Earticle

칸트에 의하면 인간은 현상을 시간의 틀 속에서 수용한다. 이로부터 시간적 현상의 무시간화와 무시간적 현상의 시간화라는 이해의 두 차원을 추출할 수 있다. 이 논문에서는 무시간적인 현상의 시간화와 시간적 현상의 무시간화가 수학적 지식 이해의 문제를 논하는 하나의 관점이 될 수 있음을 몇 가지 예를 들어 고찰한다. 먼저 무시간적 현상의 시간화의 의의를 수식과 도형을 예로 하여 고찰한다. 이어서 시간적 현상의 무시간화의 의의를 자연수의 합, 패턴, 확률 등을 예로 하여 고찰한다. 이러한 고찰을 바탕으로 수학교육에서 무시간적 현상을 시간화하여 이해하려는 성향과 시간적 현상을 무시간화하여 이해하려는 성향의 함양이 중요함을 논한다.

According to Kant, time is integral to all human cognitive experiences. Human beings perceive things in the frame of time. Phenomena are perceived in successive way or in coexistent way. In this paper, I argue that the perspective of temporality and atemporality can be a framework to consider the issues of teaching and understanding of mathematical knowledge. Significance of temporal inquiry of atemporal phenomena is discussed with examples of mathematical expressions and geometric figures. Significance of atemporal inquiry of temporal phenomena is also discussed with examples of the sum of natural numbers, geometric pattern, and the probability of two events. Teachers should understand the potential of mathematical tasks from the perspective of temporality and atemporality and provide students with opportunities to inquire temporal phenomena atemporally and atemporal phenomena temporally.

본 연구는 이현숙(2011)에 의해 한국어로 번안된, 수와 연산에 관한 ‘수학을 가르치는데 필요한 지식’(MKT)을 측정하는 문항들을 사용하여 2012년에 76명의 J 대학교 교육대학 초등 예비교사들을 대상으로 수와 연산에 관한 MKT를 측정하여 분석하였다. 분석된 결과는 다음과 같다. 첫째, MKT 문항에 대한 선호도는 매우 긍정적이었으나, ‘수와 연산 영역에 대한 MKT’의 정답률은 높지 않았다. 둘째, 초등교사가 되었다고 가정했을 경우에 숙련된 교사에 의한 초임교사들의 수업 컨설팅에 대한 선호도는 높았다. 셋째, 각 영역별 정답률은 KCS 70.13%, SCK 55.71%, CCK 43.87%, KCT 29.27% 순이었다. 넷째, 각 유형별 정답률은 유형5, 6, 7이 60%이상이었으나 유형1, 2, 3, 4, 8은 60% 미만으로 분석되었다. 따라서 초등 예비교사들의 MKT를 향상시키기 위해 J 대학교 교육대학 초등수학과교육에서 유형1, 2, 3, 4 및 8에 대한 교육을 강화시킬 필요가 있다.

The purpose of this study is to analyze some Korean elementary pre-service teachers' Mathematical Knowledge for Teaching(MKT). For this purpose, we selected the MKT items on number and operations which were adapted for Korean in-service teachers by Lee(2011). The survey consisting of those items was administered to 76 Korean elementary pre-service teachers at Teachers College, J University. The results are the following: First, the respondents, elementary pre-service teachers, showed that the preference for the MKT items was very affirmative, but the percentages of correct answers to the MKT items weren't generally high. Second, the preference for the instructional consultation by experienced teachers was very affirmative. Third, the percentages of correct answers to KCS, SCK, CCK and KCT were 70.13%, 55.71%, 43.87% and 29.27%, respectively. Fourth, the percentages of correct answers to type 5, 6, and 7 were more than 60%, but those of correct answers to type 1, 2, 3, 4, and 8 were less than 60%. This means we need to strengthen type 1, 2, 3, 4, and 8 in education of elementary mathematics subject at Teachers College of J University.

초등학교 수학에서 함수적 사고는 매우 중요하지만, 함수적 사고를 지도하는 데 중요한 역할을 하는 교사에 대한 연구는 부족한 편이다. 이에 본 연구에서는 함수적 사고를 지도하기 위한 수학 과제 및 수업 전략에 대한 지식을 살펴보기 위하여 검사 도구를 개발한 후 초등학교 교사 119명을 대상으로 조사하였다. 분석 결과, 초등학교 교사들은 대부분 곱셈 관계와 덧셈 관계의 과제를 적절하게 개발할 수 있었고, 비연속적인 대응표의 활용과 같은 수업 전략에 대하여 함수적 사고 지도의 측면에서 설명할 수 있었다. 반면 일부 교사들은 함수적 사고에 대한 중요한 아이디어를 충분히 이해하지 못했다. 연구 결과를 토대로, 함수적 사고를 지도하기 위한 초등학교 교사의 지식에 관하여 시사점을 논의하였다.

Despite the significance of functional thinking at the elementary school level there has been lack of research on teachers who play a major role in making students be engaged in functional thinking. This study surveyed 119 elementary school teachers to investigate their knowledge of functional thinking for teaching. A written assessment for this study was developed with a focus on the knowledge of mathematical tasks and instructional strategies to teach functional thinking. The results of this study showed that many teachers were able to design tasks corresponding to both the additive relationship and the multiplicative relationship, and to justify some strategies to promote functional thinking. However, some teachers had lack of understanding with regard to the core ideas of functional thinking. Based on these results this study is expected to suggest implications on what aspects of knowledge are further needed for elementary school teachers to promote students’ functional thinking.

