the carrying number. Third, teachers understand algorithm of natural number multiplication and the alternative ways about marking the carrying number.

Elliptic Curve Cryptosystem (ECC) is a well-known cryptosystem for securing the communications. The most important operation in ECC is scalar multiplication. The integer representation plays an important role in the performance of this operation. This paper presents and evaluates a novel recoding technique which reduces the average Hamming weight of integers. The Left-to-Right (L2R) scalar multiplication is modified to utilize this new integer representation. Our analysis shows that the computation cost (the number of required point addition/subtraction operation) in the proposed L2R scalar multiplication algorithm is effectively reduced in comparison with other modified L2R binary scalar multiplication algorithms.

큰 n-자리수의 2개 10진수에 대한 곱셈을 보다 빠르게 수행하는 방법은 존재하는가? 이 문제는 수학과 컴퓨 터공학 분야에서 미해결 문제로 남아 있다. 이 문제에 대해 곱셈 횟수를 줄이는 연구로는 Karatsuba와 Toom-Kook 알고리즘이 있다. 본 논문은 곱셈 횟수를 줄이는 방법과는 완전히 별개로, 10진수 곱셈을 전적으로 덧셈만으로 효율적 으로 수행하는 방법을 제안하였다. 제안된 방법은 2진수의 자리이동-덧셈법만으로도 RSA-100과 같이 컴퓨터로 수행 이 불가한 매우 큰 자리수의 10진수 곱셈을 수행할 수 있음을 보였다. 제안된 방법은 수행 복잡도 O(n2)의 덧셈으 로 곱셈을 수행한다.

The problem of finding the fastest algorithm for multiplication of two large n-digit decimal numbers remains unsolved in the field of mathematics and computer science. To this problem so far two algorithms – Karatsuba and Toom-kook - have been proposed to shorten the number of multiplication. In the complete opposite of shorten the number of multiplication method, this paper therefore proposes an efficient multiplication algorithm using additions completely. The proposed algorithm totally applies shift-and-add algorithm of binary system to large digits of decimal number multiplication for example of RSA-100 this problem can't perform using computer. This algorithm performs multiplication purely with additions of complexity of O(n2).

최근, 8-bit MICAz 센서모트 상에서 구현된 TinyECCK (Tiny Elliptic Curve Cryptosystem with Koblitz curve)의 연구 결과는 유한체 GF(2m) 상에서의 곱셈과 감산 연산은 많은 수의 중복된 메모리 접근에 연관되어 있으며, 이러한 불필요한 메모리 접근 연산을 줄임으로써 전체적인 타원곡선 암호 연산의 성능을 현저히 높일 수 있음을 보였다. 하지만, 사용되는 워드의 비트가 8-bit에서 16-bit 혹은 32-bit로 확장될 경우, 메모리 상에 존재하는 GF(2m)상의 원소에 접근하기 위해 사용되는 메모리 접근의 횟수가 줄어들기 때문에, TinyECCK에 적용된 곱셈과 감산 알고리즘의 효율성은 떨어지게 된다. 따라서 본 논문에서는 GF(2m)의 곱셈 연산에서 많이 사용되는 left-to-right comb 방법을 16-bit 및 32-bit 환경에 맞도록 변형하고 이를 이용하여 16-bit Tmote Sky 모트에서 TinyECCK의 확장 버전인 TinyECCK16을 구현하여 그 성능을 제시한다. 제안 곱셈 방법을 통하여 TinyECCK16의 타원곡선 암호연산의 성능은 약, 17-23% 정도 향상될 수 있었으며, 또한 TinyECCK16은 기존에 GF(p) 및 GF(2m)상에서 소프트웨어적으로 구현된 것들과 비교하여 메모리 사용량 및 연산 시간 측면에서 가장 뛰어나다. 5TNAF를 사용한 TinyECCK16은 14,422-byte의 ROM과 1,750-byte의 RAM을 이용하여 0.81초 안에 하나의 전자 서명을 생성할 수 있으며, 또한 이것을 1.35초 안에 검증할 수 있다.

