Earticle

In this study, we compare the pricing and hedging performance of options-pricing models using two parameter-estimation methods to employ cross-sectional options data with multiple maturities. In the Portfolio of Volatility Smiles method, each set of parameters that describe the individual volatility smile for each maturity are estimated separately. In the Volatility Surface method, a single parameter set that describes the entire volatility surface is estimated, regardless of the time to maturity. When pricing and hedging options with various times to maturity, the Portfolio of Volatility Smiles method generally outperforms the Volatility Surface method, irrespective of the option-pricing model used, maturity, and moneyness. Considering the volatility smile individually at each maturity is more effective in pricing and hedging options than is considering the volatility surface simultaneously.

The volatility implied in the option price exhibits the systematic bias with respect to different levels of exercise prices for different maturities, and this anomaly has been arousing the attentions of many financial economists. This paper investigates the bias of volatility surface implied in options markets, and relates it to various measures of liquidities in Eurodollar futures and futures options markets. We find the effects of liquidity and the level of previous period implied volatility on the shape and change of volatility are significant in the interest rate options market. The implied volatility bias is larger for deep in-the-money and out-of-the-money options and for short maturity options than for at-the-money and for long maturity options.

KOSPI 200 옵션시장에서의 내재변동성을 구하고 변동성 스마일과 변동성 기간구조를 접목한 변동성 표면을 나타내기 위하여 머니니스와 잔존만기의 함수의 형태로 가장 적합한 변동성 결정함수 모형을 찾아내는 것이다. 이를 위해 옵션의 가격지수를 이용하여 내재변동성을 찾아내고 이를 일별 횡단면으로 분석하여 가장 적합한 모형을 선정한다. 특히 변동성 표면의 비대칭적인 성격인 변동성 스니어를 반영하기 위해 머니니스의 3차항을 반영하고 그리고 기간구조의 형태의 곡면을 반영하기 위한 잔여만기에 대해 2차항까지 반영한 모형을 포함하여 분석하고자 한다. 분석 결과를 살펴보면 KOSPI 200 옵션시장에서의 변동성 형태는 변동성스마일만을 고려할 경우보다는 변동성기간구조를 고려하는 것이 높은 설명력을 가지게 되고 또한 변동성 스니어 현상을 고려하게 되면 더 나은 설명력을 가지는 것으로 나왔다. 그리고 풋옵션과 하락장에서 변동성 결정모형의 설명력이 더 높은 것으로 나타나 옵션시장은 기초자산의 하락에 대해 스니어한 현상을 나타내고 있다.

To represent the volatility surface, we calculate the implied volatility and combine the volatility smile and the volatility term structure in the KOSPI 200 options market. So we find the deterministic model in the function form of moneyness and residual maturity. We calculate the implied volatility using option premiums and select the most appropriate surface model through daily cross-sectional analysis. Especially we should consider the third order term of moneyness to describe the asymmetric shape of a volatility sneer the and the second order term of residual maturity to reflect the curve form of the term structure. According to the analysis result the model considered a term structure have a better explanatory power than the volatility smile model. When considering the volatility sneer phenomena we have a best explanatory power model. And an explanatory power of the deterministic model was higher in the put option market and the bear markets. It means that KOSPI 200 option market is reflected the sneer phenomenon about the decline in the underlying asset.

본 논문은 KOSPI200 지수 시장의 내재변동성 데이터를 중심으로 방사기저함수(Radial Basis Function, 이하 RBF)를 이용한 내재변동성 곡면생성을 연구한다. 내재변동성 곡면의 생성은 통계학에서 ‘누락된 데이터 문제’(Missing Data Problem)에 해당한다. 곡면을 근사시키는 2차원 보간 함수의 선택과 데이터의 필터링 방법이 중요하다. 통계학에서 이 문제의 해결 방법으로 RBF가 이용되어왔다. 우리는 먼저 시장에서 실무자의 내재변동성 곡면으로 잘 알려진 다중 회귀분석을 이용한 방법을 소개하고, 이어서 RBF를 이용한 추정 방법을 제시한다. 특히, 가우시안 RBF, 멀티쿼드릭(Multiquadric) RBF 그리고 박판스플라인(Thin Plate Spline, 이하 TPS) RBF의 장단점을 살펴보고, 이들을 사용한 내재변동성 곡면의 구체적인 생성 방법을 연구한다. 비정상적으로 주변의 값과 차이가 나는 변동성 데이터를 찾아 제거하고, 데이터의 누락 때문에 발생하는 불완전한 곡면의 모양을 바로잡기 위하여 데이터 소거에 의한 교차검증법을 응용한 적응적 적합과정을 제시한다. 최종적으로 이들을 사용하여 내재변동성 곡면을 근사하는 최적 알고리즘을 제시한다. 내재변동성 곡면 생성에서 가장 중요한 이슈는 누락 데이터의 추정일 것이다. 본 연구에서 TPS 근사함수를 이용하여 생성된 분산곡면으로 내재변동성을 추정하는 방식이 가장 우수한 결과임을 보인다. 내재변동성 곡면생성의 또 다른 주요 문제는 변동성 데이터의 무위험 차익거래 불가능 조건의 충족이다. 이를 위해, 먼저 TPS 근사에 의한 분산곡면을 구하고, 이로부터 변동성 곡면을 생성한다. 그리고 이를 이용하여 얻은 콜 옵션 가격 곡선들과 관측값과의 오차를 최소화하는 최적화 문제로 바꾸고, 차익거래 불가능 제약조건을 추가하여 이 문제를 해결한다.