본 연구는 효과적인 수학 교수(teaching)를 위해 교사들이 갖추어야 할 지식 기반영역들을 소개하고, 지식 기반 영역 중에서도 가장 핵심 영역인 수학적 지식에 대한 다양한 정의와 구조에 관한 모델을 소개하고자 한다. 이를 통해, 본 연구는 교사지식 영역에 대한 전반적인 이해를 제공 할 뿐만 아니라, 수학적 지식에 대한 구체적이고 이론적인 틀을 제공하고자 한다.

The purpose of this study is to address the teachers' knowledge bases for effective mathematics teaching and especially to provide the various definitions and the structures of mathematics knowledge which is the most important one of the knowledge bases. The conceptual understanding about teachers' knowledge bases for effective mathematics teaching and the structure of mathematics knowledge may be used in evaluating effective mathematics teaching and teachers as well as in developing a new conceptual framework for the structure of mathematical knowledge.

본 논문의 목적은 초등학교 수학의 평가를 위한 시험의 출제 및 채점 과정에서 나타나는 초등학교 교사들의 수학지식과 관점이 어떠한지를 고찰해 보고, 이 과정에서의 문제점들을 기반으로 이에 대한 시사점을 제공하는데 있다. 이를 위해 2005년 1월 A교육 대학교의 일급정교사 자격연수에 참여한 268명의 초등학교 교사들을 대상으로 사례를 조사하여 각 영역별, 유형별로 분석하여 교사가 수학 문제지를 출제하거나 학생의 수학답안을 채점하는 과정에서 겪는 혼란과 어려움을 분석하였다. 어려움의 유형으로는 문항 자체에 모호성을 가지고 있거나 문제를 잘못 출제한 경우, 학생들의 수준이나 관점에 대한 고려가 부족한 경우, 평가 문항 출제 기법상 문제가 있는 경우, 그리고 기타의 경우로 나누어 볼 수 있었다. 교사들은 수학 문항을 출제 할 때 상호 점검으로 오류를 최대한 피하도록 하고, 수학 문항을 바르게 출제할 수학지식을 가지고 있어야 하며 채점 과정에서의 학생들의 답을 보다 유연하게 보는 관점을 가질 필요가 있다.

The purpose of this paper was to investigate the mathematical knowledge and perspective of elementary school teachers in the development and evaluation of students' mathematical tests, analyse test questions, and suggest several principles for the several issues of making and evaluating test-questions. The researcher surveyed 268 elementary school teachers who attended a teachers training program at the A university during January, 2005. The data were analysed by the patterns. The patterns were ambiguity or uncorrectly-described test questionnaires, wrong interpretation of students' responses by the teachers, teacher's deficiency of student' levels and perspectives of mathematics, problematic questionnaires against test-making method, and so forth. Teachers are encourages to cross check to avoid the above problems, to have a strong mathematical knowledge, and to see students' mathematical answers in a flexible manners.

본 연구의 목적은 고등학교 수학 교사의 기하학적 확률에 대한 MKT를 분석하여 수업의 질 향상 및 교사의 전문성 향상을 위한 시사점을 제시하는데 있다. 이를 위해 현직교사 43명을 연구 대상으로 설문 및 면담 조사를 통해 얻은 결과, 많은 교사들이 기하학적 확률의 정의에서 영역의 ‘크기’는 주로 넓이로 생각하는 경향을 보였고, 그로 인해 교사들은 대체로 넓이를 이용한 확률은 잘 계산하였지만, ‘크기’가 길이인 확률 문제는 오답율이 높았다. 한편, 몇몇 교사들은 크기가 0인 사건은 기하학적 확률을 적용할 수 없다고 생각하고, 확률값이 0이면 사건이 일어나지 않는다는 오개념을 가지고 있었다. 전반적으로 교사들은 기하학적 확률에 대한 MKT가 미흡한 것으로 나타났는데, 이를 강화하기 위해서는 동료장학이나 직무연수 등과 같은 재교육의 기회가 제공될 필요성이 있다고 생각된다.

The purpose of this study is to investigate mathematics teachers’ MKT(mathematical knowledge for teaching) in the geometrical probability. Even if the term of the geometrical probability is not included in the mathematics textbook, it has been dealt in the mathematics workbook in high school. In this paper, 43 of mathematics teachers were chosen to be tested and 3 of them were interviewed for their MKT. The research findings are as follows:First, some of mathematics teachers have tendency to consider ‘size’ of the region as ‘area’ in the definition of the geometrical probability. Second, many of teachers showed lack of understanding of the Bertrand paradox. Third, some of mathematics teachers showed some of misconceptions that the event of zero probability does not happen. Fourth, many of teachers think that the concept of the geometrical probability is required to be introduced in high school textbook for the completion of probability calculation.