Recently, the result of TinyECCK (Tiny Elliptic Curve Cryptosystem with Koblitz curve) shows that both field multiplication and reduction over GF(2m) are related to a heavy amount of duplicated memory accesses and that reducing the number of these duplications noticeably improves the performance of elliptic curve operations such as scalar multiplications, signing and verification. However, in case that the underlying word size is expanded from 8-bit to 16-bit or 32-bit, the efficiency of the proposed techniques in TinyECCK is decreased because the number of memory accesses to load or store an element in GF(2m) is almost halved. Therefore, in this paper, we propose a technique which makes left-to-right comb method suitable on expanded word sizes and present the performance of TinyECCK16 which is implemented with the proposed multiplication algorithm. With the proposed multiplication algorithm, 17-23% of running time in elliptic curve operations such as scalar multiplication, signing and verification is saved. Furthermore, TinyECCK16 is superior to existing ECC softwares implemented on 16-bit Tmote Sky sensor mote with regards to running time and memory requirement. TinyECCK16 with 5TNAF can generate a signature and verify it within 0.81 and 1.35secs with 14,422-byte of ROM and 1,750-byte of RAM.

컴퓨터로 두 이진수 m과 r의 곱셈 m×r = p을 수행함에 있어 시간이 과다 소요되는 곱셈을 전혀 수행하지 않고 단지 덧셈과 우측 자리이동만을 수행하는 방법으로 자리이동-덧셈법이 있다. SA는 승수 r의 자리 수 ri가 0이면 m×0 = 0으로 결과 값 p를 우측 자리이동만 하면 되며, ri 가 1이면 m×1 = m으로 결과 값 p = p+m을 수행하고, p를 우측자리이동하면 되는 매우 단순한 방법이다. SA에서 SR 횟수는 더 이상 단축시킬 수 없으며, 단지 개선부분은 덧셈 횟수 단축 여부이다. 본 논문에서는 인간이 수행하는 방식인 10진수를 기준으로 보다 작은 수를 r로 설정하는 경우에 비해 컴퓨터가 처리할 이진수로 변환시켰을 때 1의 개수가 보다 작은 수를 r로 설정하는 방법이 덧셈 횟수를 크게 줄일 수 있다는 점에 착안하여 덧셈 최소화 SA 방법을 제안하였다. 제안된 알고리즘을 [-127,128] 범위에서 일부 숫자를 대상으로 부호가 (-,-), (-,+), (+,-), (+,+)인 4가지 경우에 대해 덧셈 횟수를 비교하였다. 실험 결과 얻은 결론은 m과 r을 결정할 때 10진수가 아닌 2진수로 판단해야 함을 보였다.

When performing the multiplication m×r = p of two binary numbers m and r on a computer, there is a shift-and-add(SA) method in which no time-consuming multiplication is performed, but only addition and shift-right(SR). SA is a very simple method in which when the value of the multiplier ri is 0, the result p is only SR with m×0 = 0, and when ri is 1, the result p = p+m is performed with m×1 = m, and p is SR. In SA, the number of SRs can no longer be shortened, and the improvement part is whether the number of additions is shortened. This paper proposes an SA method to minimize addition based on the fact that setting a smaller number to r when converted to a binary number to be processed by a computer can significantly reduce the number of additions compared to the case of setting a smaller number to r based on the decimals that humans perform. The number of additions to the proposed algorithm was compared for four cases with signs (-,-), (-,+), (+,-), and (+,+) for some numbers in the range [-127,128]. The conclusion obtained from the experiment showed that when determining m and r , it should be determined as a binary number rather than a decimal number.

정보보호 기술이 필요로 하는 분야는 위성통신, CATV, 인터넷, 전자문서 교환(EDI ; Electronic Data Exchange)을 포함한 전자상거래(electronic commerce), smart IC card, EFT(Electronic Funds Transfer) 등 거의 모든 정보통신 산업 관련 분야를 망라하고 있다. 특히 이러한 정보시스템의 경우 암호의 누출 및 hacking 문제는 사회 및 국가 안보분야에도 큰 영향을 미치게 된다. 따라서 본 논문에서는 최근에 무선통신 환경에 적합한 타원형 곡선 알고리즘의 유한체에서의 polynomial과 normal 기저에 대한 연산 결과를 분석하였다.