In this article, we work on the construction of an implied volatility surface by using radial basis functions (RBFs) based on implied volatility data in equity index markets including KOSPI200, HSCEI, Eurostoxx50. Construction of the implied volatility surface is the ‘missing data problem’ in Statistics. The choice of a 2 dimensional interpolation function for surface construction and the data filtering are important. To solve such problems in Statistics, RBF is used popularly. We first explain multi regression method known for practitioner’s implied volatility surface, and suggest an estimation method using RBF. In particular, we review merits and demerits of the Gaussian RBF, multiquadric RBF, and thin plate spline(TPS) RBF, and study concrete methods for the construction of implied volatility surfaces using these RBFs. After finding volatility data which are seriously different from their neighbors, we remove them. To fix an incomplete shape of the surface caused by missing data, we provide an adapted fitting procedure using the leave one out cross validation (LOOCV) method. Finally, using those we provide an optimal approximation algorithm to the implied volatility surface. In the construction of the implied volatility surface, the most important issue is the inference of missing data. In this work, we show that it is most efficient to estimate the implied volatility from the variance surface obtain by using TPS approximation function. Another important issue in the implied volatility construction is the satisfaction of the no-arbitrage condition (NAC) by volatility data. By applying the quadratic programming with NAC to the TPS-smoothed implied volatility, we solve this problem.

Deep learning, utilizing artificial neural networks, offers capabilities in solving parametric Black-Scholes Equations under local volatility models. This study introduces dual-training methodology to calculate option price and implied volatility simultaneously, utilizing market data. For that, we use the Physics-Informed Neural Network as a deep learning, a novel approach harnessing physical information to efficiently solve parametric partial differential equations. The network provides two key advantages: construction of implied volatility surface on continuous state set, and allowing predictions at unobserved market values. This study presents a refined tool to practitioners in analyzing the local volatility model.

본 연구에서는 원달러(USD/KRW) 현물환율(FX spot)과 외환시장의 변동성곡면(volatility surface)이 서로 어떠한 인과관계가 있는지를 실증적으로 분석하였다. 코로나 19 이전의 기간(Panel A: 2013년 1월에서 2019년 12월까지)과 코로나19 이후의 기간(Panel B: 2020년 1월에서 2023년 8월까지)으로 나누어 원달러 환율과 변동성곡면(ATM, RR, BF)간의 관계를 비교하여 살펴보았다. 분석결과를 정리하면 다음과 같다. 첫째, 코로나19 이전(Panel A)과 이후(Panel B) 시계열 모두에서 공적분 관계가 있는 것으로 나타났다. 둘째, 그랜저인과관계(granger causality) 검정에서 코로나19 이후(Panel B)부터 외환시장 변동의 비대칭성(skewness, RR)과 극단적편차(kurtosis, BF)정도가 ATM변동성을 선행하고, ATM변동성이 현물환율을 선행하는 것으로 나타났다. 셋째, 충격반응 분석에서 변동성의 왜도(skewness)지표인 RR과 첨도(kurtosis)지표인 BF의 충격에 대한 현물환율과 ATM변동성에 미치는 영향도 코로나19 이전(Panel A)에는 큰 영향이 없다가 이후(Panel B)부터 영향도가 훨씬 커졌다. 넷째, 분산분해 분석에서 RR과 BF지표의 현물환율과 ATM변동성에 대한 영향력이 코로나19 이전(Panel A)보다 코로나19 이후(Panel B)에 상당한 폭으로 증가한 것으로 나타났다. 이러한 결과는 그랜저인과관계 분석 뿐만 아니라 충격반응 분석결과와도 일관성을 갖는다. 결론적으로, 환율과 변동성곡면 정보들을 통하여 이들의 인과관계를 파악할 수 있으며, 특히 통화옵션시장과 현물환율 시장의 연계성이 코로나19 이후부터 더 유의해졌다는 것을 확인하였다.

In this study, we empirically analyzed the causal relationship between the USD/KRW spot exchange rate(FX spot) and the volatility surface of the FX Option market. Divided into the pre-COVID-19 period(Panel A: 2013.01∼2019.12) and the post-COVID-19 period(Panel B: 2020.01∼2023.08), We compared and examined the relationship between the FX spot and the volatility surface. The analysis results are summarized as follows. First, it was found that there was a cointegration relationship in both the before and after COVID-19 time series. Second, the Granger causality test showed that since COVID-19, the degree of asymmetry(RR) and extreme deviation(BF) of foreign exchange market fluctuations precedes ATM volatility, and ATM volatility precedes the FX Spot. Third, in the impulse response analysis, the impact of RR(skewness), and BF(kurtosis), on the FX spot and ATM volatility in response to shocks did not have a significant impact before COVID-19. However, after COVID-19, the impact has become much greater. Fourth, the variance decomposition analysis showed that the influence of both RR and BF indicators on FX spot and ATM volatility increased significantly after COVID-19 compared to before COVID-19.

본 논문에서는 주가를 Geometric Levy process로 가정할 경우 Dupire (1994)의 framework하에서 local volatility surface를 구하였다. 기존의 diffusion과 jump-diffusion의 연구는 있었으나, Levy process의 경우는 아직 연구가 이루어지지 않는 상태로 본 연구는 Levy process에 대한 Kolmogorov forward equation을 상에서 adjoint operator를 이용하여 새롭게 정의하였고 이를 이용하여, local volatility surface를 구하였다. 또한 이를 stochastic time changed Levy process에 대해서도 시도하였다.