Earticle

이 연구는 미지의 대각선 공분산 행렬을 갖는 다변량 정규분포에서 평균 벡터를 추정하는 문제를 다룬다. 이를 위해, 균형 잡힌 손실 함수에 기반하여 두 가지 유형의 추정량을 제안하고, 이들의 추정량을 비교하여 보다 유효한 추정 방법을 제시하고자 한다. 연구에서는 최대우도추정량(MLE)을 기반으로 첫 번째 유형의 추정량을 도 입하고, 이 추정량이 MLE를 개선할 수 있는 충분조건을 도출한다. 그 후, MLE와 Lindley형 추정량을 결합하여 새로운 유형의 추정량을 제시하고, 이들이 적절한 조건 하에서 Lindley형 위험 함수보다 더 작은 위험 함수를 갖 는다는 것을 증명한다. 제안된 두 가지 추정량은 기존의 MLE나 Lindley형 추정량에 비해 보다 유효한 추정 방법 을 제공한다. 수치 실험을 통해 제안된 추정량들이 기존 추정량들과 비교하여 더 우수한 추정량임을 확인할 수 있 었다. 본 연구에서 제안한 추정량은 다변량 정규분포에서 평균 벡터 추정의 정확도를 높일 수 있는 가능성을 시사 한다. 제시된 방법들은 이론적으로 우수함을 입증했으며, 실제 데이터에 대한 적용 가능성도 높을 것으로 기대된 다. 향후 연구에서는 다른 유형의 손실 함수나 다변량 분포에 대해서도 유사한 접근을 확장할 수 있을 것이다. 마 지막으로, 제안된 추정량들의 유효성 평가를 위해 수치 실험을 수행하고 그 결과를 제시하였다.

In this paper we estimate the mean vector of a multivariate normal distribution with unknown diagonal covariance matrix. Two classes of estimators for the mean vector is presented by their performance according to the the balanced loss function. First, we introduce a class of estimators derived from the maximum likelihood estimator(MLE) and provide a sufficient condition on the shrinkage function to improve upon the MLE. Then, from the MLE and the Lindley type estimator we build a new class of estimators, and under a simple practical condition, we show that their risks are less than those of Lindley type estimator, which explains why they perform better. We conclude the paper with numerical results that confirm the performance of the proposed estimators.

The goodness-of-fit test for multivariate normal distribution is important because most multivariate statistical methods are based on the assumption of multivariate normality. We propose goodness-of-fit test statistics for multivariate normality based on the modified squared distance. The empirical percentage points of the null distribution of the proposed statistics are presented via numerical simulations. We compare performance of several test statistics through a Monte Carlo simulation.

Consider a p-variate $(p \geq 4)$ normal distribution with mean $\b{\theta}$ and identity covariance matrix. For estimating $\b{\theta}$ under a quadratic loss we investigate the behavior of risks of Stein-type estimators which shrink the usual estimator toward the mean of observations. By using concavity of the function appearing in the shrinkage factor together with new expectation identities for noncentral chi-squared random variables, a characterization of estimators with nondecreasing risk is obtained.

The moment calculation in a truncated multivariate normal distribution is a long-standing problem in statistical computation. Recently, Kan and Robotti (2017) developed an algorithm able to calculate all orders of moment under different types of truncation. This result was implemented in an R package MomTrunc by Galarza et al. (2021); however, it is difficult to use the package in practical statistical problems because the computational burden increases exponentially as the order of the moment or the dimension of the random vector increases. Meanwhile, Lee (2021) presented an efficient numerical method in both accuracy and computational burden using Gauss-Hermit quadrature. This article introduces trunmnt implementation of Lee's work as an R package. The Package is believed to be useful for moment calculations in most practical statistical problems.