본 연구는 수학학습 멘토링 활동이 예비수학교사들의 수학교수지식에 미치는 영향에 대해 알아보기 위하여 M대학교 수학교육과 학생 6명을 연구 대상자로 선정하였다. 예비수학교사들은 농촌지역 중학생과 주 2회 2시간씩 15주 동안 1:1로 수학학습 멘토링을 진행하였으며, 매주 학습사항 및 정서관찰을 기록한 멘토일지를 과제로 제출하였다. 예비수학교사들의 멘토일지, 성찰일지와 면담 내용을 바탕으로 수학학습 멘토링 활동이 예비수학교사들의 수학교수지식과 학생에 대한 이해 및 자아성찰에 미치는 영향을 분석한 결과 다음과 같은 결론을 얻었다. 첫째, 수학학습 멘토링은 예비수학교사들에게 이론적인 수학교육학의 내용을 학교현장에서 적용할 수 있는 기회를 제공함으로써 이론적인 지식을 실천적 지식으로 발현하게 하였다. 둘째, 수학학습 멘토링은 예비수학교사들에게 학생을 이해하는 방법과 이해하는 능력을 갖추는데 도움을 주었고, 학습자로서의 자신의 태도 및 자세에 대해 반성하게 하는 기회를 제공하였다. 셋째, 수학학습 멘토링은 예비수학교사들에게 수업에 대한 반성의 기회를 제공함으로써 교수 활동을 신장하는데 도움을 주었다. 넷째, 수학학습 멘토링은 예비수학교사들의 교직에 대한 신념과 교직관의 변화에 긍정적인 영향을 주었다.

This study examines the effects of mathematics learning mentoring activities on mathematical knowledge for teaching (MKT) of pre-service mathematics teachers. We choose six pre-service mathematics teachers in the department of mathematics education at M University. The pre-service mathematics teachers conducted 1:1 mathematics learning mentoring for two hours at a times and twice a week for 15 weeks. The pre-service mathematics teachers submitted the mentor log, which recorded weekly learning and emotional observations. We collected the mentor log and the reflection log of pre-service mathematics teachers and the interviews with pre-service mathematics teachers. Based on the collected data, we analyzed the effects of MKT, the understanding of students, and pre-service mathematics teachers' introspection by mathematics learning mentoring. We obtained conclusions as follows. First, mathematics learning mentoring provides an opportunity for pre-service mathematics teachers to apply the theory of mathematical education to schools. Thus pre-service mathematics teachers express theoretical knowledge as practical knowledge. Second, mathematics learning mentoring helps pre-service mathematics teachers have the ability to understand students and provide opportunities to reflect on their attitudes as learners. Third, mathematics learning mentoring helps advance teaching activities by providing pre-service mathematics teachers with opportunities to reflect on their teaching activities. Finally, mathematics learning mentoring has positively influenced the change in pre-service mathematics teachers' beliefs and teaching intuition.

수학영재교육에 대한 관심이 높다. 하지만 2003년 교육청 영재교육원을 통한 수학영재교육이 실시된 이래 학생의 성취결과에 대한 분석은 부족한 실정이다. 본 연구에서는 수학기초지식을 정의, 성질, 절차로 세분화하고 그에 따른 검사문항을 국가수준의 성취기준을 준거로 개발하였다. 개발된 검사도구로 한 광역시 영재원을 선택하여 전수검사를 실시하고, 그 결과를 분석하였다. 먼저, 기초 정의에서는 연산과 관련된 기본적인 개념을 제외하면 비교적 낮은 성취결과를 보였다. 둘째, 기초 성질에서는 기초 정의가 결여된 기초 성질에 대한 문항에서 매우 낮은 성취 결과를 보였고, 전체적으로 기초 정의와 유사한 성취결과를 보였다. 셋째, 기초 절차에서는 매우 높은 성취결과를 보였다. 이러한 검사결과를 통해 볼 때 수학기초지식에 대한 이해력을 높일 필요성이 있고, 이를 위해 영재선발 문항과 영재교육 내용에 대한 체계적인 대안의 개발이 요구되어진다. 본 조사연구는 수학기초지식과 결부되어진 선발문항 개발 및 영재교육내용의 개선에 의미 있는 시사점을 제기할 수 있고, 수학영재교육의 긍정적 변화에 도움을 제공하리라 기대된다.

A study on comprehension level of mathematical basic knowledge(MBK) of gifted students in middle school. The interest in mathematics gifted education is very high. However, in reality, there has been a shortage of the analysis of students' achievement result since mathematics gifted education began through the institute of gifted education in the education office in 2003. On this study, MBK is subdivided into definition, property and procedure and then examination questions arc developed on the basis of national level achievement standard. With these examination tools, total inspection was conducted in on metropolitan city and the result was analyzed. First, in a basic definition, relatively low achievement result was seen except the basic concept related operation. Second, in a basic property, very low achievement result was seen in the questions of basic property without basic definition and as a whole, the result was similar with the basic definition. Third, in basic procedure, the achievement result was very remarkable. This result shows we need tn increase the comprehension ability of MBK. To do this, the systematic alternative development of the questions of selecting gifted students and the contents of gifted education is required. This study proposes the meaningful implication to the selection question development related to the MBK and the improvement of gifted education contents. And it is expected to provide the positive change for mathematics gifted education.