The computational cost of encryption is a barrier to wider application of a variety of data security protocols. Virtually all research on Elliptic Curve Cryptography(ECC) provides evidence to suggest that ECC can provide a family of encryption algorithms that implementation than do current widely used methods. This efficiency is obtained since ECC allows much shorter key lengths for equivalent levels of security. This paper suggests how improvements in execution of ECC algorithms can be obtained by changing the representation of the elements of the finite field of the ECC algorithm. Specifically, this research compares the time complexity of ECC computation eve. a variety of finite fields with elements expressed in the polynomial basis(PB) and normal basis(NB).

This paper proposes a multiplication algorithm for $F_{p^m}$, which can be efficiently applied to many pairs of characteristic p and extension degree m except for the case that 8p divides m(p-1). It uses a special class of type-<k, m> Gauss period normal bases. This algorithm has several advantages: it is easily parallelized; Frobenius mapping is easily carried out since its basis is a normal basis; its calculation cost is clearly given; and it is sufficiently practical and useful when parameters k and m are small.

Most existing countermeasures against classical DPA are vulnerable to new DPA, e.g., refined power analysis attack (RPA), zero-value point attack (ZPA), and doubling attack. More recently, Mamiya et al proposed a new countermeasure (so-called BRIP) against RPA, ZPA, classical DPA and SPA. This countermeasure, however, also has a vulnerability of scalar multiplication computations by exploiting specially chosen input message. Therefore, to prevent various power analysis attacks like DPA and new SPA, we propose an enhanced countermeasure by developing a new random blinding technique.

Most existing countermeasures against classical DPA are vulnerable to new DPA, e.g., refined power analysis attack (RPA), zero-value point attack (ZPA), and doubling attack. More recently, Mamiya et al proposed a new countermeasure (so-called BRIP) against RPA, ZPA, classical DPA and SPA. This countermeasure, however, also has a vulnerability of scalar multiplication computations by exploiting specially chosen input message. Therefore, to prevent various power analysis attacks like DPA and new SPA, we propose an enhanced countermeasure by developing a new random blinding technique.

This paper introduces a new joint signed expansion method for computing simultaneous scalar multiplication on an elliptic curve and a modified binary algorithm for efficient use of the new expansion method. The proposed expansion method can be also be used in cryptosystems such as RSA and EIGamal cryptosystems.

모듈러 곱셈은 ECC의 점 스칼라 곱셈을 위한 핵심 연산이며, ECC 프로세서의 성능에 영향을 미치는 가장 중요한 요소이다. 본 논문에서는 3-way Toom-Cook 곱셈 알고리듬과 수정된 고속 축약 알고리듬을 적용한 256-비트 모듈러 곱셈기 설계에 대해 기술한다. 90-비트 곱셈기 1개와 264-비트 가산기 3개가 사용되었으며, 하드웨어 크기와 소요 클록 사이클 수 사이의 최적화를 이루었다. Zynq UltraScale+ MPSoC 디바이스에 구현하여 모듈러 곱셈기를 검증하였으며, 모듈러 곱셈 연산에 15 클록 사이클이 소요된다.

Modular multiplication is a key operation for point scalar multiplication of ECC, and is the most important factor affecting the performance of ECC processor. This paper describes a design of a 256-bit modular multiplier that adopts 3-way Toom-Cook multiplication algorithm and modified fast reduction algorithm. One 90-bit multiplier and three 264-bit adders were used to optimize the hardware size and the number of clock cycles required. The modular multiplier was verified by implementing it using Zynq UltraScale+ MPSoC device and the modular multiplication operation takes 15 clock cycles.

정보보호 기술이 필요로 하는 분야는 위성통신, CATV, 인터넷, 전자문서 교환(EDI ; Electronic Data Exchange)을 포함한 전자상거래(electronic commerce), smart IC card, EFT(Electronic Funds Transfer) 등 거의 모든 정보통신 산업 관련 분야를 망라하고 있다. 특히 이러한 정보시스템의 경우 암호의 누출 및 hacking 문제는 사회 및 국가 안보분야에도 큰 영향을 미치게 된다. 따라서 본 논문에서는 최근에 무선통신 환경에 적합한 타원형 곡선 알고리즘의 유한체에서의 polynomial과 normal 기저에 대한 연산 결과를 분석하였다.