표현형 변수 Y가 유전변수 X와 환경변수 E로 표시되고 X와 E가 상호독립이며 각각 다음과 같은 정규분포를 한다고 하자. $$X\simN(\mu,\sigma^2), E\simN)0,\omega^2)$$ 대체로 $Y \geq y$이거나 $Y \leq y$인 형태일 때 유전 및 육동적 선발은 Y=X+E의 형태로 나타난다. 롭슨[3]은 선발을 반복하였을 때 유전변수 X의 평균기대치와 유전변수 X의 조건부분포의 영향을 연구하였고 이와같은 일변량분포의 경우 선발의 효과는 전분산에 대한 유전분산의 비에 달려있다 하였다. 이러한 선발모형을 p-차원 공간에 적용하면 유전편차의 비율을 구할 수 있다.

이차형식 통계량의 분포함수에 대한 연구는 주로 다변량 정규분포의 가정하에서 진행되어 왔다. 최근 다변량 정규분포를 포함하는 다변량 왜정규분포에 대한 연구가 활발하다. 본 논문에서는 다변량 왜정규분포의 가정하에서 이차형식 통계량의 분포함수에 대한 근사를 다루었다. 근사의 방법으로는 소표본에서도 정확도가 뛰어난 근사법으로 알려진 안장점근사를 사용하였으며, 모의실험을 통해 그 정도를 확인하였다.

Most of studies related to the distributions of quadratic forms are conducted under the assumption of multivariate normal distribution. In this paper, we suggested an approximation to the distribution of quadratic forms based on multivariate skew-normal distribution as alternatives for multivariate normal distribution. Saddlepoint approximations are considered and the accuracy of the approximations are verified through simulation studies.

다중 치우침 모수벡터를 가진 다변량 치우친 정규분포 (MSNMix)를 EM 알고리즘으로 적합하려면 E-step에서 다변량 절단 정규분포의 적률과 확률을 계산해야 하는데 이것은 매우 큰 계산 시간을 요구한다. 그래서 비대칭 자료를 적합하는데 흔히 단순 치우침 모수를 가진 모형을 적용한다. 이 모형은 단변량 처리방식으로 적합하는 것이 가능하기 때문에 처리속도가 매우 빠르다. 그러나 단순 치우침 모수를 적용하는 것은 응용에서 비현실적인 경우가 많다. 본 논문에서는 다중 치우침 모수를 가지는 MSNMix의 근사적 추정법을 제안하는데, 이 방법은 단변량 처리방식이 적용되므로 향상된 처리속도를 보장한다. 그리고 제안된 방법의 실효성을 보이기 위해 몇 가지 실험 결과를 제공한다.

Fitting a mixture of multivariate skew normal distribution (MSNMix) with multiple skewness parameter vectors via EM algorithm often requires a highly expensive computational cost to calculate the moments and probabilities of multivariate truncated normal distribution in E-step. Subsequently, it is common to fit an asymmetric data set with MSNMix with a simple skewness parameter vector since it allows us to compute them in E-step in an univariate manner that guarantees a cheap computational cost. However, the adaptation of a simple skewness parameter is unrealistic in many situations. This paper proposes an approximate estimation for the MSNMix with multiple skewness parameter vectors that also allows us to treat them in an univariate manner. We additionally provide some experiments to show its effectiveness.

다변량 왜정규분포는 다변량 정규분포를 포함하는 분포로 최근 많은 응용분야에서 활용되고 있다. 본 논문에서는 다변량 왜정규분포를 기반으로 하는 선형결합통계량의 분포함수에 대한 안장점근사를 다루었다. 이는 단변량 왜정규분포 기반 표본평균에 대한 Na와 Yu (2013)의 결과를 선형결합 및 다변량의 경우로 확장한 것이다. 모의실험과 실제자료분석을 통해 제안된 근사법의 유용성과 정확도를 확인하였다.

Multivariate skew-normal distribution(distribution that includes multivariate normal distribution) has been recently applied to many application areas. We consider saddlepoint approximation for a statistic of linear combination based on a multivariate skew-normal distribution. This approach can be regarded as an extension of Na and Yu (2013) that dealt saddlepoint approximation for the distribution of a skew-normal sample mean for a linear statistic and multivariate version. Simulations results and examples with real data verify the accuracy and applicability of suggested approximations.