Objectives Based on the MKT theory, this study carried out special teaching design and did a teaching experiment, hope to explore the feasibility to improve pre-service teachers' MKT level in mathematics course. Methods This study adopts the quasi experimental research method, selects Advanced Mathematics as the experimental course, selects the math major students of two parallel classes in the first year of a normal university in China as the research object. Use the 5-factor MKT framework and various effective teaching methods to formulate a special teaching scheme. In the experimental class, the specially designed teaching scheme is used in teaching, while the control class is taught in the conventional way. The scores of self-made MKT questionnaire and concept map are used to compare the MKT level of the two classes before and after the experiment. Results Before the experiment, the MKT level of the two parallel classes was very low, and there was no difference between the two classes. After a semester of experiment, there was a significant difference between the MKT test scores of the experimental class (M=48.12, SD=7.26) and the control class (M=32.42, SD=6.85) (t=11.12, df=98.00, p=.000). Conclusions MKT level of pre-service teachers can be improved through Advanced Mathematics. The method of integrating subject matter knowledge (SMK) and pedagogy content knowledge (PCK) under the guidance of MKT can effectively improve the MKT level of pre-service teachers, and their professional level of mathematics can be improved accordingly. MKT 5 factor instructional design teaching plan is a feasible and effective ways to improve MKT level.

No one would disagree the importance of teacher knowledge in teaching and students learning. However, it might not be reasonable to connect teacher knowledge and students performance directly because of the complex nature of teaching and learning. The study investigated teaching aspect in depth, the relationship between teachers’ mathematical knowledge and beliefs. A mediation model of the relationship between mathematical knowledge and beliefs was proposed based on the previous studies and tested statistically. The study employed database of Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-M 2008) because it provides appropriate data for investigating research questions of the study; it collected data of prospective teachers at the end of their teacher education program about mathematics knowledge for teaching and beliefs. In the relationship between mathematical knowledge and the belief of learning mathematics, it was found that the belief of the nature of mathematics mediates the relationship significantly. The results of the study suggests that improving mathematics content knowledge might be the starting point of teacher education program.

본 논문은 수업을 위한 수학적 지식과 수업의 질에 대한 상관관계를 보고하는 연구이다. 선다형 평가 문항 유형의 설문지를 이용하여 교사들의 수업을 위한 수학적 지식을 수집하였고, 촬영된 그 교사들의 수업을 수학 수업 분석 도구를 이용하여 수업의 질을 평가하였다. 두 점수들의 상관관계를 통계적으로 분석하여, 유의미한 양적 상관관계가 있음을 보고한다. 또한, 수집된 수업 영상과 교사들의 인터뷰 자료의 분석을 통해 수업을 위한 수학적 지식이 중재하지 못하는 수업의 질과 관련된 요소를 찾아내었다. 이러한 결과를 기반으로 수학 교사 교육에 대해 논의한다.

The current study investigated the relationships between mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality in instruction in order to gain insight about teacher education for secondary teachers in South Korea. We collected and analyzed twelve high school teachers' scores of the multiple-choice assessment for mathematical knowledge for teaching developed by the Measures of Effective Teaching project. Their instruction was video recorded and analyzed with the mathematical quality in instruction developed by the Learning Mathematics for Teaching project. We also interviewed the teachers about how they planned and assessed their instruction by themselves in order to gain information about their intention and interpretation about instruction. There was a statistically significant and positive association between the levels of mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality in instruction. Among three dimensions of the mathematical quality in instruction, mathematical richness seemed most relevant to mathematical knowledge for teaching because subject matter knowledge plays an important role in mathematical knowledge for teaching. Furthermore, working with students and mathematics as well as students participation were critical to decide the quality of instruction. Based on these findings, the current study discussed offering opportunities to learn mathematical knowledge for teaching and philosophy about how teachers need to consider students in high schools particularly in terms of constructivism.

본 연구에서는 방학 기간을 이용하여 캠프에 참여하는 학생들의 수학적 지식 확장과 수학 학습에 대한 흥미를 높이기 위한 수학 캠프 프로그램을 개발하고 적용하고자 하였다. 2019년 4월부터 프로그램의 목표 설정 및 선행연구조사, 프로그램의 주제 발굴 및 개발과 보완과정을 거쳐 2019년 7월과 8월에 KAIST 과학영재교육연구원에서 7월과 8월에 시행된 과학캠프에 참가하는 초등학생을 대상으로 개발한 프로그램을 적용하였다. 과학 캠프가 방학 기간을 이용하여 단기간에 이루어지기 때문에 학생들에게 다양하고 심화적인 수학 지식을 전달하기는 어려운 문제점이 존재하여, 학생들의 수학적 흥미 신장에 도움이 될 수 있도록 체험을 통한 산출물을 제작하는 프로그램을 구성하였다. 또한 산출물을 활용한 수학 실험을 통하여 수학적 지식을 확장 할 수 있도록 프로그램을 구성하여 적용해 보았다. 한편, 참가한 학생 826명을 대상으로 프로그램의 만족도를 조사한 결과 프로그램에 대한 만족도 평균이 4.19를 나타낼 정도로 만족도가 높음을 확인 할 수 있었다. 본 연구에서 개발한 프로그램은 단기간에 적용한 수학 학습 프로그램이지만, 학생들의 수학적 흥미 신장과 수학 지식 확장에 도움이 될 것이라 기대되며 향후 수학프로그램의 개발에 도움이 될 것으로 기대한다.