The computational cost of encryption is a barrier to wider application of a variety of data security protocols. Virtually all research on Elliptic Curve Cryptography(ECC) provides evidence to suggest that ECC can provide a family of encryption algorithms that implementation than do current widely used methods. This efficiency is obtained since ECC allows much shorter key lengths for equivalent levels of security. This paper suggests how improvements in execution of ECC algorithms can be obtained by changing the representation of the elements of the finite field of the ECC algorithm. Specifically, this research compares the time complexity of ECC computation eve. a variety of finite fields with elements expressed in the polynomial basis(PB) and normal basis(NB).

Recently, many power analysis attacks have been proposed. Since the attacks are powerful, it is very important to implement cryptosystems securely against the attacks. We propose countermeasures against power analysis attacks for elliptic curve cryptosystems based on Koblitz curves (KCs), which are a special class of elliptic curves. That is, we make our countermeasures be secure against SPA, DPA, and new DPA attacks, specially RPA, ZPA, using a random point at each execution of elliptic curve scalar multiplication. And since our countermeasures are designed to use the Frobenius map of KC, those are very fast.

본 논문에서는 RNS 시스템 상에서 시간 및 공간 복잡도 향상을 위한 병렬 모듈러 곱셈 알고리즘을 제안한다. 모듈러 감소를 위해서 새로운 테이블 참조 방식을 사용한다. 테이블 참조시 RNS 시스템이 비 가중치 시스템이므로 대수 비교를 비교하기 위해서 MRS 시스템을 이용한다. 제안한 곱셈 알고리즘은 RNS 컴퓨터 상에서 상대적으로 계간하기 쉬운 MRS 시스템을 사용함으로써 대수 비교를 효율적으로 수행할 수 있다. 기존의 RNS 시스템 상에서 테이블 감소를 이용한 모듈러 곱셈 알고리즘과 비교시 전체 테이블의 크기를 1/2로 줄일 수 있고, 산술 연산도 2ㅣ 개의 프로세서를 사용하여 0(ι) 만에 수행할 수 있다.

In this paper, we present a novel method of parallelization of the modular multiplication algorithm to improve time and space complexity on RNS (Residue Number System). The parallel algorithm executes modular reduction using new table lookup based reduction method. MRS (Mixed Radix number System) is used because algebraic comparison is difficult in RNS which has a non-weighted number representation. Conversion from residue number system to certain MRS is relatively fast in residue computer. Therefore magnitude comparison is easily Performed on MRS. By the analysis of the algorithm, it is known that it requires only 1/2 table size than previous approach. And it requires 0(ι) arithmetic operations using 2ㅣ processors.

본 논문에서는 RSA 공개키 암호시스템에서 암호의 안전성을 위하여 증가되는 암호키(key)의 비트 크기에 대응한 내부 연산기 설계를 효율적으로 할 수 있는 bit-slice형 모듈러 곱셈 알고리즘을 제안하였고, 제안된 알고리즘에 따른 모듈러 곱셈기를 FPGA칩을 이용하여 구현함으로써 제안된 알고리즘의 동작을 검증하였다. 제안된 bit-slice형 모듈러 곱셈 알고리즘은 Walter 알고리즘을 수정하여 도출하였으며, 구현된 모듈러 곱셈기는 bit-slice 구조로 되어 암호키(key)의 비트 확장에 대응한 모듈러 곱셈기의 오퍼랜드 비트 확장이 용이하며, 표준 하드웨어 기술언어(VHDL)로 모델링 하여 전용 하드웨어로 설계되는 RSA 공개키 암호 시스템의 구현에 응용될 수 있도록 하였다.

In this paper, we propose a bit-sliced modular multiplication algorithm and a bit-sliced modular multiplier design meeting the increasing crypto-key size for RSA public key cryptosystem. The proposed bit-sliced modular multiplication algorithm was designed by modifying the Walter's algorithm. The bit-sliced modular multiplier is easy to expand to process large size operands, and can be immediately applied to RSA public key cryptosystem.