In this paper, we wanted to develop and apply a program to increase students' interest in expanding their mathematical knowledge and learning math by using the vacation period. The program developed for elementary school students participating in a science camp conducted in July and August 2019 was applied after setting goals for the program, researching, developing, and supplementing the program's topics from April 2019. Since the camp takes place in a short period of time using the vacation period, there are difficult problems in conveying diverse and in-depth knowledge of mathematics to students, we designed a program to produce hands-on outputs to help students increase their mathematical interest. In addition, programs were organized and applied to expand mathematical knowledge through mathematical experiments using outputs. Meanwhile, a survey of 826 students who participated in the program found that the satisfaction level of the program was 4.19. Although the program developed in this study has limitations as applied math learning programs in a short period of time, it is expected to help students improve their mathematical interests and expand their math knowledge, and it will help them develop math programs.

목적 본 연구는 유아교육기관의 수학문해환경에 유아교사의 수학적 태도와 수학교과교육학지식이 어떠한 영향을 미치는지를 분석함에 목적이 있다. 방법 서울, 경기, 인천에 소재한 34개 유치원과 어린이집에 근무하고 있는 교사 229명을 대상으로 수학적 태도, 수학교과교육학지식, 수학문해환경에 관한 교사용 설문지를 활용하여 자료를 수집하였다. 수집된 자료는 기술통계, 빈도분석, t-검증, 일원분산분석그리고 단계적 다중회기분석을 사용하여 분석하였다. 결과 첫째, 유아교사는 담당하고 있는 반의 연령에 따라 수학적 태도에 차이가 있으며, 수학교과교육학지식은 유아교사의 일반적변인 중 경력과 학력, 기관 유형에 따라 차이가 있는 것으로 나타났다. 또한 수학문해환경은 유아교사의 일반변인 중 경력과 학력, 기관 유형과 담당 연령에 따라 차이가 있는 것으로 나타났다. 둘째, 유아교사의 일반적 변인, 수학적 태도 그리고 수학교과교육학지식은 수학문해환경과 정적 상관을 나타냈다. 셋째, 유아교사의 일반적 변인, 수학적 태도에서는 수학에 대한 동기 그리고 수학교과교육학지식에서는 교수학습방법에 대한 지식이 수학문해환경에 설명력을 지니고 있었다. 결론 본 연구는 교사의 일반적인 변인, 수학적 태도, 수학교과교육학지식이 유아교육기관의 수학문해환경에 미치는 영향에 대해알아보았다. 이를 통해 유아교육현장에서 수학문해환경의 질을 높이기 위한 방안으로 교사의 수학적 태도와 수학교과교육학지식을향상시켜줄 수 있는 교사교육 프로그램을 개발하여 교사교육이 이루어져야 함을 강조하였다.

Objectives The purpose of this study is to analyze the effect of early childhood teachers' mathematical attitudes and Mathematical Knowledge for teaching on the mathematical literacy environment of early childhood education institutions. Methods Data were collected from 229 teachers working at 34 kindergartens and daycare centers located in Seoul, Gyeonggi, and Incheon using a questionnaire for teachers on mathematical attitudes, Mathematical Knowledge for teaching, and mathematics literacy environment. The collected data were analyzed using descriptive statistics, frequency analysis, t-test, one-way ANOVA, and stepwise multiple regression analysis. Results First, it was found that early childhood teachers differ in their mathematical attitudes according to the age of the class they are in charge of, and Mathematical Knowledge for teaching differs according to career, academic background, and type of institution among general variables of early childhood teachers. In addition, it was found that the environment of mathematical literacy differed according to career and educational background, type of institution, and age in charge among general variables of early childhood teachers. Second, general variables of early childhood teachers, mathematical attitudes and mathematical knowledge for teaching showed positive correlations with the environment of mathematics literacy. Third, the general variables of early childhood teachers, the motivation for mathematics in the mathematical attitude, and the knowledge of teaching and learning methods in the mathematical knowledge for teaching had explanatory power in the mathematical literacy environment. Conclusions This study investigated the effects of teachers' general variables, mathematical attitudes, and mathematical knowledge for teaching on the mathematical literacy environment of early childhood education institutions. Through this, it was emphasized that teacher education should be carried out by developing a teacher education program that can improve teachers' mathematical attitude and knowledge of mathematics and pedagogy as a way to improve the quality of the environment for mathematics literacy in the early childhood education field.

본 연구는 두 가지 목적을 가지고 있다. 우선 첫째로, 공간적 이미지와 수학적 인식의 관계에 대해 오트(Otte)의 이론이 가지는 의의를 설명하는 것이고, 다른 하나는 이러한 의의에도 불구하고 이 문제와 관련하여 칸트와 피아제에 대한 그의 분석은 정확하지 않다는 것을 해명하는 것이다. 우리가 가지고 있는 일반적인 개념들(범주. 보편자)과 특히 수학적 개념들의 가능 근거는 무엇인가? 플라톤주의가 주장하듯이, 우리는 이러한 보편자들을 선천적으로 지참하고 있는가? 아니면 고전적 경험론이 말하듯이, 이러한 보편성은 외적인 경험적 대상들에 대한 단순한 추상화에서 직접적으로 “주어진” 것인가? 이 점과 관련하여, 오트는 이러한 보편성을 가능케 하는 제 1원리는 “연속성의 원리”라고 강조한다. 즉 그는 연속성을 인식주관의 구성을 가능하게 하는 사전 조건으로 생각한다. 이런 입장에서 오트는 칸트 및 피아제와 달리 연속성 원리를 선-존재론적인 개념으로 해석하고자 한다. 즉 연속성의 원리가 주장하는 것은 “우리는 변화와 진화의 토대에서만 뭔가를 이해할 수 있다는 것, 즉 발생의 조건에서만 모종의 대상을 지각할 수 있다”라는 것이다. 다시 말하면, 인식론적 관점에서 볼 때, 연속성 개념을 이해하는 것은 사후적 사태지만, 존재론적인 차원에서 이러한 발생의 근거는 연속성에 기초해야 한다는 것이다. 이는 사실 퍼스의 입장에 가까운 것으로 일반인들의 직관적 신념이기도 하다. 그러나 필자의 관점에서 볼 때, 이는 일종의 추론이다. 외적 대상의 존재성을 의심할 필요는 없다. 그러나 그렇다고 모든 수학적 인식이 외적 대상에 대한 이미지에 근거해야 한다는 그의 주장은 수용하기 어렵다. 그리고 피아제는 수학적 인식의 가능성을 위해 수학적 인식에서 공간적 이미지를 제거했다는 오트의 해석은 부정확하다. 왜냐하면, 피아제는 칸트처럼 물자체(실재)와 현상(구성)을 철저하게 구분하지 않고 상호침투 관계를 가지는 변증법적 관계로 이해하면서 외적 대상에 대한 조작적 활동에서 수학적 인식이 구성된다고 주장하기 때문이다.

Kant supposes that all our knowledge-extending cognitions are synthetic, including mathematical knowledge. But this synthesis does not lie in the matter of experience but in the function of cognizant consciousness. That is why continuity, according to Kant, lies only in the realm of phenomena, for they are synthesised by our activity. Piaget is, like Kant, dualist that starts from the belief that whatever connection, coherence or continuity there is, it is a result of the subject’s constructive efforts, rather than a precondition of making these efforts meaningful. Piaget assumes a Kantianism where the categories are not there at the outset. He thinks of the subject as constructing itself as well as his constructing structures as the source of the apprehension of the world. Piaget speaks of reflective abstraction in this context as the basis of mathematical knowledge, but separating it completely from empirical abstraction. I emphasize the role of the continuity and perception as the prerequisite of mathematical knowledge. In contrast to Kant’s and Piaget’s view, I would like to understand the continuity principle as stating that we understand something only on the basis of change, as if it would be the condition of its genesis. I believe that in referring to these different interpretations of the continuity principle, we may not only obtain the differences between Kant’s view and Piaget’s on the notion of space and of perception on the one hand, but also will lead to the difference between Piaget’s constructivism and Peirce’s realism on the other hand. In the long run, I try to synthesise both the contrast views.

교사가 어느 수준의 mathematical knowledge for teaching (MKT)를 가지고 있는가는 학생의 수학 성취도에 강력한 영향을 준다 (Hill, Rowan, & Ball, 2005). 그러나 학교나 지역 교육청이 교사의 MKT 수준에 대한 정보를 가지고 있지 않으므로, 어떤 교사들에게 MKT를 증진시킬 수 있는 기회와 재원을 줄 것인지 결정하기는 쉽지 않다. 본 연구는 교사들의 어떤 특징이 그들의 MKT 수준과 관련이 있는가를 탐구한다. 본 논문은 336명의 초등학교 교사들의 MKT와 그들의 인구학적 그리고 교육적 배경 및 교수 경험과의 관련성을 분석했다. 특히, 교사의 MKT를 측정하기 위해 본 연구는 객관식 평가 문항을 이용했다. 결국, 교수경력은 MKT 측정과 아무런 영향이 없음이 밝혀졌다. 본 연구의 결과와 관련하여 수학 교사 교육을 위한 정책에 대한 논의로 본 고를 마친다.

Teachers' mathematical knowledge for teaching (MKT) strongly influence student achievement (Hill, Rowan, & Ball, 2005). However, there is generally no record that shows the levels of teachers' MKT in schools and districts. Because of the limited resources, schools and districts need some criteria to decide how to distribute their resources to help teachers improve MKT. This study explores what factors in teachers' backgrounds are related to their levels of MKT. This article examines the relationships between the MKT of 336 elementary teachers and their demographic, educational, and teaching backgrounds. To measure MKT, I used a series of multiple-choice problems. The number of years teaching mathematics is not critical to these measures. Implications are discussed with regard to policy for mathematics teacher education.

본 연구는 만 5세 유아를 대상으로 언플러그드 코딩활동을 진행하고, 그 과정에서 나타나는수학지식과 수학적 과정에 대해 알아보는 사례연구이다. 연구는 2020년 11월 20일부터 2021년2월 15일까지 서울시에 위치한 유치원 만 5세 학급의 유아 6명을 대상으로 생활주제와 유아들의 놀이의 흐름을 고려하여 담임교사이자 연구자가 직접 설계한 언플러그드 코딩활동을 실시하고 참여관찰을 진행하였다. 연구결과 언플러그드 코딩활동에서 제시된 문제를 해결하는 과정에서 움직임, 방향, 위치관계와 관련된 탐색이 적극적으로 이루어졌다. 또한 최적의 경로를설정하는 것과 같이 효율적인 해결방법을 찾기 위해서 문제를 공유하고 여러 가지 방법을 시도해보며 다양한 표상양식을 사용하거나 비교하기도 하고 사전경험을 바탕으로 추론하는 등함께 문제를 해결하는 과정이 활발하게 이루어졌다. 이는 언플러그드 코딩활동의 유형과 설계과정 및 진행방식에 영향을 받은 것으로 보인다. 본 연구를 통해 구체물이나 신체를 활용한 언플러그드 코딩활동이 수학을 가르치고 배우는 실제적인 접근법으로서 유아들에게 적합한 수학교수학습방법으로 활용될 수 있음을 시사한다고 볼 수 있다.

This thesis is a case study that explores the details of mathematical knowledge and process embedded in unplugged coding activities with 5-years old children. Participants in the study were six 5-year-olds of the researcher’s kindergarten class located in Seoul. A sequence of unplugged coding activities was implemented and the children’s mathematical thinking in unplugged coding were qualitatively analyzed. Data was collected by a participant observation, a video recording, and various documents. The results showed that unplugged coding provided a fertile ground for mathematical experiences for young children. In the process of solving the problem presented in the unplugged coding activity, the children engaged in active search related to movement, direction, and location relationship. In addition, in order to find an efficient solution, such as setting an optimal path, the process of solving problems collectively together was actively carried out, such as sharing problems, trying various methods, using or comparing various representation forms, and reasoning based on prior experience. Such behaviors appear to be influenced by the type of unplugged coding activity, the design process, and the method of proceeding. In conclusion, unplugged coding is a hands-on and practical approach to teaching and learning mathematics for young children.

개정 7차 교육과정부터 고등학교 인문사회 과정 학생들도 ‘미적분과 통계 기본’교과서를 통해 미분에 대해 학습하게 된다. 따라서 미적분학을 가르치는 교사의 수학적 지식은 어떠한지 또한그러한 교사의 수학적 지식은 옳은 것인지에 대해 측정할 수 있는 객관적인 분석틀이 필요하다. 본연구는 고등학교 미분 단원에 대해 실제 교육 현장에서 활동하고 있는 교사들이 어떤 수학적 지식을 가지고 있는지에 대해 알아보는 데 목적이 있다. 본 연구에서는 선행 연구를 분석하여 미분 단원의 오개념과 오류에 관한 내용 요소별 분석틀을 제사하였고 미분 단원의 학습목표에 따라 설문문항을 구성하였다. 개발한 설문 문항에 따라 교사의 수학적 지식(MKT) 및 선행연구에서 제시한MKT의 하위 영역 분류에 따라 영역별로 구분하여 분석하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 미분 단원에 대한 수학 교사들의 MKT 총점은 23점 만점에 평균점수가 18.61점, 표준편차는 3.192점인만큼 우수하며 전반적으로 학교 수학에 대해 높은 지식을가지고 있다고 할 수 있다. 미분 단원에 대해 MKT 영역의 세 하위 영역에 대한 결론은 다음과 같다. 먼저, 교과 내용 지식(SMK)의 점수는 최저점 6점, 최고점 16점이고 평균은 12.97점으로 높은편이었다. 둘째, 내용과 학생에 관한 지식(KCS)의 점수는 최저점 0점, 최고점 4점이고 평균은 2.94점으로 높다. 셋째, 내용과 교수에 관한 지식(KCT)의 점수는 최저점 2점, 최고점 5점이고 평균은4.14점이다. 본 연구는 서울시 및 경기도 소재 5개 고등학교의 36명의 교사를 대상으로 하였으므로 특성이다른 집단에서는 연구결과가 다르게 나타날 수 있다. 그러므로 본 연구 결과를 미분 단원에 대한우리나라 전체 수학교사의 교사에게 필요한 수학적 지식(MKT)로 일반화하기는 힘들다.

This study investigated Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) in differentiation at the high school level. According to the revision of the 7th curriculum, high school students in the social and human curriculum have to study differentiation; hence, there is a reason to investigate the analytic frame of measuring Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) in differentiation. Through a survey of precedent studies of student understanding of differentiation, teachers'knowledge was investigated and analyzed. The questions of the survey were created by considering both the teachers' situations and the questions in precedent studies. To investigate the teachers' MKT of differentiation, 36 high school teachers were surveyed. The analysis results are as the follows: since the mean score of the total MKT is 18.61 and the standard deviation is 3.192, teachers have good MKT of differentiation. In general, high school teachers have a high degree of MKT although they don't teach differentiation. There is a need, however, to focus on the significant gap between the highest score (23 points) and the lowest score (11 points); 72.2% of teachers received high scores but two teachers achieved only 11 points, one teacher only 12 points, and one teacher 13 points. These four teachers, who recorded 13 or lower points, need to be retrained. The results from the subdomains of MKT are as the follows: first, the highest SMK was 16(4 teachers achieved this score) and the lowest SMK was 6; the mean score is 12.97. Eleven teachers scored 15 points, and six teachers received 13 points. One teacher received a very low score, with two teachers scoring a little better at 9 points. Since the number of teachers who achieved a full score was four (11.1%), we conclude that, in general, teachers have a high level of SMK. Second, the highest KCS was 4 and the lowest KCS was 0; the mean was 2.94. Although ten teachers (27.8%) achieved the highest score, there was one teacher who received 0 points. Third, the highest KCT was 5 (12 teachers achieved this score) and the lowest KCT was 2; the mean was 4.14. Eighteen teachers achieved 4 points, five teachers 3 points, and one teacher 2 points. Significantly, the teacher who received the lowest score in KCT, received the lowest score in SMK, and also in total MKT. This teacher needs to be reeducated.

Knowledge and data interpretation on statistical estimation was important to have statistical literacy that current curriculum was said not to satisfy. The author investigated mathematics teachers' MKT on statistical estimation concerning interpretation of confidence interval by using questionnaire and interview. SMK of teachers' confidence was limited to the area of textbooks to be difficult to interpret data of real life context. Most of teachers wrongly understood SMK of interpretation of confidence interval to have influence upon PCK making correction of students' wrong concept. SMK of samples and sampling distribution that were basic concept of reliability and confidence interval cognized representation of samples rather exactly not to understand importance and value of not only variability but also size of the sample exactly, and not to cognize appropriateness and needs of each stage from sampling to confidence interval estimation to have great difficulty at proper teaching of statistical estimation. PCK that had teaching method had problem of a lot of misconception. MKT of sample and sampling distribution that interpreted confidence interval had almost no relation with teachers' experience to require opportunity for development of teacher professionalism. Therefore, teachers were asked to estimate statistic and to get confidence interval and to understand concept of the sample and think much of not only relationship of each concept but also validity of estimated values, and to have knowledge enough to interpret data of real life contexts, and to think and discuss students' concepts. So, textbooks should introduce actual concepts at real life context to make use of exact orthography and to let teachers be reeducated for development of professionalism.

교사 지식의 본질에 대한 견해에 따라 교사 지식을 분석하는 목적과 방법이 결정되므로 교사 지식에 대한 관점을 면밀하게 고찰할 필요가 있다. 본 연구에서는 그동안 우리나라에 체계적으로 소개되지 않은 '수학을 가르치는 데 발현되는 교사 지식(Mathematical Knowledge in Teaching[MKiT])'의 개념, 특성, 분석 방식에 관하여 고찰하였다. MKiT의 관점에 따르면, 교사 지식이란 수학을 가르치는 데 사용되어야 의미가 부여되는 실천적 지식이다. 또한 수학을 가르치는 상황에서 여러 가지 교사 지식의 요소들이 상호작용하면서 교사 지식이 구성된다는 측면에서 교사 지식의 본질을 수업 맥락에 특화된 유기체로 여긴다. 이런 측면에서 교사 지식에 대한 분석은 주로 수업과 직접적으로 연계된 교사의 행위나 수업 상황을 관찰 분석하는 방식으로 이루어진다. 본 연구를 바탕으로 MKiT의 관점에서 이루어지는 교사 지식 연구가 더욱 활성화되기를 기대하며, 더 나아가 수학 교사 지식의 본질 및 분석 방식에 대한 면밀한 이해를 촉구하고 후속 연구에 대한 시사점을 제시하고자 한다.

A perspective of the nature of teacher knowledge has a significant impact on why and how we study teacher knowledge. The purpose of this study was to explore the mathematics knowledge in teaching (MKiT) in terms of meanings, characteristics, and analytic methods. MKiT regards teacher knowledge as practical knowledge that has meanings only when it is employed in teaching mathematics. Various components of teacher knowledge interact one another in teaching mathematics. Given this, teacher knowledge is regarded as an organism specific to teaching contexts and it needs to be analyzed by observing lessons or a teacher's actions related directly to the lessons. This paper is expected to induce research on teacher knowledge from the MKiT perspective and urge researchers to have a profound understanding of the nature and analytic methods of teacher knowledge. Some implications of future research are included.

이 연구에서는 함수 영역에서 현직 중등 수학 교사들의 교수를 위한 수학적 지식 (Mathematical Knowledge for Teaching, 이하 MKT) 수준을 검증할 수 있는 문항을 영역별로 개발하고, 이를 이용한 검사를 통해 중등 수학교사들의 함수 영역의 MKT 수준이 어떠한지 알아보고자 한다. 이를 위해 먼저 고등학교 1학년 수준에서 함수 영역에 대한 검사 문항을 개발하여 서울 지역의 총 5개의 고등학교 현직 수학 교사 34명을 상대로 검사를 실시하여 자료를 수집하여 분석하였다. 자료 분석 결과 교사들이 얻은 점수를 백점 만점으로 환산 시 검사지 총점의 평균은 67.4점으로 나타났는데, Common Content Knowledge[CCK], Knowledge of Content and Teaching[KCT] 영역의 점수에 비해 Specialized Content Knowledge[SCK] 영역의 점수가 낮게 나타났다. 또한 각 영역별 총점을 상관관계 분석을 통해 살펴본 결과 SCK, KCS 그리고 KCT 영역이 서로 통계적으로 유의미한 상관관계가 있었고 이와 다르게 CCK와 나머지 영역들 간에는 통계적으로 유의미한 상관관계는 나타나지 않았다.

This study explored secondary mathematics teachers' mathematical knowledge for teaching [MKT]; in particular, it focused on teachers' knowledge of functions. In order to measure teachers' MKT, we developed items according to Ball, Thames & Phelps (2008)'s domains and conducted to 34 secondary mathematics teachers in 5 high schools in Seoul. The findings from the data analysis suggested as follows: a) overall, the teachers scored average 67.4 out of 100, 87.43 in Common Content Knowledge[CCK], and the average score of Specialized Content Knowledge [SCK] was the lowest; b) correlations among SCK, KCS, and KCT were statistically significant; and c) there was no sign of statistical significance between CCK and the rest.